Matrices et applications
matT_1606_13_05C
Ens. de spécialité
45
Polynésie française • Juin 2016
Exercice 4 • 5 points
Miscellanées
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 + n n’est jamais égal à 4.
▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :
.
Proposition 2. La suite (un) est convergente.
▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × B = B × A.
▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.
Pour tout entier naturel n, on note :
An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n » et an sa probabilité
Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n » et bn sa probabilité
Xn la matrice colonne .
On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec M = .
Proposition 4. La probabilité (Bn+1) vaut 0,45.
Proposition 5. Il existe un état initial X0 = tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Arithmétique • Suites • Matrices.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Suites E2d → Proposition 2.
Matrices C5 → Proposition 3.
Nos coups de pouce
▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de .
▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de avant d’en déduire un encadrement de
▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.