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Modélisation par une variable aléatoire suivant la loi de Benford

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 4 • 3 points • 25 min

Modélisation par une variable aléatoire suivant la loi de Benford

Les thèmes clés

Variable aléatoire • Fonction logarithme népérien.

 

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.

Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que, pour tout entier c compris entre 1 et 9 :

P(X=c)=ln(c+1)ln(c)ln(10).

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut P(X = 1) ? (0,5 point)

2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.

a) Premier cas

Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1er janvier 2016 (champ : France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).

À partir de ce fichier, on constate qu'il y a 36 677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11 094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.

Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford » ? (1,25 point)

b) Deuxième cas

Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres. On désigne par X la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard.

La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour ? (1,25 point)

Les clés du sujet

N'oubliez pas que, d'après l'énoncé, X ne prend que des valeurs entières entre 1 et 9.

Corrigé

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire

P(X=1)=ln(2)ln(1)ln(10)

P(X=1)=ln(2)ln(10)0,301

2. a) Examiner la compatibilité d'un relevé statistique et d'une modélisation

La proportion de communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1 est :

11 09436 6770,3025.

Donc, si on appelle X la variable aléatoire qui, à chaque commune, associe le premier chiffre de son nombre d'habitants, P(X=1)0,3025.

Cette probabilité est voisine de celle trouvée à la question 1. donc l'observation est compatible avec l'affirmation « le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford ».

b) Indiquer si une modélisation semble adaptée

La plupart des candidats au baccalauréat de la session 2017 ont une taille en centimètres comprise entre 100 et 199, c'est-à-dire une taille dont le premier chiffre est 1.

Par conséquent la probabilité P(X=1) est proche de 1, donc très différente de celle trouvée à la question 1.

La loi de Benford ne semble pas une loi adaptée pour X.

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