Modélisation des coûts de production et du bénéfice d’une entreprise fabriquant des cartes à puce

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Modélisation des coûts de production et du bénéfice d’une entreprise fabriquant des cartes à puce

Fonctions exponentielles

matT_1405_09_08C

Ens. spécifique

16

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 4 • 6 points

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 5] par :

On a représenté en annexe, dans un plan muni d’un repère orthonormé :

  • la courbe 𝒞 représentative de la fonction  ;
  • la droite d’équation .

>1. a) Vérifier que pour tout appartenant à l'’ntervalle [0 ; 5], on a :

désigne la fonction dérivée de . (0,5 point)

b) Résoudre dans l’intervalle [0 ; 5] l’équation . (0,5 point)

c) Étudier le signe de sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,75 point)

d) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,25 point)

>2. On note l’abscisse du point d’intersection de 𝒞 et .

a) Donner, par lecture graphique, un encadrement de à 0,5 près. (0,5 point)

b) Résoudre graphiquement sur l’intervalle [0 ; 5] l’inéquation :

. (0,5 point)

Partie B

Application

Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l’aide d’une machine.

La fonction f, définie dans la partie A, représente le coût d’utilisation de la machine en fonction de la quantité de cartes produites, lorsque est exprimé en centaines de cartes et en centaines d’euros.

>1. a) Déduire de la partie A le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d’utilisation de la machine. (0,5 point)

b) Chaque carte fabriquée par la machine est vendue 1,50 €.

La recette perçue pour la vente de centaines de cartes vaut donc centaines d’euros.

Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d’euros, par la vente de centaines de cartes est donné par . (0,5 point)

>2. a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,5 point)

b) Montrer que, sur l’intervalle [0 ; 5], l’équation admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33. (1 point)

>3. On dira que l’entreprise réalise un bénéfice lorsque .

Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. (0,5 point)

Annexe


Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. a) Utilisez la formule sur l’intervalle [0 ; 5].

Partie B

>1. b) Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication des cartes, c’est-à-dire le coût d’utilisation des machines.

>2. b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel de l’intervalle [0 ; 5] :

b) Résoudre une équation associée à une fonction

équivaut à :

c) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

D’après la question précédente, si et seulement si .

  • Si , alors , donc et :

  • Si , alors , donc et :

d) Étudier les variations d’une fonction

On déduit de la question précédente que est strictement décroissante sur [0 ; 0,5], strictement croissante sur [0,5 ; 5]. Son tableau de variations sur l’intervalle [0 ; 5] est donc :


 ;.

>2. a) Déterminer par lecture graphique l’abscisse d’un point

Par lecture graphique, on observe que 𝒞 et se coupent au point d’abscisse , avec :

b) Résoudre graphiquement une inéquation

Par lecture graphique, l’ensemble des solutions sur [0 ; 5] de l’inéquation est :

Partie B

>1. a) Déterminer la production pour un coût minimal

D’après la partie A, la fonction admet son minimum sur [0 ; 5] en .

Le coût minimal d’utilisation de la machine est obtenu pour 0,5 centaine de cartes, c’est-à-dire 50 cartes produites.

b) Déterminer un bénéfice en fonction de la quantité produite

Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et le coût de fabrication. Donc, pour centaines de cartes produites, le bénéfice est, en centaines d’euros :

>2. a) Montrer qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle donné

Pour tout , .

Or pour tout réel , donc :

pour tout .

La fonctionest strictement croissante sur l’intervalle.

b) Montrer qu’une équation admet une unique solution dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement croissante sur .

et , donc : .

Notez bien

est la valeur de pour laquelle le bénéfice est nul, c’est-à-dire pour laquelle la recette est égale au coût de production ; est donc l’abscisse du point d’intersection de 𝒞 et , donc .

Le résultat obtenu dans cette question est cohérent avec l’encadrement donné dans la partie A par lecture graphique.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution dans l’intervalle .

D’après la calculatrice :

et , donc :

>3. Déterminer la production minimale pour réaliser un bénéfice

D’après les questions précédentes, l’entreprise réalise un bénéfice pour une production de centaines de cartes telle que .

Puisque , on en déduit que l’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si elle fabrique et vend au minimum 233 cartes à puces.