Analyse &bull Intégration
Corrigé
22
Ens. Spécifique
matT_1306_04_03C
Antilles, Guyane &bull Juin 2013
Exercice 2 &bull 6 points
Partie A
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d&rsquo un repère orthonormal, la courbe représentative définie et dérivable sur l&rsquo intervalle [0 20]. On a tracé les tangentes à la courbe

Par lecture graphique (aucune justification n&rsquo est demandée) :
,
,
et
. (1 point)
. (0,75 point)
. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l&rsquo unité. (0,5 point)
Partie B
La fonction est définie sur l&rsquo intervalle [0 20] par :
, où
désigne la fonction dérivée de
sur l&rsquo intervalle [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de
et
(0,5 point)
admet une unique solution
sur [0 6]. Donner la valeur arrondie au millième de
. (0,5 point)
définie sur [0 20] par :
est une primitive de sur [0 20]. (0,5 point)
sur l&rsquo intervalle [4 8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)
Partie C
Une entreprise fabrique centaines d&rsquo objets, où
appartient à [0 20].
La fonction des parties
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l&rsquo équation admet une autre solution
sur [6 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l&rsquo euro près). (0,25 point)
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Fonction exponentielle &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.