Modélisation du temps de chargement d’une vidéo sur Internet

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Modélisation du temps de chargement d’une vidéo sur Internet

Fonction logarithme népérien

matT_1405_02_10C

Ens. spécifique

18

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d’internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a : modèle exponentiel

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction qui modélise la situation précédente.

On note le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément et la durée de chargement exprimée en seconde.


>1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 personnes connectées. (0,5 point)

>2.a) Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par . (0,5 point)

b) Donner une interprétation de ce résultat. (0,5 point)

partie b : modèle logarithmique

On considère une autre fonction pour modéliser la situation précédente.

On note le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément.

La durée de chargement en seconde est alors avec :

pour appartenant à .

>1. a) Calculer . (0,5 point)

b) Dresser le tableau de variations de sur l’intervalle . (0,5 point)

>2. a) Justifier que la fonction définie sur par :

est une primitive de sur . (0,5 point)

b) On pose .

Montrer que la valeur exacte de peut s’écrire sous la forme , où et sont deux entiers relatifs que l’on déterminera. (0,75 point)

c) Déterminer une valeur approchée à près de , puis donner une interprétation de ce résultat. (0,5 point)

partie c

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8 000 personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.

Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. La durée de chargement pour 8 000 personnes connectées est l’ordonnée du point de la courbe représentative de d’abscisse 8.

Partie B

>2.b) Utilisez la primitive de donnée à la question précédente.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Déterminer par lecture graphique l’image d’un nombre par une fonction

Si 8 000 personnes sont connectées, alors et la durée de téléchargement, en seconde, est .

Par lecture graphique, on peut estimer que la durée de téléchargement pour 8 000 personnes connectées est environ 96 secondes.

>2.a) Déterminer par lecture graphique un antécédent d’un nombre par une fonction

Un antécédent de 15 par est l’abscisse d’un point de la courbe représentative de dont l’ordonnée est égale à 15.

Graphiquement, puisque la courbe représentative de passe par le point de coordonnées (2 ; 15), on observe que 2 est un antécédent de 15 par.

b) Donner une interprétation d’un résultat associé à une fonction

Le résultat donné à la question précédente signifie que le temps de chargement est de 15 secondes lorsque 2 000 personnes sont connectées.

partie b

>1.

a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à  :

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle donné

car , donc le signe de est celui de .

si et seulement si .

  • Si , alors , donc  ;
  • si , alors , donc .

On en déduit que est strictement décroissante sur , strictement croissante sur . Son tableau de variations sur l’intervalle est donc :


>2.a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

.

Pour tout appartenant à  :

On en déduit que G est une primitive deg sur.

b) Calculer une intégrale

Donc la valeur exacte de est de la forme , avec :

c) Calculer une valeur approchée d’une intégrale et donner une interprétation du résultat

À près, .

donc est la valeur moyenne de sur .

Donc la durée moyenne de téléchargement lorsqu’il y a entre 2 000 et 4 000 internautes connectés simultanément est de 21,36 secondes environ.

partie c

Déterminer, entre deux modèles, celui qui décrit le mieux une situation donnée

On a estimé dans la partie A (modèle exponentiel) que .

Avec la modélisation considérée dans la partie B :

.

Si le temps effectif de chargement constaté pour 8 000 personnes connectées est 92 secondes, c’est le modèle exponentiel (modèle de la partie A) qui semble décrire le mieux la situation, il donne une valeur plus proche du temps réel que celui donné par le modèle logarithmique.