Modélisation et étude d’un bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Modélisation et étude d&rsquo un bénéfice
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Analyse &bull Intégration

Corrigé

22

Ens. Spécifique

matT_1306_04_03C

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Antilles, Guyane &bull Juin 2013

Exercice 2 &bull 6 points

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d&rsquo un repère orthonormal, la courbe représentative C d&rsquo une fonction  définie et dérivable sur l&rsquo intervalle [0  20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d&rsquo abscisses respectives 0, 6 et 11.

On note  la fonction dérivée de la fonction .


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Par lecture graphique (aucune justification n&rsquo est demandée) :

&gt 1. Donner les valeurs exactes de , , et . (1point)

&gt 2. Indiquer si la courbe C admet un point d&rsquo inflexion. Si oui, préciser ce point. (0,25 point)

&gt 3. Déterminer un encadrement, d&rsquo amplitude 4, par deux nombres entiers de . (0,75 point)

&gt 4. Indiquer le nombre de solutions de l&rsquo équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l&rsquo unité. (0,5 point)

Partie B

La fonction est définie sur l&rsquo intervalle [0  20] par :

.

&gt 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de  sur l&rsquo intervalle [0  20]. (0,5 point)

&gt 2.a)  Étudier le signe de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Dresser le tableau de variation de sur [0  20]. On fera apparaître les valeurs exactes de et (0,5 point)

&gt 3. Justifier que l&rsquo équation admet une unique solution  sur [0  6]. Donner la valeur arrondie au millième de . (0,5 point)

&gt 4.a)  Montrer que la fonction définie sur [0  20] par :

est une primitive de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l&rsquo intervalle [4  8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)

Partie C

Une entreprise fabrique centaines d&rsquo objets, où appartient à [0  20].

La fonction  des parties A et B modélise le bénéfice de l&rsquo entreprise en milliers d&rsquo euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l&rsquo équation admet une autre solution sur [6  20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

&gt 1. Quelle doit être la production de l&rsquo entreprise pour réaliser un bénéfice d&rsquo au moins 4 000 &euro  ? (arrondir à l&rsquo unité). (0,25 point)

&gt 2. L&rsquo entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l&rsquo euro près). (0,25 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Fonction exponentielle &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 3. Interprétez l&rsquo intégrale comme une aire.

Partie B

&gt 1. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule donnant la dérivée d&rsquo une fonction de la forme .

&gt 3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.