Miscellanées

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Miscellanées

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 n n’est jamais égal à 4.

▶ 2. On considère la suite u définie, pour n  1, par :

un=1npgcd(20 ; n).

Proposition 2. La suite (un) est convergente.

▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × = B × A.

▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape » et an sa probabilité ;

Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape » et bn sa probabilité ;

Xn la matrice colonne (anbn).

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec = (0,55   0,30,45   0,7).

Proposition 4. La probabilité PAn(Bn+1) vaut 0,45.

Proposition 5. Il existe un état initial X0 = (a0b0) tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Suites • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E2d  Proposition 2.

Matrices  C5  Proposition 3.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de n2+n en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de n.

▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de pgcd(20;n) avant d’en déduire un encadrement de un.

▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Étudier le chiffre des unités de n2 + n

Pour tout entier naturel n, il existe des entiers u{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et d tels que n=10d+u, u est le chiffre des unités de n.

Par conséquent, nu[10] et n2+nu2+u[10].

u

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

u2 + u

0

2

6

12

20

30

42

56

72

90

D’après ce tableau, le chiffre des unités de u2+u n’est jamais égal à 4, donc, pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2+n n’est jamais égal à 4. La proposition 1 est vraie.

▶ 2. Étudier la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel n1 :

1 divise n et 1 divise 20 donc 1 divise pgcd(20;n) et 1pgcd(20;n).

pgcd(20;n) divise 20 donc pgcd(20;n)20.

Ainsi 1pgcd(20;n)20 et, pour tout entier naturel n1,1npgcd(20;n)n20n, soit 1nun20n.

Comme limn+1n=0 et limn+20n=0, d’après le théorème des gendarmes, limn+un=0.

La suite (un) est convergente et sa limite est 0. La proposition 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la commutativité du produit matricel

Considérons les matrices A=(1   11   0) et B=(0   11   0).

On a :

Notez bien

Pensez à vérifier vos calculs à la calculatrice.  C5 

A×B=(1   11   0)×(0   11   0)=(1×0+1×1   1×1+1×01×0+0×1   1×1+0×0)=(1   10   1)

B×A=(0   11   0)×(1   11   0)=(0×1+1×1   0×1+1×01×1+0×1   1×1+0×0)=(1   01   1).

On constate que A×BB×A.La proposition 3 est fausse.

▶ 4. Exploiter une matrice de transition

Proposition 4

Si l’on considère la matrice M=(0,55   0,30,45   0,7) fournie dans l’énoncé, le graphe probabiliste associé à cette situation est :

matT_1606_13_00C_11

Ainsi, si le mobile se trouve dans la position A à l’étape n, la probabilité qu’il se trouve dans la position B à l’étape n+1 est 0,45. Par conséquent, pour tout entier naturel n,PAn(Bn+1)=0,45. La proposition 4 est vraie.

Proposition 5

On détermine la matrice X1.

X1=(a1b1)=MX0=(0,55   0,30,45   0,7)×(a0b0)=(0,55a0+0,3b00,45a0+0,7b0).

Par conséquent, a1=0,55a0+0,3b0 et b1=0,45a0+0,7b0.

Maintenant :

b1=3a10,45a0+0,7b0=3×(0,55a0+0,3b0)0,2b0=1,2a0.

Comme a0 et b0 figurent dans la matrice d’état initial X0, on a a00,b00 et a0+b0=1. Par conséquent, l’égalité 0,2b0=1,2a0 est absurde. La proposition 5 est fausse.