Modélisation des ventes espérées d'un jouet après une campagne publicitaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Modélisation des ventes espérées d’un jouet après une campagne publicitaire

partie A

Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 4050616-Eqn84 d’une fonction 4050616-Eqn85 définie et dérivable sur l’intervalle 4050616-Eqn86 ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 4050616-Eqn87 et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

matT_1506_02_01C_04

 1. Donner les valeurs de 4050616-Eqn88 et 4050616-Eqn89. (0,5 point)

 2. On admet que D est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)

partie B

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 4050616-Eqn90 dont la courbe représentative 4050616-Eqn91 a été tracée ci-dessus.

En abscisses, 4050616-Eqn92 représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.

En ordonnées, 4050616-Eqn93 représente le nombre de milliers de jouets vendus le 4050616-Eqn94-ième jour.

Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.

On admet que la fonction 4050616-Eqn95 est définie sur l’intervalle 4050616-Eqn96 par :

4050616-Eqn97

 1. Montrer que 4050616-Eqn984050616-Eqn99 désigne la fonction dérivée de 4050616-Eqn100 sur l’intervalle 4050616-Eqn101. (0,5 point)

 2. Étudier le signe de 4050616-Eqn102 sur 4050616-Eqn103 puis dresser le tableau de variations de 4050616-Eqn104 sur 4050616-Eqn105. (1 point)

 3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité. (0,75 point)

partie C

 1. On admet que la fonction 4050616-Eqn106 définie sur 4050616-Eqn107 par :

4050616-Eqn108

est une primitive de la fonction 4050616-Eqn109.

a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale 4050616-Eqn110. (0,75 point)

b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. (0,5 point)

 2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

1

4050616-Eqn111

4050616-Eqn112

2

4050616-Eqn113

4050616-Eqn114

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction 4050616-Eqn115 est convexe. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. 4050616-Eqn126 et 4050616-Eqn127 sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 4050616-Eqn128.

Partie B

 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

 2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la « règle des signes ».

Partie C

 1. a) Utilisez la primitive 4050616-Eqn129 de 4050616-Eqn130 donnée.

b) Utilisez la notion de valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

 2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de 4050616-Eqn131, où 4050616-Eqn132 est la dérivée seconde de 4050616-Eqn133.

Le signe de 4050616-Eqn134 permet de déterminer la convexité de 4050616-Eqn135.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Lire graphiquement deux nombres dérivés

Notez bien

Si A et B sont deux points de coordonnées respectives 4050616-Eqn273 et 4050616-Eqn274, avec 4050616-Eqn275, alors la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et a pour coefficient directeur 4050616-Eqn276.

4050616-Eqn277 est le coefficient directeur de la tangente à 4050616-Eqn278 au point B ; cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur est 0, donc :

4050616-Eqn279

4050616-Eqn280 est le coefficient directeur de la tangente à 4050616-Eqn281 au point A ; cette tangente est la droite (AE). Son coefficient directeur est 4050616-Eqn282. Donc :

4050616-Eqn283

 2. Interpréter graphiquement la notion de point d’inflexion

D est un point d’inflexion de 4050616-Eqn284 , donc 4050616-Eqn285 traverse sa tangente en D.

partie B

 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel 4050616-Eqn286 appartenant à 4050616-Eqn287 :

4050616-Eqn288

4050616-Eqn289

4050616-Eqn290

 2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

4050616-Eqn291 pour tout réel 4050616-Eqn292, donc 4050616-Eqn293 a le signe de 4050616-Eqn294. Donc :

4050616-Eqn295

si 4050616-Eqn296, alors 4050616-Eqn297, donc4050616-Eqn298

si 4050616-Eqn299, alors 4050616-Eqn300, donc 4050616-Eqn301.

On en déduit que 4050616-Eqn302 est strictement croissante sur 4050616-Eqn303, strictement décroissante sur 4050616-Eqn304. D’où le tableau de variations :

matT_1506_02_01C_07

4050616-Eqn311

4050616-Eqn312

 3. Étudier le maximum d’une fonction

Attention !

4050616-Eqn313 désigne le nombre de milliers de jouets vendus le 4050616-Eqn314-ième jour.

D’après la question précédente, le maximum de ventes par jour est atteint 5 jours après le début de la campagne publicitaire avec une vente de 9 197 jouets.

partie C

 1. a) Calculer une intégrale

4050616-Eqn315 est une primitive de 4050616-Eqn316, donc :

4050616-Eqn317

4050616-Eqn318

4050616-Eqn319

4050616-Eqn320

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Une estimation du nombre moyen de milliers de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours est donnée par la valeur moyenne de 4050616-Eqn321 sur l’intervalle 4050616-Eqn322, c’est-à-dire

4050616-Eqn323 à 4050616-Eqn324 près.

Le nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours peut donc être estimé à 7 425, arrondi à l’unité.

 2. Étudier la convexité d’une fonction

La fonction 4050616-Eqn325 est convexe sur l’intervalle 4050616-Eqn326 si et seulement si, pour tout 4050616-Eqn327 dans cet intervalle, 4050616-Eqn328.

D’après le dernier résultat fourni par le logiciel de calcul formel, 4050616-Eqn329 est définie par :

4050616-Eqn330

4050616-Eqn331 pour tout réel 4050616-Eqn332, donc 4050616-Eqn333 a le signe de 4050616-Eqn334.

Donc :

4050616-Eqn335

La fonction 4050616-Eqn336 est donc convexe sur l’intervalle 4050616-Eqn337.