Terminale générale Physique-chimie Dynamique d'un système électrique

France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2

SPRINT FINAL

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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2

exercice 3

Modélisation d’un détecteur capacitif d’humidité

1 heure

6 points

Intérêt du sujet • Allons faire un tour au jardin avec nos connaissances en électricité : un circuit RC couplé à un microcontrôleur permet de mesurer la teneur en eau d’un sol et ainsi de prévoir si une plante peut y pousser correctement !

Correctement calibré, un système d’arrosage automatique de végétaux permet un arrosage homogène, à un moment opportun et sans gaspillage d’eau. À cet effet, il peut être déclenché grâce à l’utilisation d’un détecteur capacitif d’humidité du sol.

L’objectif de cet exercice est d’étudier une modélisation simple d’un détecteur capacitif d’humidité puis de l’utiliser pour illustrer le principe d’une mesure de la teneur en eau d’un sol.

Données

Dans cet exercice, le détecteur capacitif d’humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité C varie en fonction de l’humidité du sol.

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Figure 1. Schéma simplifié du condensateur d’un détecteur d’humidité

Le condensateur est constitué de deux plaques (ou armatures) métalliques de surface S séparées d’une distance d plantées dans un sol de permittivité ε (figure ci-dessous).

La capacité C (en farad, F) du condensateur s’exprime en fonction de la surface S (en m²) de ses armatures, de la distance d (en m) qui les sépare et d’un paramètre caractéristique du sol appelé permittivité, ε (en F · m^–1), du sol par la relation :

$C = \frac{ε \times S}{d}$ .

On appelle « teneur en eau » le pourcentage volumique d’eau dans le sol.

On présente la courbe de la permittivité ε d’un sol argileux en fonction de sa teneur en eau :

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Figure 2. Permittivité du sol en fonction de sa teneur en eau

Partie 1. Modélisation de la charge du condensateur ⏱ 30 min

▶ 1. Prévoir qualitativement le sens de variation de la capacité C du détecteur capacitif d’humidité quand la teneur en eau d’un sol argileux augmente. (0,75 point)

Le condensateur de capacité C, modélisant le détecteur, est branché en série avec un générateur délivrant une tension constante E, un interrupteur K et un conducteur ohmique de résistance R.

Le circuit ainsi constitué est modélisé par un circuit de type RC représenté ci-dessous.

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À la date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on ferme l’interrupteur. On souhaite établir l’expression de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur.

▶ 2. Montrer que la tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle ci-dessous. Exprimer littéralement le temps caractéristique τ du circuit en fonction de R et de C.

$τ \times \frac{d u_{c}}{d t} + u_{c} = E$ . (1,5 point)

▶ 3. Vérifier que la fonction $u_{C} (t) = E \times (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$ est solution de cette équation différentielle et qu’elle satisfait à la condition imposée à la date t = 0 s. (0,5 point)

▶ 4. Montrer que la valeur de u_C à l’instant τ est approximativement : $u_{C} (τ) = 0,63 \times E .$ (0,25 point)

Partie 2. Modélisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux ⏱ 30 min

La mesure du temps caractéristique du circuit RC permet d’accéder à la valeur de la teneur en eau du sol. Cette mesure est réalisée à l’aide d’un microcontrôleur connecté au circuit RC décrit ci-dessus. Il permet entre autres :

de commander des alternances charge – décharge du condensateur,

de mesurer la tension aux bornes du condensateur,

d’afficher, après calcul, la valeur de la teneur en eau.

Pour déterminer le temps caractéristique du circuit RC, on enregistre l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur à l’aide du microcontrôleur ; celui-ci relève 52 000 valeurs de la tension par seconde.

Pour que la mesure soit suffisamment précise, on doit disposer d’au moins 10 valeurs de tension aux bornes du condensateur avant d’atteindre le temps caractéristique du circuit RC.

▶ 5. Montrer que le temps caractéristique τ du circuit RC doit être au minimum de l’ordre de 200 μs. (0,25 point)

Le condensateur possède les caractéristiques géométriques suivantes : S = 1,0 × 10^–1 m²et d = 1,0 × 10^–2 m². La valeur de la résistance R du circuit est R = 2,2 × 10⁵ Ω.

