Matrices et applications

matT_1606_13_05C

Ens. de spécialité

Polynésie française • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Miscellanées

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 + n n’est jamais égal à 4.

▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

$u_{n} = \frac{1}{n} pgcd (20; n)$ .

Proposition 2. La suite (un) est convergente.

▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × B = B × A.

▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n » et an sa probabilité ;

Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n » et bn sa probabilité ;

Xn la matrice colonne $(\begin{array}{l} a_{n} \\ b_{n} \end{array})$ .

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec M = $(\begin{array}{l} 0,55 0,3 \\ 0,45 0,7 \end{array})$ .

Proposition 4. La probabilité $P_{A_{n}}$ (Bn+1) vaut 0,45.

Proposition 5. Il existe un état initial X0 = $(\begin{array}{l} a_{0} \\ b_{0} \end{array})$ tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Suites • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites E2d → Proposition 2.

Matrices C5 → Proposition 3.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de $n^{2} + n$ en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de $n$ .

▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de $pgcd (20; n)$ avant d’en déduire un encadrement de $u_{n} .$

▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.

Corrigé

▶ 1. Étudier le chiffre des unités de n2 + n

Pour tout entier naturel $n,$ il existe des entiers $u \in {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$ et $d \in$ ℕ tels que $n = 10 d + u$ , $u$ est le chiffre des unités de $n .$

Par conséquent, $n \equiv u [10]$ et $n^{2} + n \equiv u^{2} + u [10] .$

u	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
u2 + u	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90

D’après ce tableau, le chiffre des unités de $u^{2} + u$ n’est jamais égal à 4, donc, pour tout entier naturel $n,$ le chiffre des unités de $n^{2} + n$ n’est jamais égal à 4. La proposition 1 est vraie.

▶ 2. Étudier la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

1 divise $n$ et 1 divise 20 donc 1 divise $pgcd (20; n)$ et $1 \leq pgcd (20; n)$ .

$pgcd (20; n)$ divise 20 donc $pgcd (20; n) \leq 20$ .

Ainsi $1 \leq pgcd (20; n) \leq 20$ et, pour tout entier naturel $n \geq 1,$ $\frac{1}{n} \leq \frac{pgcd (20; n)}{n} \leq \frac{20}{n}$ , soit $\frac{1}{n} \leq u_{n} \leq \frac{20}{n}$ .

Comme $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} \frac{20}{n} = 0,$ d’après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

La suite $(u_{n})$ est convergente et sa limite est 0. La proposition 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la commutativité du produit matricel

Considérons les matrices $A = (\begin{array}{l} 11 \\ 10 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{l} 01 \\ 10 \end{array}) .$

On a :

Notez bien

Pensez à vérifier vos calculs à la calculatrice. C5

$A \times B = (\begin{array}{l} 11 \\ 10 \end{array}) \times (\begin{array}{l} 01 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \times 0 + 1 \times 1 1 \times 1 + 1 \times 0 \\ 1 \times 0 + 0 \times 1 1 \times 1 + 0 \times 0 \end{array}) = (\begin{array}{l} 11 \\ 01 \end{array})$

$B \times A = (\begin{array}{l} 01 \\ 10 \end{array}) \times (\begin{array}{l} 11 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \times 1 + 1 \times 1 0 \times 1 + 1 \times 0 \\ 1 \times 1 + 0 \times 1 1 \times 1 + 0 \times 0 \end{array}) = (\begin{array}{l} 10 \\ 11 \end{array}) .$

On constate que $A \times B \neq B \times A .$ La proposition 3 est fausse.

▶ 4. Exploiter une matrice de transition

Proposition 4

Si l’on considère la matrice $M = (\begin{array}{l} 0,55 0,3 \\ 0,45 0,7 \end{array})$ fournie dans l’énoncé, le graphe probabiliste associé à cette situation est :

matT_1606_13_00C_11

Ainsi, si le mobile se trouve dans la position A à l’étape $n,$ la probabilité qu’il se trouve dans la position B à l’étape $n + 1$ est 0,45. Par conséquent, pour tout entier naturel $n,$ $P_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,45$ . La proposition 4 est vraie.

Proposition 5

On détermine la matrice $X_{1} .$

$X_{1} = (\begin{array}{l} a_{1} \\ b_{1} \end{array}) = M X_{0} = (\begin{array}{l} 0,55 0,3 \\ 0,45 0,7 \end{array}) \times (\begin{array}{l} a_{0} \\ b_{0} \end{array}) = (\begin{array}{l} 0,55 a_{0} + 0,3 b_{0} \\ 0,45 a_{0} + 0,7 b_{0} \end{array}) .$

Par conséquent, $a_{1} = 0,55 a_{0} + 0,3 b_{0}$ et $b_{1} = 0,45 a_{0} + 0,7 b_{0} .$

Maintenant :

$\begin{array}{l} b_{1} = 3 a_{1} \Leftrightarrow 0,45 a_{0} + 0,7 b_{0} = 3 \times (0,55 a_{0} + 0,3 b_{0}) \\ \Leftrightarrow - 0,2 b_{0} = 1,2 a_{0} . \end{array}$

Comme $a_{0}$ et $b_{0}$ figurent dans la matrice d’état initial $X_{0},$ on a $a_{0} \geq 0,$ $b_{0} \geq 0$ et $a_{0} + b_{0} = 1$ . Par conséquent, l’égalité $- 0,2 b_{0} = 1,2 a_{0}$ est absurde. La proposition 5 est fausse.

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