Modélisation des ventes espérées d'un jouet après une campagne publicitaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Modélisation des ventes espérées d’un jouet après une campagne publicitaire

partie A

Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 4050616-Eqn84 d’une fonction 4050616-Eqn85 définie et dérivable sur l’intervalle 4050616-Eqn86 ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 4050616-Eqn87 et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

matT_1506_02_01C_04

 1. Donner les valeurs de 4050616-Eqn88 et 4050616-Eqn89. (0,5 point)

 2. On admet que D est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)

partie B

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 4050616-Eqn90 dont la courbe représentative 4050616-Eqn91 a été tracée ci-dessus.

En abscisses, 4050616-Eqn92 représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.

En ordonnées, 4050616-Eqn93 représente le nombre de milliers de jouets vendus le 4050616-Eqn94-ième jour.

Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.

On admet que la fonction 4050616-Eqn95 est définie sur l’intervalle 4050616-Eqn96 par :

4050616-Eqn97

 1. Montrer que 4050616-Eqn984050616-Eqn99 désigne la fonction dérivée de 4050616-Eqn100 sur l’intervalle 4050616-Eqn101. (0,5 point)

 2. Étudier le signe de 4050616-Eqn102 sur 4050616-Eqn103 puis dresser le tableau de variations de 4050616-Eqn104 sur 4050616-Eqn105. (1 point)

 3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité. (0,75 point)

partie C

 1. On admet que la fonction 4050616-Eqn106 définie sur 4050616-Eqn107 par :

4050616-Eqn108

est une primitive de la fonction 4050616-Eqn109.

a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale 4050616-Eqn110. (0,75 point)

b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. (0,5 point)

 2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

1

4050616-Eqn111

4050616-Eqn112

2

4050616-Eqn113

4050616-Eqn114

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction 4050616-Eqn115 est convexe. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. 4050616-Eqn126 et 4050616-Eqn127 sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 4050616-Eqn128.

Partie B

 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

 2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la « règle des signes ».

Partie C

 1. a) Utilisez la primitive 4050616-Eqn129 de 4050616-Eqn130 donnée.

b) Utilisez la notion de valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

 2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 4050616-Eqn131, où 4050616-Eqn132 est la dérivée seconde de 4050616-Eqn133.

Le signe de 4050616-Eqn134 permet de déterminer la convexité de 4050616-Eqn135.