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Amérique du Nord &bull Juin 2015
Exercice 4 &bull 5 points
Modélisation des ventes espérées d&rsquo un jouet après  une campagne publicitaire
partie A
Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 
d&rsquo une fonction 
définie et dérivable sur l&rsquo intervalle 
ainsi que les tangentes au point A d&rsquo abscisse 0, au point B d&rsquo abscisse 5 et au point D d&rsquo abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 
et que la tangente au point B est parallèle à l&rsquo axe des abscisses.
▶  1. Donner les valeurs de 
et 
. (0,5  point)
▶  2. On admet que D est un point d&rsquo inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat.  (0,5  point)
partie B
Une entreprise s&rsquo apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la  fonction 
dont la courbe représentative 
a été tracée ci-dessus.
En abscisses, 
représente le nombre de jours écoulés depuis le début de  la campagne publicitaire.
En ordonnées, 
représente le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l&rsquo entreprise prévoit de vendre environ 6  800  jouets.
On admet que la fonction 
est définie sur l&rsquo intervalle 
par  :
▶  1. Montrer que 
où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l&rsquo intervalle  
. (0,5  point)
▶  2. Étudier le signe de 
sur 
puis dresser le tableau de  variations de 
sur 
. (1  point)
▶  3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de  ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l&rsquo unité. (0,75  point)
partie C
▶  1. On admet que la fonction 
définie sur 
par  :
est une primitive de la fonction 
.
a) Calculer la valeur exacte de l&rsquo intégrale 
. (0,75  point)
b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l&rsquo unité. (0,5  point)
▶  2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants  :
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1 |
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2 |
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Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l&rsquo intervalle sur lequel la fonction 
est convexe. (0,5  point)
Les clés du sujet
Durée conseillée  : 45  minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Point d&rsquo inflexion &bull Fonction exponentielle &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Convexité.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶  1. 
et 
sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 
.
Partie B
▶  1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.
▶  2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la «   règle des signes  » .
Partie C
▶  1. a) Utilisez la primitive 
de 
donnée.
b) Utilisez la notion de valeur moyenne d&rsquo une fonction sur un intervalle.
▶  2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 
, où 
est la dérivée seconde de 
.
Le signe de 
permet de déterminer la convexité de 
.
