Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut

▶ 1. Utiliser la loi des nœuds

En reportant les intensités sur le circuit de la figure 3, on constate que le générateur engendre un courant d'intensité i_G qui se sépare au point A en i et i_L telles que : i_G = i + i_L (loi des nœuds).

Les lampes sont donc parcourues par un courant (i_L).

▶ 2. Exploiter les relations caractérisant le comportement d'un condensateur

L'intensité arrivant sur l'armature portant la charge q est définie par : i = $\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$avec q = Cu_C. La capacité C est une constante donc i = $C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$.

Lorsque le condensateur est totalement chargé, la valeur de u_C n'évolue plus donc $\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0 et de même i = 0 : il n'y a alors plus de courant électrique dans la branche AB contenant le condensateur.

▶ 3. Utiliser la loi des mailles et la loi d'Ohm

D'après la loi des mailles, on peut écrire : E = u_R0 + u_C.

D'après la loi d'Ohm : u_R0 = R₀i avec i = 0 car le condensateur est totalement chargé. Finalement, on obtient : u_Cmax = E.

La tension aux bornes du condensateur totalement chargé est égale à la tension délivrée par le générateur : E = 12,0 V.

▶ 4. Utiliser la relation de proportionnalité entre la charge d'un condensateur et la tension à ses bornes

La charge q du condensateur est définie par q = C × u_C donc la charge maximale s'exprime : q_max = C × u_Cmax = C × E avec C = 1,0 mF et E = 12,0 V. On obtient alors :

q_max = 1,0 × 10^–3 × 12,0 = 12 × 10^–3 C = 12 mC.

▶ 5. Estimer un ordre de grandeur

Le condensateur est totalement chargé si u_C(t) = $E(1–{\text{e}}^{–\frac{t}{\text{τ}}})>\mathrm{0,95}E$.

Le temps de charge t_charge est donc tel que $E(1–{\text{e}}^{– \frac{t_{\text{charge}}}{\text{τ}}})=\mathrm{0,95}E$.

Ainsi, ${\text{e}}^{– \frac{t_{\text{charge}}}{\text{τ}}}=\mathrm{0,05}$ soit $\frac{t_{\text{charge}}}{\text{τ}}=-\ln \mathrm{0,05}\approx 3$ (ici, on prend la valeur à l'unité près puisque l'on cherche un ordre de grandeur).

On considère donc que le condensateur est chargé au bout d'une durée :

t_charge = 3τ = 3R₀C

soit $t_{\text{charge}}=3\times \mathrm{10,0}\times \mathrm{1,0}\times {10}^{-3}$ = $\mathrm{3,0}\times {10}^{-2}$ s = 30 ms.

Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts

▶ 1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur lors de sa décharge

Dans le schéma de la figure 4, la loi des mailles se traduit par : u_C + u_R0 + u₁ + u₂ = 0.

Les deux lampes L₁ et L₂ se comportent comme des dipôles ohmiques identiques, donc on peut appliquer la loi d'Ohm : u₁ = u₂ = Ri.

De même, aux bornes de R₀, on a : u_R0 = R₀i.

En reportant ces tensions dans l'expression précédente, on obtient :

$u_{\text{C}}+(2R+R_0)=0.$ Comme, par ailleurs : i = $C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$, on aboutit à l'équation différentielle : $u_{\text{C}}+(2R+R_0)C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0.

▶ 2. Résoudre une équation différentielle du premier ordre

On dérive l'expression proposée : $\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}=-\frac{A}{{\text{τ}}^{\prime }}{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$.

Sachant que $u_{\text{C}}(t) =A{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$, on constate alors que $\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}=-\frac{u_{\text{C}}}{{\text{τ}}^{\prime }}$

qui peut aussi s'écrire : $u_{\text{C}}+{\text{τ}}^{\prime }\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0.

En comparant cette relation à l'équation à résoudre

$u_{\text{C}}+(2R+R_0)C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0, on en déduit que ${\text{τ}}^{\prime }=\text{(}2R+R_0\text{)}C$.

Il s'agit ensuite d'utiliser la condition initiale pour déterminer la valeur de A : initialement, le condensateur est chargé et u_C(0) = E =$A{\text{e}}^{-\frac{0}{{\text{τ}}^{\prime }}}$ donc A = E.

Finalement, la solution est : $u_{\text{C}}(t)=E{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$ avec ${\text{τ}}^{\prime }=(2R+R_0)C$.

▶ 3. Calculer la constante de temps d'un dipôle RC

Le circuit de décharge du condensateur comporte trois dipôles ohmiques en série, pour une résistance totale R_T = 2R + R₀.

La constante ${\text{τ}}^{\prime }=(2R+R_0)C=R_{\text{T}}C$ est nommée constante de temps du dipôle R_TC ; elle caractérise le temps de décharge du condensateur.

Elle vaut : ${\text{τ}}^{\prime }=(2R+R_0)C$ = $\mathrm{210,0}\times \mathrm{1,0}\times {10}^{-3}$= 0,21 s = 210 ms.

La constante de temps pour la charge vaut τ = R₀C = 10 ms. La constante de décharge est donc 21 fois plus grande que la constante de charge : ${\text{τ}}^{\prime }$ = 21 τ.

▶ 4. Appliquer les lois des mailles et d'Ohm ou la relation $i=C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{dt}$

Première méthode. Les lois des mailles et d'Ohm appliquées au circuit de décharge aboutissent à $u_{\text{C}}+(2R+R_0)i=0$ (voir question 1).