▶ 6. À l’aide de la contrainte sur le temps caractéristique τ du circuit RC, déterminer la teneur minimale en eau d’un sol argileux qu’il est possible de mesurer avec ce dispositif. (1 point)

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Le microcontrôleur réalise un traitement automatique des données s’appuyant sur un programme, écrit en langage Python, dont une partie est donnée ci-dessous :

Tableau de 9 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 9 lignes ;Ligne 1 : 1 # Arrosage automatique pour un sol argileux; Ligne 2 : 2 E = 5.0; Ligne 3 : 3 tension = 0; # définition de la tension aux bornes du condensateur; Ligne 4 : 4 t_i = time.time(); # définition de l’instant initial; Ligne 5 : 5 while tension < ; # boucle et condition; Ligne 6 : 6 float tension = analogRead(A0)*(5.0/1023.0); # transforme la mesure du microcontrôleur en tension; Ligne 7 : 7 t_f = time.time(); # mesure de l’instant final; Ligne 8 : 8 tau = t_f – t–i; ; Ligne 9 : 9 print("valeur de tau en ms :", tau); # affichage d’une valeur sur l’écran;

La commande « while » associée à une condition permet de créer une boucle qui répète la liste d’instructions qui suit, tant que la condition est satisfaite.

▶ 7. Indiquer l’objectif final de cet extrait de programme. (0,25 point)

▶ 8. Compléter la ligne 5 en indiquant la condition sur la valeur de la tension aux bornes du condensateur. (0,5 point)

Le détecteur est inséré dans un sol argileux. Dans ce type de sol, la teneur en eau doit être comprise entre 24 % et 38 % pour qu’une plante puisse y avoir une croissance normale.

Le programme renvoie le résultat suivant :

Tableau de 1 lignes, 1 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : valeur de tau en ms : 0,28676887987;

▶ 9. Déterminer si la teneur en eau mesurée dans ce sol argileux est suffisante pour y assurer une croissance normale d’une plante. (1 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Partie 1. Modélisation de la charge du condensateur

▶ 1. Prévoir le sens de variation d’une grandeur physique

La capacité du condensateur dépend de la permittivité ε selon la relation $C = \frac{ε \times S}{d}$ . D’après cette relation, capacité et permittivité sont directement proportionnelles (en supposant S et d constantes).

Et la figure 2 montre que la permittivité d’un sol argileux augmente avec sa teneur en eau.

La relation $C = \frac{ε \times S}{d}$ indique donc une augmentation de la capacité du sol quand sa teneur en eau augmente.

▶ 2. Établir une équation différentielle

ATTENTION

Il s’agit ici de l’établissement de l’équation différentielle d’un circuit de type RC (en décharge).

C’est une démonstration extrêmement classique (à connaître par cœur).

La loi d’additivité des tensions appliquée au circuit permet d’écrire : E – u_C – u_R= 0.

D’où : u_R+ u_C = E (1)

Par ailleurs, appliquée au conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’écrit : u_R = R × i.

Et, par définition de l’intensité : i = $\frac{d q}{d t}$ où q est la charge d’une des armatures du condensateur.

De plus, la tension aux bornes du condensateur u_C est liée à q par la relation q = C × u_C.

On peut donc écrire :

u_R = R × i = R × $\frac{d q}{d t}$ = R × $\frac{d (C \times u_{C})}{d t}$

= RC × $\frac{d u_{C}}{d t}$ car C est constante.

On peut donc écrire la relation (1) sous la forme :

RC × $\frac{d u_{C}}{d t}$ + u_C = E puis, en identifiant le temps caractéristique τ = RC : τ × $\frac{d u_{C}}{d t}$ + $u_{C}$ = E.

▶ 3. Vérifier une solution d’équation différentielle

à noter

Même si vous n’avez pas réussi à répondre à la question précédente, vous pouvez répondre à cette question (beaucoup plus simple) en vous servant du résultat donné dans l’énoncé.

On insère la solution envisagée dans l’équation pour vérifier qu’elle est bien une solution.

Si $u_{C} (t) = E \times (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$ alors $\frac{d u_{C}}{d t} = \frac{E}{τ} e^{- \frac{t}{τ}}$ .

