On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction  définie et dérivable sur l’intervalle [0  20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses respectives 0, 6 et 11.

On note  la fonction dérivée de la fonction .

Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) :

> 1. Donner les valeurs exactes de , , et . (1 point)

> 2. Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, préciser ce point. (0,25 point)

> 3. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de . (0,75 point)

> 4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l’unité. (0,5 point)

La fonction est définie sur l’intervalle [0  20] par :

.

> 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de  sur l’intervalle [0  20]. (0,5 point)

> 2. a)  Étudier le signe de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Dresser le tableau de variation de sur [0  20]. On fera apparaître les valeurs exactes de et (0,5 point)

> 3. Justifier que l’équation admet une unique solution  sur [0  6]. Donner la valeur arrondie au millième de . (0,5 point)

> 4. a)  Montrer que la fonction définie sur [0  20] par :

est une primitive de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [4  8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)

Une entreprise fabrique centaines d’objets, où appartient à [0  20].

La fonction  des parties A et B modélise le bénéfice de l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation admet une autre solution sur [6  20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

> 1. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4 000 € ? (arrondir à l’unité). (0,25 point)

> 2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l’euro près). (0,25 point)