Mesure de la hauteur d'un arbre

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Comprendre l'effet de quelques transformations
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine


D’après France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 6 • 5 points

Mesure de la hauteur d’un arbreJulien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.

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Il place la croix de sorte que O, D et A d’une part et O, E et B d’autre part soient alignés.

Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement.

Il mesure au sol BC = 7,7 m.

1. Le triangle ABO et un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d’agrandissement est 22.

2. Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.

3. Certaines croix de bûcheron sont telles que DE = OF.

Quel avantage apporte ce type de croix ?

4. Julien enroule une corde autour du tronc de l’arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138 cm.

Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ? Donner un arrondi au centimètre près.

Les clés du sujet

Points du programme

Coefficient d’agrandissement/réduction • Théorème de Thalès • Périmètre d’un cercle.

Nos coups de pouce

1. Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Pour calculer le coefficient d’agrandissement, il faut utiliser les mesures de deux côtés proportionnels.

4. Utiliser la formule donnant le périmètre d’un cercle.

Corrigé

Corrigé

1. Puisque le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE, le coefficient 257585-Eqn83 d’agrandissement est 257585-Eqn84 (1).

Nous avons OH = CB et 257585-Eqn85 car CB = 7,7 m = 770 cm. Nous trouvons bien 257585-Eqn86.

2. Nous avons alors 257585-Eqn87. Donc 257585-Eqn88 et 257585-Eqn89 ou encore 257585-Eqn90.

Conclusion : l’arbre mesure 4,4 m de hauteur.

3. Si DE = OF alors la relation (1) établie à la question 1. permet d’écrire AB = OH = BC.

Conclusion : si on utilise une croix du bûcheron telle que DE = OF, la hauteur AB de l’arbre est donnée directement par la mesure de la distance au sol BC.

4. Le périmètre 257585-Eqn91 d’une circonférence de diamètre 257585-Eqn92 est donné par la relation 257585-Eqn93. Nous avons 257585-Eqn94 c’est-à-dire 257585-Eqn95 valeur arrondie au cm.