Modélisation du développement de l’activité d’un styliste

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Mod&eacute lisation du d&eacute veloppement de  l&rsquo activit&eacute d&rsquo un  styliste

Int&eacute gration

matT_1309_07_05C

Ens. sp&eacute cifique

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CORRIGE

France m&eacute tropolitaine &bull Septembre 2013

Exercice 3 &bull 5 points

PARTIE A

Soit la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [&ndash   10  30] par  :

On admet que f est d&eacute rivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

&gt 1. Soit la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction .

Montrer que, pour tout r&eacute el de l&rsquo intervalle [&ndash   10  30]  :

. (0,5 point)

&gt 2. En d&eacute duire le sens de variation de sur l&rsquo intervalle [&ndash   10  30]. (0,5  point)

&gt 3. Justifier que l&rsquo &eacute quation admet une solution unique dans l&rsquo intervalle [0  20] et donner un encadrement de &agrave 0,1 pr&egrave s. (0,75 point)

&gt 4. Soit la fonction d&eacute finie sur [&ndash   10  30] par  :

On admet que est une primitive de dans l&rsquo intervalle [&ndash   10  30].

a) Calculer la valeur exacte de (0,5 point)

b) En d&eacute duire la valeur moyenne de la fonction sur l&rsquo intervalle [5    10]. (0,5 point)

On donnera une valeur arrondie au centi&egrave me.

PARTIE B

En 2010, un styliste a d&eacute cid&eacute d&rsquo ouvrir des boutiques de v&ecirc tements &agrave prix mod&eacute r&eacute s, tout d&rsquo abord dans son pays d&rsquo origine, puis dans la communaut&eacute europ&eacute enne et au niveau mondial.

Il a utilis&eacute la fonction d&eacute finie dans la partie A, mais seulement sur l&rsquo intervalle [0  20] pour mod&eacute liser son d&eacute veloppement et a d&eacute sign&eacute par le nombre de magasins de son enseigne existant en .

&gt 1. Calculer et interpr&eacute ter le r&eacute sultat. (0,5 point)

&gt 2. En utilisant la partie A, indiquer &agrave partir de quelle ann&eacute e la cha&icirc ne poss&egrave dera 80 boutiques. (0,75 point)

&gt 3. Chaque magasin a un chiffre d&rsquo affaires journalier moyen de 2  500  euros.

Si on consid&egrave re qu&rsquo un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, &agrave la centaine d&rsquo euros pr&egrave s, le chiffre d&rsquo affaires annuel moyen que le styliste peut esp&eacute rer pour l&rsquo ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1  point)

Les cl&eacute s du sujet

Les th&egrave mes en jeu

Fonction exponentielle &bull D&eacute riv&eacute e &bull Tangente &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires &bull Primitive &bull Int&eacute grale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Pour calculer la d&eacute riv&eacute e de , utilisez la formule sur tout intervalle o&ugrave la fonction est d&eacute rivable.

&gt 4. a) Pour le calcul de l&rsquo int&eacute grale I, utilisez la primitive de donn&eacute e dans l&rsquo &eacute nonc&eacute .

Partie B

Utilisez les r&eacute sultats de la partie A.