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Amérique du Nord • Juin 2015
Exercice 4 • 5 points
Modélisation des ventes espérées d'un jouet après une campagne publicitaire
partie A
Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 
d'une fonction 
définie et dérivable sur l'intervalle 
ainsi que les tangentes au point A d'abscisse 0, au point B d'abscisse 5 et au point D d'abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 
et que la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
▶ 1. Donner les valeurs de 
et 
. (0,5 point)
▶ 2. On admet que D est un point d'inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)
partie B
Une entreprise s'apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 
dont la courbe représentative 
a été tracée ci-dessus.
En abscisses, 
représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.
En ordonnées, 
représente le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l'entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction 
est définie sur l'intervalle 
par :
▶ 1. Montrer que 
où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l'intervalle 
. (0,5 point)
▶ 2. Étudier le signe de 
sur 
puis dresser le tableau de variations de 
sur 
. (1 point)
▶ 3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l'unité. (0,75 point)
partie C
▶ 1. On admet que la fonction 
définie sur 
par :
est une primitive de la fonction 
.
a) Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
. (0,75 point)
b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l'unité. (0,5 point)
▶ 2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :
| 1 |
|
|
| |
| 2 |
|
|
|
Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction 
est convexe. (0,5 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Point d'inflexion • Fonction exponentielle • Variations d'une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d'aire • Valeur moyenne d'une fonction • Convexité.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. 
et 
sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 
.
Partie B
▶ 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.
▶ 2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la « règle des signes ».
Partie C
▶ 1. a) Utilisez la primitive 
de 
donnée.
b) Utilisez la notion de valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
▶ 2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 
, où 
est la dérivée seconde de 
.
Le signe de 
permet de déterminer la convexité de 
.
Corrigé
Partie A
▶ 1. Lire graphiquement deux nombres dérivés
Notez bien
Si A et B sont deux points de coordonnées respectives 
et 
, avec 
, alors la droite (AB) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et a pour coefficient directeur 
.
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point B cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est 0, donc :
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point A cette tangente est la droite (AE). Son coefficient directeur est 
. Donc :
▶ 2. Interpréter graphiquement la notion de point d'inflexion
D est un point d'inflexion de 
, donc 
traverse sa tangente en D.
partie B
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout réel 
appartenant à 
:
▶ 2. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
. Donc :
si 
, alors 
, donc
si 
, alors 
, donc 
.
On en déduit que 
est strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
. D'où le tableau de variations :
▶ 3. Étudier le maximum d'une fonction
Attention !
désigne le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
D'après la question précédente, le maximum de ventes par jour est atteint 5 jours après le début de la campagne publicitaire avec une vente de 9 197 jouets.
partie C
▶ 1. a) Calculer une intégrale
est une primitive de 
, donc :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Une estimation du nombre moyen de milliers de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours est donnée par la valeur moyenne de 
sur l'intervalle 
, c'est-à-dire
à 
près.
Le nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours peut donc être estimé à 7 425, arrondi à l'unité.
▶ 2. Étudier la convexité d'une fonction
La fonction 
est convexe sur l'intervalle 
si et seulement si, pour tout 
dans cet intervalle, 
.
D'après le dernier résultat fourni par le logiciel de calcul formel, 
est définie par :
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
.
Donc :
La fonction 
est donc convexe sur l'intervalle 
.