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Amérique du Nord • Juin 2015
Exercice 4 • 5 points
Modélisation des ventes espérées d’un jouet après une campagne publicitaire
partie A
Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 
d’une fonction 
définie et dérivable sur l’intervalle 
ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 
et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.
▶ 1. Donner les valeurs de 
et 
. (0,5 point)
▶ 2. On admet que D est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)
partie B
Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 
dont la courbe représentative 
a été tracée ci-dessus.
En abscisses, 
représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.
En ordonnées, 
représente le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction 
est définie sur l’intervalle 
par :
▶ 1. Montrer que 
où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l’intervalle 
. (0,5 point)
▶ 2. Étudier le signe de 
sur 
puis dresser le tableau de variations de 
sur 
. (1 point)
▶ 3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité. (0,75 point)
partie C
▶ 1. On admet que la fonction 
définie sur 
par :
est une primitive de la fonction 
.
a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale 
. (0,75 point)
b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. (0,5 point)
▶ 2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :
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1 |
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2 |
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Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction 
est convexe. (0,5 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Convexité.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. 
et 
sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 
.
Partie B
▶ 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.
▶ 2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la « règle des signes ».
Partie C
▶ 1. a) Utilisez la primitive 
de 
donnée.
b) Utilisez la notion de valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.
▶ 2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 
, où 
est la dérivée seconde de 
.
Le signe de 
permet de déterminer la convexité de 
.
