Intégration
matT_1309_07_05C
Ens. spécifique
23
CORRIGE
France métropolitaine • Septembre 2013
Exercice 3 • 5 points
PARTIE A
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [– 10 ; 30] par :
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
la fonction dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout réel 
de l’intervalle [– 10 ; 30] :
. (0,5 point)
sur l’intervalle [– 10 ; 30]. (0,5 point)
admet une solution unique 
dans l’intervalle [0 ; 20] et donner un encadrement de 
à 0,1 près. (0,75 point)
la fonction définie sur [– 10 ; 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l’intervalle [– 10 ; 30].
(0,5 point)
sur l’intervalle [5 ; 10]. (0,5 point)
On donnera une valeur arrondie au centième.
PARTIE B
En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction 
définie dans la partie 
le nombre de magasins de son enseigne existant en 
.
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d’euros près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle • Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
, utilisez la formule 
sur tout intervalle où la fonction 
est dérivable.
de 
donnée dans l’énoncé.
Partie B
Utilisez les résultats de la partie A.
PARTIE A
> 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Pour tout réel 
de l’intervalle [– 10 ; 30] :
> 2. Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
pour tout 
appartenant à [– 10 ; 30] , donc le signe de 
est celui de 
.
.
- Si
, alors 
et 
. - Si
, alors 
et 
.
> 3. Montrer qu’une équation possède une unique solution dans un intervalle donné
La fonction 
est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 20].
et 
, donc 
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l’équation 
admet une solution unique 
dans l’intervalle [0 ; 20].
D’après la calculatrice :
et 
.
, donc :
la fonction définie sur [– 10 ; 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l’intervalle [– 10 ; 30].
a) Calculer une intégrale
Puisque 
est une primitive de 
dans l’intervalle [– 10 ; 30], alors :
.
Or 
et 
, d’où :
b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle donné
La valeur moyenne de 
sur l’intervalle [5 ; 10] est :
PARTIE B
> 1. Calculer et interpréter l’image d’un nombre par une fonction
, c’est-à-dire qu’en 2010+0, c’est-à-dire
> 2. Donner une utilisation concrète de la solution d’une équation
D’après la partie 
est strictement croissante sur [0 ; 20] et 
, avec :
.
Donc le plus petit entier 
tel que 
est 
.
> 3. Donner une estimation d’un chiffre d’affaires annuel moyen
Les années 2015 et 2020 correspondent à 
et 
.
Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros et est ouvert 300 jours par an.
Donc le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est, en euros :
où 
est la valeur moyenne de 
sur l’intervalle [5 ; 10].
On a vu dans la partie 
.
