Modélisation des ventes espérées d'un jouet après une campagne publicitaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

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Amérique du Nord &bull Juin 2015

Exercice 4 &bull 5 points

Modélisation des ventes espérées d&rsquo un jouet après&nbsp une campagne publicitaire

partie A

Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 4050616-Eqn84 d&rsquo une fonction 4050616-Eqn85 définie et dérivable sur l&rsquo intervalle 4050616-Eqn86 ainsi que les tangentes au point A d&rsquo abscisse 0, au point B d&rsquo abscisse 5 et au point D d&rsquo abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 4050616-Eqn87 et que la tangente au point B est parallèle à l&rsquo axe des abscisses.

matT_1506_02_01C_04

&nbsp 1. Donner les valeurs de 4050616-Eqn88 et 4050616-Eqn89. (0,5&nbsp point)

&nbsp 2. On admet que D est un point d&rsquo inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat.&nbsp (0,5&nbsp point)

partie B

Une entreprise s&rsquo apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la&nbsp fonction 4050616-Eqn90 dont la courbe représentative 4050616-Eqn91 a été tracée ci-dessus.

En abscisses, 4050616-Eqn92 représente le nombre de jours écoulés depuis le début de&nbsp la campagne publicitaire.

En ordonnées, 4050616-Eqn93 représente le nombre de milliers de jouets vendus le 4050616-Eqn94-ième jour.

Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l&rsquo entreprise prévoit de vendre environ 6&nbsp 800&nbsp jouets.

On admet que la fonction 4050616-Eqn95 est définie sur l&rsquo intervalle 4050616-Eqn96 par&nbsp :

4050616-Eqn97

&nbsp 1. Montrer que 4050616-Eqn984050616-Eqn99 désigne la fonction dérivée de 4050616-Eqn100 sur l&rsquo intervalle&nbsp 4050616-Eqn101. (0,5&nbsp point)

&nbsp 2. Étudier le signe de 4050616-Eqn102 sur 4050616-Eqn103 puis dresser le tableau de&nbsp variations de 4050616-Eqn104 sur 4050616-Eqn105. (1&nbsp point)

&nbsp 3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de&nbsp ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l&rsquo unité. (0,75&nbsp point)

partie C

&nbsp 1. On admet que la fonction 4050616-Eqn106 définie sur 4050616-Eqn107 par&nbsp :

4050616-Eqn108

est une primitive de la fonction 4050616-Eqn109.

a) Calculer la valeur exacte de l&rsquo intégrale 4050616-Eqn110. (0,75&nbsp point)

b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l&rsquo unité. (0,5&nbsp point)

&nbsp 2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants&nbsp :

1

4050616-Eqn111

4050616-Eqn112

2

4050616-Eqn113

4050616-Eqn114

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l&rsquo intervalle sur lequel la fonction 4050616-Eqn115 est convexe. (0,5&nbsp point)

Les clés du sujet

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Tangente &bull Point d&rsquo inflexion &bull Fonction exponentielle &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

&nbsp 1. 4050616-Eqn126 et 4050616-Eqn127 sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 4050616-Eqn128.

Partie B

&nbsp 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

&nbsp 2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la &laquo &nbsp règle des signes&nbsp &raquo .

Partie C

&nbsp 1. a) Utilisez la primitive 4050616-Eqn129 de 4050616-Eqn130 donnée.

b) Utilisez la notion de valeur moyenne d&rsquo une fonction sur un intervalle.

&nbsp 2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 4050616-Eqn131, où 4050616-Eqn132 est la dérivée seconde de 4050616-Eqn133.

Le signe de 4050616-Eqn134 permet de déterminer la convexité de 4050616-Eqn135.