Analyse • Suites numériques
S’entraîner
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matT_2106_06_00C
Centres étrangers, juin 2021 • Exercice 3
Mise en place du télétravail et satisfaction des collaborateurs
Intérêt du sujet • On modélise, à l’aide d’une suite définie par une relation de récurrence, l’évolution du nombre de collaborateurs en télétravail dans une entreprise. Une deuxième suite permet d’étudier le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif.
En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses 5 000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.
En mai 2020, seuls 200 d’entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (an).
Le terme an désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le n-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi a0 = 200.
Partie A
▶ 1. Calculer a1.
▶ 2. Justifier que, pour tout entier naturel n :
an+1 = 0,85 an + 450.
▶ 3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
vn = an - 3 000.
a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,85.
b) Exprimer vn en fonction de n pour tout entier naturel n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n :
▶ 4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
Partie B
Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n :
où un désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de n mois après le mois de mai 2020.
▶ 1. Démontrer que la fonction f définie pour tout x ∈[0 ; + ∞[ par :
est strictement croissante sur [0 ; + ∞[ .
▶ 2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 4.
b) Justifier que la suite (un) est convergente.
▶ 3. On admet que, pour tout entier naturel n, .
En déduire la limite de la suite et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. a) Il faut montrer que, pour tout entier naturel n, on a vn+1 = 0,85 vn.
c) Pour tout entier naturel n, on a vn = an - 3 000, donc an = vn + 3 000.
▶ 4. Utilisez la calculatrice ou la fonction ln.
Partie B
▶ 1. Calculez la dérivée de la fonction f en utilisant la formule donnant la dérivée du quotient de deux fonctions.
▶ 2. a) Utilisez le résultat établi à la question précédente.
b) Utilisez le théorème de convergence monotone.
▶ 3. On sait que, si q est un réel tel que - 1 < q < 1, alors la suite de terme général converge vers 0.
Pour l’interprétation, n’oubliez pas que un représente le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits.
Partie A
▶ 1. Calculer un terme d’une suite
Le terme a1 est le nombre de collaborateurs en télétravail un mois après le mois de mai 2020, c’est-à-dire en juin 2020.
Parmi les 200 collaborateurs en télétravail en mai 2020, 85 % continuent le télétravail le mois suivant.
, donc parmi les 200 collaborateurs en télétravail en mai 2020, 170 décident de continuer en juin 2020.
450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail. 170 + 450 = 620, donc en juin 2020, 620 collaborateurs de l’entreprise ont choisi le télétravail. On a alors :
▶ 2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite
Soit n un entier naturel.
Parmi les an collaborateurs en télétravail n mois après mai 2020, 85 % continuent le mois suivant, soit , c’est-à-dire 0,85an.
S’y ajoutent 450 collaborateurs supplémentaires, donc :
remarque
On dit que la suite (an) est une suite arithmético-géométrique.
▶ 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel n :
vn+1 = an+1 - 3 000
vn+1 = 0,85an + 450 - 3 000
vn+1 = 0,85an - 2 550.
Or vn = an - 3 000, donc an = vn + 3 000, d’où :
vn+1 = 0,85 vn + 2 550 - 2 550
vn+1 = 0,85 vn.
La suite est une suite géométrique de raison 0,85.
b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
Le premier terme de la suite (vn) est :
v0 = a0 - 3 000 = 200 - 3 000 = - 2 800.
D’après la formule du cours, on en déduit que, pour tout entier naturel n :
c) Donner l’expression du terme général d’une suite
Pour tout entier naturel n :
an = vn + 3 000
donc
remarque
On peut en déduire que la suite (an) est croissante et qu’elle converge vers 3 000.
▶ 4. Déterminer l’indice du terme d’une suite strictement supérieur à une valeur donnée
Pour déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, on résout l’inéquation an > 2 500.
Cette inéquation équivaut successivement à :
.
On applique la fonction ln aux deux membres de l’inégalité ; cette fonction est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, donc le sens de l’inégalité ne change pas. On obtient :
Puis, en divisant par ln(0,85), avec :
.
attention !
L’inégalité change de sens lorsqu’on divise les deux membres par un nombre négatif.
Or .
Comme n est entier, on a n ≥ 11.
Au bout de 11 mois après la mise en place du dispositif, le nombre de collaborateurs en télétravail sera strictement supérieur à 2 500.
Partie B
▶ 1. Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
La fonction f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et, pour tout x dans cet intervalle :
.
6 > 0 et, pour tout x dans [0 ; + ∞[, , donc .
On en déduit que est strictement croissante sur .
▶ 2. a) Établir par récurrence un encadrement des termes d’une suite
Initialisation
u0 = 1 et , donc 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ 4.
La propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité
Soit n un entier naturel tel que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 4.
Puisque la fonction f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, il en découle que :
.
Or , , f(un+1)= un+2 et , donc :
2 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ 4
qui entraîne :
0 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ 4.
La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n, elle est héréditaire.
Conclusion
Des deux points précédents on déduit que, pour tout entier naturel ,
.
b) Montrer qu’une suite est convergente
D’après la question précédente, la suite (un) est croissante et majorée par 4.
Le théorème de convergence monotone s’applique : la suite (un) est convergente.
▶ 3. Déterminer et interpréter la limite d’une suite convergente
Puisque , , donc .
D’après le théorème des gendarmes :
ce qui équivaut à :
La suite converge vers 4.
Puisque un représente le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par le dispositif de télétravail proposé par l’entreprise, on en déduit qu’au bout d’un grand nombre de mois après mai 2020, le nombre de collaborateurs satisfaits du dispositif est proche de 4 000.