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Modélisme ferroviaire

Ondes et signaux

Modélisme ferroviaire

1 h 30

15 points

Intérêt du sujet • Ce sujet s'intéresse au principe d'un dispositif d'éclairage dans un train miniature. Il balaie l'ensemble des notions relatives à la charge et la décharge d'un condensateur. Il nécessite de savoir appliquer les lois de l'électricité pour établir une équation différentielle, puis savoir la résoudre.

 

Le modélisme ferroviaire est un loisir reposant sur la reproduction la plus fidèle possible de trains à échelle réduite, le plus couramment au 1/87e.

Les trains miniatures sont généralement alimentés en douze volts continu, directement par les rails métalliques (constituant la voie ferrée) qui sont eux-mêmes connectés à un générateur de tension.

L'alimentation électrique du moteur de la locomotive et des éclairages des wagons nécessite que les roues métalliques du train soient toujours en contact avec les rails. Cependant, lorsque le train roule, des soubresauts peuvent provoquer une rupture du contact entre les roues et les rails, et par conséquent, une coupure d'alimentation.

On s'intéresse dans ce sujet à un dispositif qui permettrait aux feux arrière d'un wagon de rester allumés même en cas de soubresaut.

Le dernier wagon d'un train miniature comporte un circuit électrique relié aux deux roues arrière. Ce circuit est constitué de deux lampes à incandescence L1 et L2 qui sont les deux feux de fin de convoi, d'un condensateur de capacité C = 1,0 mF, d'un dipôle ohmique de résistance R0 = 10,0 Ω et d'un générateur idéal délivrant une tension fixe E = 12,0 V.

Les figures 1 et 2 suivantes schématisent la situation, d'une part lorsque le contact entre les roues et les rails est correctement assuré, et d'autre part lorsque le contact est rompu en raison d'un soubresaut du train.

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Figure 1. Le contact entre les roues et les rails est assuré

PCHt_2000_00_18C_01

Figure 2. Lors d'un soubresaut, le contact n'est plus assuré

Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut

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Figure 3. Circuit quand le contact roues/rails est assuré

La figure 3 ci-dessous reprend le circuit électrique de la figure 1 en précisant les notations et les conventions électriques choisies pour les tensions et la charge q du condensateur.

1. Indiquer, en le justifiant qualitativement, si les lampes sont parcourues par un courant pendant que le condensateur se charge.

2. Indiquer la valeur de duCdt lorsque le condensateur est totalement chargé et en déduire s'il existe un courant circulant dans la branche AB où il se trouve.

3. En expliquant votre démarche, déterminer la valeur de la tension uCmax aux bornes du condensateur lorsqu'il est complètement chargé.

4. En déduire la valeur de la charge maximale qmax du condensateur.

5. Lors de la charge du condensateur, la tension entre ses bornes s'exprime par la relation : uC(t) = E(1etτ) avec τ la constante de temps du dipôle R0C. On considère qu'un condensateur est totalement chargé dès que la tension entre ses bornes devient supérieure à 95 % de la tension maximale. Estimer l'ordre de grandeur du temps de charge tcharge du condensateur.

Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts

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Figure 4. Circuit lorsque le contact roues/rails est rompu

En prenant de la vitesse, le train peut avoir des soubresauts et le contact électrique est alors rompu pendant une durée ts qui est de l'ordre du dixième de seconde. Pendant le soubresaut, le condensateur se décharge dans les lampes.

Le circuit électrique de la figure 4, correspondant à la situation de la figure 2, indique les conventions électriques choisies pour les tensions, l'intensité i et la charge q du condensateur.

1. Les lampes L1 et L2 sont identiques et assimilables chacune à un dipôle ohmique de résistance R = 100 Ω.

Montrer que, pendant un soubresaut, la tension uC est régie par l'équation différentielle : uC+(2R+R0)CduCdt=0.

2. La solution de l'équation différentielle ci-dessus est de la forme uC(t) = Ae tτA et τ′ sont des constantes.

Déterminer les valeurs des constantes, sachant que le soubresaut débute à la date t = 0 et qu'à cet instant uC(0) = E.

3. Nommer la constante τ′ et comparer sa valeur à celle de la constante τ.

4. Établir l'expression de l'intensité i(t) du courant.

5. Expliquer ce que signifie le signe de cette intensité du point de vue de la physique.

6. L'expression de la puissance instantanée consommée par chaque lampe en fonction de l'intensité du courant est donnée par la relation : p(t) = Ri2(t).

On propose sur la figure 5 suivante, trois courbes pouvant représenter l'allure de l'évolution de la puissance instantanée consommée par chaque lampe en fonction du temps, au cours de la décharge du condensateur.

PCHt_2000_00_18C_04

Figure 5. Puissance p(t) consommée par chaque lampe

En justifiant, indiquer la courbe qui représente effectivement l'allure de l'évolution de la puissance électrique consommée par une lampe.

7. L'éclairement de chaque lampe est optimal pour une puissance consommée comprise entre 0,24 W et 0,36 W.

Expliquer pourquoi les lampes ne vont éclairer de façon satisfaisante que durant une partie seulement de la durée du soubresaut.

