Analyse • Intégration
Corrigé
22
Ens. Spécifique
matT_1306_04_03C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exercice 2 • 6 points
Partie A
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative 
définie et dérivable sur l'intervalle [0 20]. On a tracé les tangentes à la courbe
On note 
la fonction dérivée de la fonction 
.
Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :
, 
, 
et 
. (1 point)
. (0,75 point)
. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité. (0,5 point)
Partie B
La fonction 
est définie sur l'intervalle [0 20] par :
.
, où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l'intervalle [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de 
et 
(0,5 point)
admet une unique solution 
sur [0 6]. Donner la valeur arrondie au millième de 
. (0,5 point)
définie sur [0 20] par :
est une primitive de 
sur [0 20]. (0,5 point)
sur l'intervalle [4 8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)
Partie C
Une entreprise fabrique 
centaines d'objets, où 
appartient à [0 20].
La fonction 
des parties
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation 
admet une autre solution 
sur [6 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près). (0,25 point)
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Point d'inflexion • Primitive • Intégrale, calcul d'aire • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
comme une aire.
Partie B
.
Partie A
> 1. Déterminer par lecture graphique des valeurs prises par une fonction et des nombres dérivés de cette fonction
est l'ordonnée du point A, 
est l'ordonnée du point B, 
est le coefficient directeur de la tangente à 
est le coefficient directeur de la tangente à
On a directement :
La tangente à
> 2. Déterminer graphiquement un point d'inflexion d'une courbe
La courbe
> 3. Déterminer par lecture graphique un encadrement de l'aire d'un domaine plan
Soit 
La fonction 
est continue et positive sur [4 8], donc 
est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe 
et 
.
Pour tout 
, 
, donc 
, soit 
.
Soit M le point de coordonnées (4 0), N le point de coordonnées (8 0), P le point de
Sur l'intervalle [4 8], la courbe 
est concave), donc 
est supérieure à l'aire
Or l'ordonnée de Q est supérieure à 6,5 et celle de P est supérieure à 7, donc 
(les « bases » du trapèze MNPQ ont une longueur supérieure respectivement à 6,5 et à 7), d'où 
.
On en déduit :
> 4. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d'une équation et un encadrement de ces solutions
La droite d'équation 
coupe 
a donc deux solutions 
et 
.
Graphiquement :
Partie B
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
, 
, donc :
> 2. a) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
, soit :
b) Dresser le tableau de variation d'une fonction sur un intervalle
De la question précédente, on déduit le tableau de variation de f sur [0 20] :
> 3. Montrer qu'une équation admet une solution unique dans un intervalle donné
La fonction 
est continue et strictement croissante sur [0 6].
(
), donc l'équation 
admet une unique solution 
sur [0 6].
À l'aide de la calculatrice, on détermine que :
.
> 4. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout 
, 
, donc :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
La valeur moyenne 
de 
sur l'intervalle [4 8] est par définition :
D'où :
Partie C
> 1. Déterminer une production assurant un bénéfice minimal
représente le bénéfice en milliers d'euros pour 
centaines d'objets fabriqués, donc l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 4 000 € si et seulement si 
.
D'après la partie 
, où 
et 
sont les deux solutions de l'équation 
est en centaines d'objets, 
et 
, donc
> 2. Déterminer la valeur moyenne d'un bénéfice
Si l'entreprise produit régulièrement entre 400 et 800 objets, alors :
.
Comme 
représente le bénéfice en milliers d'euros, la valeur moyenne du bénéfice assuré par une production comprise entre 400 et 800 objets est 
, où 
est la valeur moyenne de 
sur l'intervalle [4 8] calculée à la fin de la partie
La valeur moyenne du bénéfice est donc :
