Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

Fonctions exponentielles

matT_1406_07_09C

Ens. spécifique

14

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie en annexe.

A. étude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

>1. la concentration à l’instant initial ; (0,5 point)

>2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. (0,5 point)

On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. étude théorique

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 15] par , où représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

>1. On note la fonction dérivée de la fonction . Justifier que et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 15]. (0,75 point)

>2. Justifier que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 15]. (0,75 point)

>3. Déterminer un encadrement de d’amplitude un dixième. (0,5 point)

>4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :


En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction  sur l’intervalle [0 ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion. (0,75 point)

C. interprétation des résultats

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous :

>1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? (0,5 point)

>2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ? (0,75 point)

Annexe


Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Convexité • Point d’inflexion.

Les conseils du correcteur

Partie B

>2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

>4. La convexité de et l’existence d’un point d’inflexion de sa courbe représentative sont liées au signe de sa dérivée seconde.

Corrigé
Corrigé

A. étude graphique

>1. Lire graphiquement l’image d’un nombre par une fonction

L’instant initial correspond à  ; la concentration à l’instant initial est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0, c’est-à-dire l’ordonnée du point d’intersection de la courbe et de l’axe des ordonnées.

Graphiquement, la courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 2), donc on lit que la concentration de médicament à l’instant initial est 2 grammes par litre.

>2. Déterminer un intervalle par lecture graphique

L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre est l’intervalle auquel appartiennent les abscisses des points de la courbe d’ordonnée supérieure ou égale à 0,4, c’est-à-dire situés au-dessus de la droite d’équation

Les points de la courbe d’ordonnée supérieure ou égale à 0,4 sont les points dont l’abscisse est comprise entre 0 et 6.

Graphiquement, on observe que la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre pendant les 6 premières heures.

Graphique


B. étude théorique

>1. Calculer la dérivée et étudier les variations d’une fonction

. On calcule en appliquant la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions.

Pour tout appartenant à [0 ; 15] :

Pour tout appartenant à [0 ; 15], et ,

donc  et est strictement décroissante sur [0 ; 15].

.

D’où le tableau de variations :


>2. Démontrer qu’une équation admet une unique solution dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 15] ; et , donc :

.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationadmet une unique solutiondans l’intervalle [0 ; 15].

>3. Déterminer un encadrement d’amplitude donnée de la solution d’une équation

Notez bien

Par définition de  :

.

D’après la calculatrice :

et

(en arrondissant au millième).

Donc

Donc un encadrement de d’amplitude un dixième est :

>4. Étudier la convexité d’une fonction et l’existence d’un point d’inflexion de sa courbe représentative

D’après les résultats fournis par le logiciel, pour tout appartenant à [0 ; 15] :

.

Donc est du signe de .

Notez bien

La courbe représentative de « traverse sa tangente » en I.

Donc si et seulement si .

si et seulement si ,

si et seulement si ,

change de signe en .

Doncf est concave sur [0 ; 2], convexe sur [2 ; 15], et le point I d’abscisse 2 est un point d’inflexion de la courbe représentative def.

C. interprétation des résultats

>1. Estimer le temps pendant lequel un médicament est actif

D’après la partie B, si et seulement si , où est la solution de l’équation .

Donc le médicament est actif pendant un temps égal (en heures) à . D’après l’encadrement obtenu à la question 3. de la partie B, le médicament est actif un peu moins de 9 heures et 30 minutes.

>2. Étudier le ralentissement de la baisse de concentration d’un produit dans le sang

D’après l’étude faite à la partie B (confirmée par la courbe donnée dans l’énoncé), la concentration du médicament dans le sang diminue au cours du temps pendant les 15 heures considérées.

L’étude de la convexité de faite à la question 4. de la partie B permet d’affirmer que cette baisse ralentit au bout de 2 heures.