8. a) Proposer une modification du dipôle R0C permettant aux lampes de rester allumées pendant toute la durée du soubresaut.

b) Évaluer la valeur minimale de la grandeur à modifier pour atteindre cet objectif.

c) Commenter l'impact de cette modification sur le temps de charge, et la conséquence sur l'efficacité du dispositif.

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

PCHt_2000_00_18C_05

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut; ▶ 2. Utilisez la relation entre l'intensité traversant un condensateur et la dérivée de la tension aux bornes de ce condensateur.▶ 3. Utilisez la loi des mailles.▶ 4. Utilisez la relation entre charge d'un condensateur et tension à ses bornes.▶ 5. Utilisez les expressions de la constante de temps et celle de uC(tcharge).; Ligne 2 : Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts; ▶ 1. Utilisez la loi des mailles, la loi d'Ohm et la relation entre l'intensité et la dérivée de la tension aux bornes du condensateur.▶ 2. Calculez la dérivée duCdt et faites le lien avec uC, puis comparez avec l'équation différentielle à résoudre pour déterminer la constante τ′. Utilisez la condition initiale pour exprimer A.▶ 3. Comparez les constantes τ′ et τ en analysant la différence entre le dipôle RC du circuit de charge et celui du circuit de décharge.▶ 4. Première méthode : utilisez la relation entre i(t) et la dérivée de la tension uC(t) en y intégrant l'expression de cette tension établie à la question 2.Seconde méthode : appliquez la loi des mailles et la loi d'Ohm en utilisant l'expression de uC(t) établie à la question 2.▶ 6. Reportez l'expression de i(t) établie à la question 2 dans p(t) = Ri2(t), puis analysez l'expression de p(t) au regard de la forme des courbes proposées.▶ 8. a) Analysez la conséquence d'une modification du dipôle R0C sur la courbe représentative de p(t).b) Exploitez l'expression de p(t).c) Estimez la valeur du nouveau temps de charge à partir du résultat de la question précédente.;

Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut

1. Utiliser la loi des nœuds

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En reportant les intensités sur le circuit de la figure 3, on constate que le générateur engendre un courant d'intensité iG qui se sépare au point A en i et iL telles que : iG = i + iL (loi des nœuds).

Les lampes sont donc parcourues par un courant (iL).

2. Exploiter les relations caractérisant le comportement d'un condensateur

L'intensité arrivant sur l'armature portant la charge q est définie par : i = dqdtavec q = CuC. La capacité C est une constante donc CduCdt.

Lorsque le condensateur est totalement chargé, la valeur de uC n'évolue plus donc duCdt = 0 et de même i = 0 : il n'y a alors plus de courant électrique dans la branche AB contenant le condensateur.

3. Utiliser la loi des mailles et la loi d'Ohm

D'après la loi des mailles, on peut écrire : E = uR0 + uC.

D'après la loi d'Ohm : uR0 = R0i avec i = 0 car le condensateur est totalement chargé. Finalement, on obtient : uCmax = E.

La tension aux bornes du condensateur totalement chargé est égale à la tension délivrée par le générateur : E = 12,0 V.

à noter

Ne pas confondre le symbole C (en italique) représentant la capacité d'un condensateur avec le symbole C du coulomb qui est une unité de charge électrique.

4. Utiliser la relation de proportionnalité entre la charge d'un condensateur et la tension à ses bornes

La charge q du condensateur est définie par q = C × uC donc la charge maximale s'exprime : qmax = C × uCmax = C × E avec C = 1,0 mF et E = 12,0 V. On obtient alors :

qmax = 1,0 × 10–3 × 12,0 = 12 × 10–3 C = 12 mC.

5. Estimer un ordre de grandeur

à noter

Dans l'énoncé, on aurait aussi pu considérer que le condensateur est chargé pour une tension entre ses bornes supérieures à 99 % de la tension maximale. Dans ce cas, on aurait : tcharge = 5τ = 5R0C = 50 ms.

Le condensateur est totalement chargé si uC(t) = E(1etτ)>0,95E.

Le temps de charge tcharge est donc tel que E(1e tchargeτ)=0,95E.

Ainsi, e tchargeτ=0,05 soit tchargeτ=ln0,053 (ici, on prend la valeur à l'unité près puisque l'on cherche un ordre de grandeur).

On considère donc que le condensateur est chargé au bout d'une durée :

tcharge = 3τ = 3R0C

soit tcharge=3×10,0×1,0×1033,0×102 s = 30 ms.

Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur lors de sa décharge

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Dans le schéma de la figure 4, la loi des mailles se traduit par : uC + uR0 + u1 + u2 = 0.

Les deux lampes L1 et L2 se comportent comme des dipôles ohmiques identiques, donc on peut appliquer la loi d'Ohm : u1 = u2 = Ri.

De même, aux bornes de R0, on a : uR0 = R0i.