On a donc : i(t) = $-\frac{u_{\text{C}}(t)}{2R+R_0}$ soit i(t) = $-\frac{E}{2R+R_0}{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$.

Seconde méthode. L'intensité est liée à la tension aux bornes du condensateur par la relation i = $C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ avec $u_{\text{C}}(t) =E{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$ .

On obtient alors $i(t)=-\frac{CE}{{\text{τ}}^{\prime }}{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$.

Sachant que ${\text{τ}}^{\prime }=(2R+R_0)C$, on retrouve $i(t)=-\frac{E}{2R+R_0}{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$.

▶ 5. Faire le lien entre signe de l'intensité électrique et sens du courant

L'intensité i(t) est négative car E, (2R+R₀) et ${\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$ sont des termes tous positifs.

Cela signifie que le courant circule dans le sens opposé au sens choisi pour i lors de l'établissement de l'équation différentielle. Autrement dit, le courant circule en fait dans le sens A L₁ L₂ B A.

▶ 6. Reconnaître l'allure possible d'une courbe

La puissance électrique consommée par chaque lampe s'exprime par la relation : p(t) = Ri²(t) avec i(t) = $-\frac{E}{2R+R_0}{\text{e}}^{-\frac{t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$.

Ainsi, p(t) = $\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{{\text{τ}}^{\prime }}}$ et seule la courbe II a une forme compatible avec cette fonction exponentielle décroissante.

On peut d'ailleurs noter que la valeur initiale de la puissance est p(0) = $\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}{\text{e}}^0$ = $\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}$ = ${\frac{100\times \mathrm{12,0}}{{210}^2}}^2$ = 0,33 W, ce qui correspond bien à la valeur lue sur le graphe.

▶ 7. Extraire des informations d'un graphique

Sur la courbe II, initialement, la valeur de la puissance reçue par la lampe p(0) = 0,33 W est bien comprise dans l'intervalle [0,24 W ; 0,36 W] où l'éclairage est optimal. Cependant, la puissance décroît et elle atteint la valeur de 0,24 W au bout de 0,03 s : les lampes L₁ et L₂ ne vont donc briller correctement que durant 0,03 s alors que l'ordre de grandeur de la durée d'un soubresaut est 0,1 s.

▶ 8. Analyser l'influence de paramètres

a) Pour accroître la durée d'éclairement des lampes, il faut modifier la constante de temps de décharge pour que la puissance reçue par chaque lampe diminue moins vite et reste supérieure à 0,24 W pendant toute la durée du soubresaut, soit environ 0,1 s.

Cette constante de temps de décharge, ${\text{τ}}^{\prime }=(2R+R_0)C$, peut être accrue en augmentant la capacité C du condensateur ou la valeur de R₀ (les lampes restant inchangées, leur résistance R ne peut pas être modifiée).

Cependant si on augmente R₀, la puissance initiale fournie à la lampe $p(0)=\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}$ sera plus faible que la valeur de 0,33 W précédemment calculée et cela ne va donc pas dans le sens recherché.

Il faut donc accroître la valeur de la capacité C du condensateur.

b) La valeur minimale de la capacité doit être telle que la puissance reçue par la lampe pendant tout le soubresaut (de durée t_S = 0,1 s) soit supérieure à 0,24 W et inférieure à 0,36 W. Cette deuxième condition est vérifiée, sachant que la puissance initiale est 0,33 W.

On cherche donc la capacité C_min telle que $p(t_{\text{S}})=\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}{\text{e}}^{-\frac{2t_{\text{S}}}{{\text{τ}}^{\prime }}}=\mathrm{0,24}\text{W}$ avec ${\text{τ}}^{\prime }=\text{(}2R+R_0\text{)}{C}_{\text{min}}=210C_{\text{min}}$ et $\frac{R{E}^2}{{(2R+R_0)}^2}=\mathrm{0,33}\text{W}$ = 0,33 W.

On a donc : $\mathrm{0,33}{\text{e}}^{-\frac{\mathrm{0,2}}{210C_{\text{min}}}}$ = 0,24 W soit : ${\text{e}}^{-\frac{\mathrm{0,2}}{210C_{\text{min}}}}= \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,33}}$.

Cela conduit à : $\frac{\mathrm{0,2}}{210C_{\text{min}}}=-\ln \left(\frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,33}}\right)$donc $\frac{\mathrm{0,2}}{210C_{\text{min}}}=\mathrm{0,32}$ (avec deux chiffres significatifs) et on obtient finalement :

$C_{\text{min}}$ $=\frac{\mathrm{0,2}}{210\times 032}=3\times {10}^{-3}\text{F}$ = 3 mF.

c) En utilisant un condensateur de 3 mF au lieu de 1 mF, les lampes brilleront de manière satisfaisante pour tout soubresaut qui durera moins de 0,1 s.

En revanche le nouveau temps de charge sera augmenté :

${t^{\prime }}_{\text{charge}}$ = 3τ = 3R₀C_min soit ${t^{\prime }}_{\text{charge}}=3\times \mathrm{10,0}\times 3\times {10}^{-3}$ = $9\times {10}^{-2}\text{s}=90\text{ms}$.

Si, entre deux soubresauts, le temps de contact entre les roues et les rails est supérieur à 90 ms, le condensateur sera totalement rechargé ; sinon la tension à ses bornes au moment du début du soubresaut sera inférieure à 12 V et par conséquent la puissance délivrée aux lampes sera inférieure à ce qui est attendu.