Modélisation à l’aide d’une suite du nombre d’oiseaux d’un centre de soins

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Modélisation à l’aide d’une suite du  nombre d’oiseaux d’un centre de  soins

Suites numériques

matT_1404_12_06C

Ens. spécifique

11

CORRIGE

Pondichéry  • Avril 2014

Exercice 2 • 5 points

Une association décide d’ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40  % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d’une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année

>1. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats  ? (1 point)

>2. Les spécialistes déterminent le nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l’aide d’un algorithme.

a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 3 permet d’estimer le nombre d’oiseaux présents au 1er janvier de l’année

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le  résultat attendu. (1 point)


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire




Affecter 0,6 U + 120 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 1


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Pour i de 1 à N faire




Affecter 115 à U

Affecter 0,4 U + 115 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 2


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire




Affecter 0,4 U + 120 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 3

b) Donner, pour tout entier naturel , l’expression de en  fonction de . (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par  :

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . (0,5 point)

b) Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel   :

. (0,5 point)

d) La capacité d’accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant  ? Justifier la réponse. (0,5 point)

>4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20  euros par oiseau présent au 1er janvier.

Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31  décembre 2018 si l’on suppose que l’évolution du nombre d’oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Boucle «  Pour  » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>3. a) Montrez qu’il existe un nombre réel indépendant de tel que, pour tout entier naturel , .

>3. b) Utilisez le résultat du cours sur l’expression du terme général d’une suite géométrique dont on connaît le premier terme et la raison.

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