Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 + n n’est jamais égal à 4.

▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

$u_n=\frac{1}{n}\text{pgcd}(20n)$.

Proposition 2. La suite (un) est convergente.

▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × B = B × A.

▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n » et an sa probabilité 

Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n » et bn sa probabilité 

Xn la matrice colonne $\left(\begin{array}{l}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec M = $\left(\begin{array}{l}\mathrm{0,55}\text{ 0,3}\\ \mathrm{0,45}\text{ 0,7}\end{array}\right)$.

Proposition 4. La probabilité $P_{{\text{A}}_n}$(Bn+1) vaut 0,45.

Proposition 5. Il existe un état initial X0 = $\left(\begin{array}{l}{a}_0\\ b_0\end{array}\right)$ tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.