Modélisation du développement de l’activité d’un styliste

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Modélisation du développement de l’activité d’un styliste

Intégration

matT_1309_07_05C

Ens. spécifique

23

CORRIGE

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 3 • 5 points

PARTIE A

Soit la fonction définie sur l’intervalle [– 10 ; 30] par :

On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

>1. Soit la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout réel de l’intervalle [– 10 ; 30] :

. (0,5 point)

>2. En déduire le sens de variation de sur l’intervalle [– 10 ; 30]. (0,5 point)

>3. Justifier que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; 20] et donner un encadrement de à 0,1 près. (0,75 point)

>4. Soit la fonction définie sur [– 10 ; 30] par :

On admet que est une primitive de dans l’intervalle [– 10 ; 30].

a) Calculer la valeur exacte de (0,5 point)

b) En déduire la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [5 ; 10]. (0,5 point)

On donnera une valeur arrondie au centième.

PARTIE B

En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.

Il a utilisé la fonction définie dans la partie A, mais seulement sur l’intervalle [0 ; 20] pour modéliser son développement et a désigné par le nombre de magasins de son enseigne existant en .

>1. Calculer et interpréter le résultat. (0,5 point)

>2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possèdera 80 boutiques. (0,75 point)

>3. Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros.

Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d’euros près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Pour calculer la dérivée de , utilisez la formule sur tout intervalle où la fonction est dérivable.

>4. a) Pour le calcul de l’intégrale I, utilisez la primitive de donnée dans l’énoncé.

Partie B

Utilisez les résultats de la partie A.

Corrigé
Corrigé

PARTIE A

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel de l’intervalle [– 10 ; 30] :

>2. Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle

pour tout appartenant à [– 10 ; 30] , donc le signe de est celui de .

.

  • Si , alors et .
  • Si , alors et .

est donc strictement décroissante sur l’intervalle [– 10 ; – 5], strictement croissante sur l’intervalle [– 5 ; 30].

>3. Montrer qu’une équation possède une unique solution dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 20].

et , donc

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; 20].

D’après la calculatrice :

et .

, donc :

>4. Soit la fonction définie sur [– 10 ; 30] par :

On admet que est une primitive de dans l’intervalle [– 10 ; 30].

a) Calculer une intégrale

Puisque est une primitive de dans l’intervalle [– 10 ; 30], alors :

.

Or et , d’où :

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle donné

La valeur moyenne de sur l’intervalle [5 ; 10] est :

PARTIE B

>1. Calculer et interpréter l’image d’un nombre par une fonction

, c’est-à-dire qu’en 2010+0, c’est-à-dire en 2010, l’enseigne comptait 5 magasins.

>2. Donner une utilisation concrète de la solution d’une équation

D’après la partie A, est strictement croissante sur [0 ; 20] et , avec :

.

Donc le plus petit entier tel que est .

Donc la chaîne possèdera 80 boutiques (ou plus) à partir de l’année, c’est-à-dire à partir de 2024.

>3. Donner une estimation d’un chiffre d’affaires annuel moyen

Les années 2015 et 2020 correspondent à et .

Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros et est ouvert 300 jours par an.

Donc le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est, en euros :

est la valeur moyenne de sur l’intervalle [5 ; 10].

On a vu dans la partie A que .

Le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est donceuros, soit environ 13 943 600 euros.