Modélisation et étude d’un bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Modélisation et étude d’un bénéfice
 
 

Analyse • Intégration

Corrigé

22

Ens. Spécifique

matT_1306_04_03C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 2 • 6 points

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction  définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses respectives 0, 6 et 11.

On note  la fonction dérivée de la fonction .


 

Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) :

>1. Donner les valeurs exactes de , , et . (1point)

>2. Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, préciser ce point. (0,25 point)

>3. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de . (0,75 point)

>4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l’unité. (0,5 point)

Partie B

La fonction est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

.

>1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de  sur l’intervalle [0 ; 20]. (0,5 point)

>2.a)  Étudier le signe de sur [0 ; 20]. (0,5 point)

b. Dresser le tableau de variation de sur [0 ; 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de et (0,5 point)

>3. Justifier que l’équation admet une unique solution  sur [0 ; 6]. Donner la valeur arrondie au millième de . (0,5 point)

>4.a)  Montrer que la fonction définie sur [0 ; 20] par :

est une primitive de sur [0 ; 20]. (0,5 point)

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [4 ; 8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)

Partie C

Une entreprise fabrique centaines d’objets, où appartient à [0 ; 20].

La fonction  des parties A et B modélise le bénéfice de l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation admet une autre solution sur [6 ; 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

>1. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4 000 € ? (arrondir à l’unité). (0,25 point)

>2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l’euro près). (0,25 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Point d’inflexion • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>3. Interprétez l’intégrale comme une aire.

Partie B

>1. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

>3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Partie A

>1. Déterminer par lecture graphique des valeurs prises par une fonction et des nombres dérivés de cette fonction

est l’ordonnée du point A, est l’ordonnée du point B, est le coefficient directeur de la tangente à C en A, est le coefficient directeur de la tangente à C en D.

On a directement :

La tangente à C en A passe par A(0 ; - 5) et par le point de coordonnées (1 ; 1), donc son coefficient directeur est égal à 6, d’où :

>2. Déterminer graphiquement un point d’inflexion d’une courbe

La courbe C traverse sa tangente au point E.

Le point E est donc un point d’inflexion de la courbeC.

>3. Déterminer par lecture graphique un encadrement de l’aire d’un domaine plan

Soit

La fonction  est continue et positive sur [4 ; 8], donc  est l’aire (en unités d’aire) du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations et .

Pour tout , , donc , soit .

Soit M le point de coordonnées (4 ; 0), N le point de coordonnées (8 ; 0), P le point de C d’abscisse 8 et Q le point de C d’abscisse 4 (voir figure ci-dessous).

Sur l’intervalle [4 ; 8], la courbe C est au-dessus du segment [PQ] (la fonction  est concave), donc est supérieure à l’aire A du trapèze MNPQ.


 

Or l’ordonnée de Q est supérieure à 6,5 et celle de P est supérieure à 7, donc (les « bases » du trapèze MNPQ ont une ­longueur supérieure respectivement à 6,5 et à 7), d’où .

On en déduit :

>4. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d’une équation et un encadrement de ces solutions

La droite d’équation coupe C en deux points ; l’équation a donc deux solutions et .


 

Graphiquement :

Partie B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout , , donc :

>2.a) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

pour tout réel , donc a le signe de , soit :

b) Dresser le tableau de variation d’une fonction sur un intervalle

De la question précédente, on déduit le tableau de variation de f sur [0 ; 20] :


 

>3. Montrer qu’une équation admet une solution unique dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement croissante sur [0 ; 6].

 ; (), donc l’équation admet une unique solution sur [0 ; 6].

À l’aide de la calculatrice, on détermine que :

.

La valeur arrondie au millième deαest donc 2,256.

>4.a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout , , donc :

On en déduit queF est une primitive def sur [0 ; 20].

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de sur l’intervalle [4 ; 8] est par définition :

D’où :

Partie C

>1. Déterminer une production assurant un bénéfice minimal

représente le bénéfice en milliers d’euros pour centaines d’objets fabriqués, donc l’entreprise réalise un bénéfice d’au moins 4 000 € si et seulement si .

D’après la partie B, cette inéquation équivaut à , où et sont les deux solutions de l’équation

est en centaines d’objets, et , donc l’entreprise devra fabriquer entre 226 et 1 390 objets pour que son bénéfice soit au moins 4 000 €.

>2. Déterminer la valeur moyenne d’un bénéfice

Si l’entreprise produit régulièrement entre 400 et 800 objets, alors :

.

Comme représente le bénéfice en milliers d’euros, la valeur moyenne du bénéfice assuré par une production comprise entre 400 et 800 objets est , où est la valeur moyenne de  sur l’intervalle [4 ; 8] calculée à la fin de la partie B.

La valeur moyenne du bénéfice est donc :

L’arrondi à l’euro près de cette valeur moyenne est 7 324 €.