Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Modélisation de la concentration d’un  médicament  dans le sang

Fonctions exponentielles

matT_1406_07_09C

Ens. spécifique

14

CORRIGE

France métropolitaine  • Juin 2014

Exercice 4 • 5  points

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15  heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie en annexe.

A. étude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer  :

>1. la concentration à l’instant initial  (0,5  point)

>2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4  gramme par litre. (0,5  point)

On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. étude théorique

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [0  15] par , où représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

>1. On note la fonction dérivée de la fonction . Justifier que et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [0  15]. (0,75  point)

>2. Justifier que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [0  15]. (0,75  point)

>3. Déterminer un encadrement de d’amplitude un dixième. (0,5  point)

>4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous  :


En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction  sur l’intervalle [0  15] et préciser l’abscisse d’un éventuel  point d’inflexion. (0,75  point)

C. interprétation des résultats

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous  :

>1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1  gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif  ? (0,5  point)

>2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle  ? (0,75  point)

Annexe


Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Convexité • Point d’inflexion.

Les conseils du correcteur

Partie B

>2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

>4. La convexité de et l’existence d’un  point d’inflexion de sa courbe représentative sont liées au signe de sa dérivée seconde.

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