On en déduit donc que :

$τ \frac{d u_{C}}{d t}$ + u_C = $τ \frac{E}{τ} e^{- \frac{t}{τ}}$ + $E \times (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$ .

Comme τ est non nul, on peut simplifier et écrire : $τ \frac{d u_{C}}{d t}$ + $u_{C}$ = $E e^{- \frac{t}{τ}}$ + E – $E e^{- \frac{t}{τ}}$ = E ce qui est bien l’égalité de la question 2.

À t = 0 s : $u_{C} (0) = E \times (1 - e^{- \frac{0}{τ}})$ = $E \times (1 - 1)$ = 0 F.

▶ 4. Calculer une valeur particulière

On calcule : $u_{C} (τ)$ $= E \times (1 - e^{- \frac{τ}{τ}})$ = $E \times (1 - e^{- 1})$ $≅ 0,63 E$ .

Partie 2. Modélisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux

▶ 5. Déterminer une valeur expérimentale caractéristique

Le microcontrôleur permet 52 000 mesures de tension par seconde. Cela fait 1 mesure toutes les $\frac{1}{52 000}$ de seconde soit 19,2 µs.

L’énoncé indique qu’il faut au moins 10 mesures pour que le résultat soit précis, ce qui correspond à 10 × 19,2 = 192 µs. Le temps caractéristique doit donc effectivement être d’au moins 200 µs.

▶ 6. Utiliser des données expérimentales

Fixons le temps caractéristique à sa valeur minimale : τ = 200 µs.

Sachant que τ = RC et que R = 2,2 × 10⁵ Ω, on peut calculer la valeur minimale que doit prendre la capacité du condensateur :

C = $\frac{τ}{R} = \frac{200 \times 10^{- 6}}{2,2 \times 10^{5}} = 9,1 \times 10^{- 10} F = 0,91 nF$ .

Nous savons aussi que $C = \frac{ε \times S}{d}$ donc que la permittivité du sol doit être au moins : $ε = \frac{C d}{S} = \frac{9,1 \times 10^{- 10} \times 1 \times 10^{- 2}}{1,0 \times 10^{- 1}} = 9,1 \times 10^{- 11} F \cdot m^{- 1}$ .

Pour déterminer la teneur en eau du sol qui correspond à cette valeur de la permittivité, on utilise la figure 2 où on lit que pour ε = $9,1 \times 10^{- 11} soit 0,91 \times 10^{- 10}$ , la valeur correspondante 15 %.

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Ce dispositif peut donc mesurer la teneur en eau du sol à condition qu’elle dépasse 15 %.

▶ 7. Comprendre l’objectif d’un programme en Python

Cet extrait du programme Python est la partie permettant de calculer et afficher la valeur de la constante de temps $τ$ (tau).

▶ 8. Compléter une instruction Python

On veut que le microcontrôleur prenne des mesures jusqu’au temps caractéristique τ. Comme la condition porte sur la valeur de la tension, on indique dans cette boucle la valeur de $u_{C} (τ)$ que l’on a calculée à la question 4 : 0,63E.

La ligne 5 du programme est donc :

5 while tension < 0,63*E.

▶ 9. Déduire la viabilité d’une plante à partir des données

Le microcontrôleur indique une valeur mesurée τ = 0,287 ms = 287 µs.

Sachant que τ = RC et R = 2,2 × 10⁵ Ω, on peut calculer :

C = $\frac{τ}{R} = \frac{287 \times 10^{- 6}}{2,2 \times 10^{5}} = 1,3 \times 10^{- 9} F = 1,3 nF$ .

Comme dans la question 6, on utilise l’expression $C = \frac{ε \times S}{d}$ et la figure 2 pour déduire la teneur en eau :

$ε = \frac{C \times d}{S} = \frac{1,3 \times 10^{- 9} \times 1 \times 10^{- 2}}{1,0 \times 10^{- 1}} = 1,3 \times 10^{- 10} F \cdot m^{- 1}$

ce qui correspond à une teneur en eau de 21 % d’après la figure 2.

L’énoncé indique qu’il faut une teneur en eau entre 24 % et 38 % pour une croissance normale : ce sol ne contient pas assez d’eau pour la croissance normale d’une plante.

Modélisation d'un détecteur capacitif d'humidité