Modélisation à l’aide d’une suite du nombre d’oiseaux d’un centre de soins

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Modélisation à l’aide d’une suite du nombre d’oiseaux d’un centre de soins

Suites numériques

matT_1404_12_06C

Ens. spécifique

11

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 2 • 5 points

Une association décide d’ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d’une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année

>1. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? (1 point)

>2. Les spécialistes déterminent le nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l’aide d’un algorithme.

a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 3 permet d’estimer le nombre d’oiseaux présents au 1er janvier de l’année

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. (1 point)


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire




Affecter 0,6 U + 120 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 1


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Pour i de 1 à N faire




Affecter 115 à U

Affecter 0,4 U + 115 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 2


Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début



Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire




Affecter 0,4 U + 120 à U



Fin Pour

Afficher U


Fin

Algorithme 3

b) Donner, pour tout entier naturel , l’expression de en fonction de . (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . (0,5 point)

b) Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

d) La capacité d’accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse. (0,5 point)

>4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1er janvier.

Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l’on suppose que l’évolution du nombre d’oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>3. a) Montrez qu’il existe un nombre réel indépendant de tel que, pour tout entier naturel , .

>3. b) Utilisez le résultat du cours sur l’expression du terme général d’une suite géométrique dont on connaît le premier terme et la raison.

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer deux termes d’une suite

 ;

.

Les résultats sont donnés à l’unité près, les valeurs sont arrondies à l’unité car il s’agit d’un nombre d’oiseaux :

>2. a) Étudier le fonctionnement de deux algorithmes

L’algorithme 1 ne donne pas le résultat attendu car il correspond à une situation où 60 % des oiseaux présents au 1er janvier d’une année restent présents le 1er janvier suivant.

L’algorithme 2 ne donne pas non plus le résultat attendu car l’instruction « Affecter 115 à U » se trouve dans la boucle « Pour », donc à chaque étape, le calcul est fait en réinitialisant à 115 la valeur de U, au lieu de garder pour U la valeur précédemment obtenue ; toutes les étapes de la boucle « Pour » donnent donc le même résultat. De plus, la formule correspond à une situation où 40 % des oiseaux restent présents d’une année à la suivante, et où 115 oiseaux nouveaux arrivent dans le centre chaque année.

Donc les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas.

b) Donner une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel, , soit :

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel , , donc :

.

De plus, .

est donc une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, si est une suite géométrique de raison et de premier terme alors, pour tout entier naturel , , donc :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

d) Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné

D’après le résultat de la question précédente, pour tout entier naturel  :

.

La capacité d’accueil de 200 oiseaux est donc suffisante si le nombre d’oiseaux continue à évoluer selon les mêmes modalités.

>4. Calculer le montant total des subventions versées

Notez bien

2013 est l’année 0, est la montant, en euros, de la subvention versée l’année 2013.

2018 est l’année 5, est la montant, en euros, de la subvention versée l’année 2018.

La période entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 correspond à une période de 6 années.

Si pour tout entier naturel , on note le montant en euros de la subvention perçue par le centre l’année , alors, pour tout entier naturel , .

Le montant total des subventions perçues par le centre pendant la période considérée est :

.

Or d’après le cours, si est un entier naturel non nul et un réel autre que 1, alors :

.

Donc .

D’où :

Du 1erjanvier 2013 au 31 décembre 2018, le centre percevra donc au total environ 21 180 euros de subventions.