Comprendre l'effet de quelques transformations
mat3_1409_07_03C
Maths
42
CORRIGE
D'après France métropolitaine • Septembre 2014
Exercice 6 • 5 points
Mesure de la hauteur d'un arbreJulien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.
Il place la croix de sorte que O, D et A d'une part et O, E et B d'autre part soient alignés.
Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement.
Il mesure au sol BC = 7,7 m.
▶ 1. Le triangle ABO et un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d'agrandissement est 22.
▶ 2. Calculer la hauteur de l'arbre en mètres.
▶ 3. Certaines croix de bûcheron sont telles que DE = OF.
Quel avantage apporte ce type de croix ?
▶ 4. Julien enroule une corde autour du tronc de l'arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138 cm.
Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ? Donner un arrondi au centimètre près.
Les clés du sujet
Points du programme
Coefficient d'agrandissement/réduction • Théorème de Thalès • Périmètre d'un cercle.
Nos coups de pouce
▶ 1. Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Pour calculer le coefficient d'agrandissement, il faut utiliser les mesures de deux côtés proportionnels.
▶ 4. Utiliser la formule donnant le périmètre d'un cercle.
Corrigé
▶ 1. Puisque le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE, le coefficient 
d'agrandissement est 
(1).
Nous avons OH = CB et 
car CB = 7,7 m = 770 cm. Nous trouvons bien 
.
▶ 2. Nous avons alors 
. Donc 
et 
ou encore 
.
Conclusion : l'arbre mesure 4,4 m de hauteur.
▶ 3. Si DE = OF alors la relation (1) établie à la question 1. permet d'écrire AB = OH = BC.
Conclusion : si on utilise une croix du bûcheron telle que DE = OF, la hauteur AB de l'arbre est donnée directement par la mesure de la distance au sol BC.
▶ 4. Le périmètre 
d'une circonférence de diamètre 
est donné par la relation 
. Nous avons 
c'est-à-dire 
valeur arrondie au cm.