Partie A

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

Le terme a₁ est le nombre de collaborateurs en télétravail un mois après le mois de mai 2020, c’est-à-dire en juin 2020.

Parmi les 200 collaborateurs en télétravail en mai 2020, 85 % continuent le télétravail le mois suivant.

$\frac{200\times 85}{100}=170$, donc parmi les 200 collaborateurs en télétravail en mai 2020, 170 décident de continuer en juin 2020.

450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail. 170 + 450 = 620, donc en juin 2020, 620 collaborateurs de l’entreprise ont choisi le télétravail. On a alors :

$\boxed{a_1=620}$

▶ 2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

Soit n un entier naturel.

Parmi les a_n collaborateurs en télétravail n mois après mai 2020, 85 % continuent le mois suivant, soit $\frac{a_n\times 85}{100}$, c’est-à-dire 0,85a_n.

S’y ajoutent 450 collaborateurs supplémentaires, donc :

$\boxed{a_{n+1}=\text{0,85}{a}_n+450}$

▶ 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

v_n+1 = a_n+1 - 3 000

v_n+1 = 0,85a_n + 450 - 3 000

v_n+1 = 0,85a_n - 2 550.

Or v_n = a_n - 3 000, donc a_n = v_n + 3 000, d’où :

$v_{n+1}=\text{0,85}(v_n+3000)-2550$

v_n+1 = 0,85 v_n + 2 550 - 2 550

v_n+1 = 0,85 v_n.

La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,85.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Le premier terme de la suite (v_n) est :

v₀ = a₀ - 3 000 = 200 - 3 000 = - 2 800.

D’après la formule du cours, on en déduit que, pour tout entier naturel n :

$\boxed{v_n=-2800\times {\mathrm{0,85}}^n}$

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel n :

a_n = v_n + 3 000

donc $\boxed{a_n=-2800\times {\mathrm{0,85}}^n+3000}$

▶ 4. Déterminer l’indice du terme d’une suite strictement supérieur à une valeur donnée

Pour déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, on résout l’inéquation a_n > 2 500.

Cette inéquation équivaut successivement à :

$-2800\times {\mathrm{0,85}}^n+3000>2500$

$2800\times {\mathrm{0,85}}^n<500$

${\mathrm{0,85}}^n<\frac{500}{2800}$

${\mathrm{0,85}}^n<\frac{5}{28}$.

On applique la fonction ln aux deux membres de l’inégalité ; cette fonction est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, donc le sens de l’inégalité ne change pas. On obtient :

$n\ln (\mathrm{0,85})<\ln \left(\frac{5}{28}\right).$

Puis, en divisant par ln(0,85), avec $\ln (\mathrm{0,85})<0$ :

$n>\frac{\ln \left(\frac{5}{28}\right)}{\text{ln}(\mathrm{0,85})}$.

Or $\frac{\ln \left(\frac{5}{28}\right)}{\text{ln}(\mathrm{0,85})}\approx \mathrm{10,6}$.

Comme n est entier, on a n ≥ 11.

Au bout de 11 mois après la mise en place du dispositif, le nombre de collaborateurs en télétravail sera strictement supérieur à 2 500.

Partie B

▶ 1. Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle

La fonction f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et, pour tout x dans cet intervalle :

$f^{\prime }(x)=\frac{5(x+2)-(5x+4)}{{(x+2)}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{6}{{(x+2)}^2}$.

6 > 0 et, pour tout x dans [0 ; + ∞[, ${(x+2)}^2>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$.

On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $[\text{0 }; +\infty [$.

▶ 2. a) Établir par récurrence un encadrement des termes d’une suite

Initialisation

u₀ = 1 et $u_1=f(u_0)=\frac{5\times 1+4}{1+2}=3$, donc 0 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 4.

La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ 4.

Puisque la fonction f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, il en découle que :

$f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(4)$.

Or $f(0)=2$, $f(u_n)=u_{n+1}$, f(u_n+1)= u_n+2 et $f(4)=4$, donc :

2 ≤ u_n+1 ≤ u_n+2 ≤ 4

qui entraîne :

0 ≤ u_n+1 ≤ u_n+2 ≤ 4.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n, elle est héréditaire.

Conclusion

Des deux points précédents on déduit que, pour tout entier naturel $n$,

$0\le u_n\le u_{n+1}\le 4$.

b) Montrer qu’une suite est convergente

D’après la question précédente, la suite (u_n) est croissante et majorée par 4.

Le théorème de convergence monotone s’applique : la suite (u_n) est convergente.

▶ 3. Déterminer et interpréter la limite d’une suite convergente

Puisque $-1<\frac{1}{2}<1$, $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$, donc $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$.

D’après le théorème des gendarmes :

$\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }(4-u_n)=0$

ce qui équivaut à :

$\boxed{\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{u}_n=4}$

La suite $(u_n)$ converge vers 4.

Puisque u_n représente le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par le dispositif de télétravail proposé par l’entreprise, on en déduit qu’au bout d’un grand nombre de mois après mai 2020, le nombre de collaborateurs satisfaits du dispositif est proche de 4 000.