On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d&rsquo un repère orthonormal, la courbe représentative C d&rsquo une fonction  définie et dérivable sur l&rsquo intervalle [0  20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d&rsquo abscisses respectives 0, 6 et 11.

On note  la fonction dérivée de la fonction .

Par lecture graphique (aucune justification n&rsquo est demandée) :

&gt  1. Donner les valeurs exactes de , , et . (1 point)

&gt  2. Indiquer si la courbe C admet un point d&rsquo inflexion. Si oui, préciser ce point. (0,25 point)

&gt  3. Déterminer un encadrement, d&rsquo amplitude 4, par deux nombres entiers de . (0,75 point)

&gt  4. Indiquer le nombre de solutions de l&rsquo équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l&rsquo unité. (0,5 point)

La fonction est définie sur l&rsquo intervalle [0  20] par :

.

&gt  1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de  sur l&rsquo intervalle [0  20]. (0,5 point)

&gt  2. a)  Étudier le signe de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Dresser le tableau de variation de sur [0  20]. On fera apparaître les valeurs exactes de et (0,5 point)

&gt  3. Justifier que l&rsquo équation admet une unique solution  sur [0  6]. Donner la valeur arrondie au millième de . (0,5 point)

&gt  4. a)  Montrer que la fonction définie sur [0  20] par :

est une primitive de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l&rsquo intervalle [4  8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)

Une entreprise fabrique centaines d&rsquo objets, où appartient à [0  20].

La fonction  des parties A et B modélise le bénéfice de l&rsquo entreprise en milliers d&rsquo euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l&rsquo équation admet une autre solution sur [6  20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

&gt  1. Quelle doit être la production de l&rsquo entreprise pour réaliser un bénéfice d&rsquo au moins 4 000 &euro  ? (arrondir à l&rsquo unité). (0,25 point)

&gt  2. L&rsquo entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l&rsquo euro près). (0,25 point)