En reportant ces tensions dans l'expression précédente, on obtient :

uC+(2R+R0)=0. Comme, par ailleurs : i = CduCdt, on aboutit à l'équation différentielle : uC+(2R+R0)CduCdt = 0.

2. Résoudre une équation différentielle du premier ordre

On dérive l'expression proposée : duCdt=Aτetτ.

Sachant que uC(t) =Aetτ, on constate alors que duCdt=uCτ

qui peut aussi s'écrire : uC+τduCdt = 0.

En comparant cette relation à l'équation à résoudre

uC+(2R+R0)CduCdt = 0, on en déduit que τ=(2R+R0)C.

Il s'agit ensuite d'utiliser la condition initiale pour déterminer la valeur de A : initialement, le condensateur est chargé et uC(0) = E =Ae0τ donc A = E.

Finalement, la solution est : uC(t)=Eetτ avec τ=(2R+R0)C.

3. Calculer la constante de temps d'un dipôle RC

Le circuit de décharge du condensateur comporte trois dipôles ohmiques en série, pour une résistance totale RT = 2R + R0.

à noter

En utilisant l'expression uCt=Eetτ, on peut montrer que le condensateur est déchargé à 95 % au bout d'un temps égal à 3τ′ et déchargé à 99 % au bout de 5τ′.

La constante τ=(2R+R0)C=RTC est nommée constante de temps du dipôle RTC ; elle caractérise le temps de décharge du condensateur.

Elle vaut : τ=(2R+R0)C = 210,0×1,0×103= 0,21 s = 210 ms.

La constante de temps pour la charge vaut τ = R0C = 10 ms. La constante de décharge est donc 21 fois plus grande que la constante de charge : τ = 21 τ.

4. Appliquer les lois des mailles et d'Ohm ou la relation i=CduCdt

Première méthode. Les lois des mailles et d'Ohm appliquées au circuit de décharge aboutissent à uC+(2R+R0)i=0 (voir question 1).

On a donc : i(t) = uC(t)2R+R0 soit i(t) = E2R+R0etτ.

Seconde méthode. L'intensité est liée à la tension aux bornes du condensateur par la relation i = CduCdt avec uC(t) =Eetτ .

On obtient alors i(t)=CEτetτ.

Sachant que τ=(2R+R0)C, on retrouve i(t)=E2R+R0etτ.

5. Faire le lien entre signe de l'intensité électrique et sens du courant

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L'intensité i(t) est négative car E, (2R+R0) et etτ sont des termes tous positifs.

Cela signifie que le courant circule dans le sens opposé au sens choisi pour i lors de l'établissement de l'équation différentielle. Autrement dit, le courant circule en fait dans le sens A L1 L2 B A.

6. Reconnaître l'allure possible d'une courbe

La puissance électrique consommée par chaque lampe s'exprime par la relation : p(t) = Ri²(t) avec i(t) = E2R+R0etτ.

Ainsi, p(t) = RE2(2R+R0)2e2tτ et seule la courbe II a une forme compatible avec cette fonction exponentielle décroissante.

On peut d'ailleurs noter que la valeur initiale de la puissance est p(0) = RE2(2R+R0)2e0 = RE2(2R+R0)2 = 100×12,021022 = 0,33 W, ce qui correspond bien à la valeur lue sur le graphe.

7. Extraire des informations d'un graphique

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Sur la courbe II, initialement, la valeur de la puissance reçue par la lampe p(0) = 0,33 W est bien comprise dans l'intervalle [0,24 W ; 0,36 W] où l'éclairage est optimal. Cependant, la puissance décroît et elle atteint la valeur de 0,24 W au bout de 0,03 s : les lampes L1 et L2 ne vont donc briller correctement que durant 0,03 s alors que l'ordre de grandeur de la durée d'un soubresaut est 0,1 s.

8. Analyser l'influence de paramètres

a) Pour accroître la durée d'éclairement des lampes, il faut modifier la constante de temps de décharge pour que la puissance reçue par chaque lampe diminue moins vite et reste supérieure à 0,24 W pendant toute la durée du soubresaut, soit environ 0,1 s.

Cette constante de temps de décharge, τ=(2R+R0)C, peut être accrue en augmentant la capacité C du condensateur ou la valeur de R0 (les lampes restant inchangées, leur résistance R ne peut pas être modifiée).

Cependant si on augmente R0, la puissance initiale fournie à la lampe p(0)=RE2(2R+R0)2 sera plus faible que la valeur de 0,33 W précédemment calculée et cela ne va donc pas dans le sens recherché.

Il faut donc accroître la valeur de la capacité C du condensateur.

b) La valeur minimale de la capacité doit être telle que la puissance reçue par la lampe pendant tout le soubresaut (de durée tS = 0,1 s) soit supérieure à 0,24 W et inférieure à 0,36 W. Cette deuxième condition est vérifiée, sachant que la puissance initiale est 0,33 W.

On cherche donc la capacité Cmin telle que p(tS)=RE2(2R+R0)2e2tSτ=0,24W avec τ=(2R+R0)Cmin=210Cmin et RE2(2R+R0)2=0,33W = 0,33 W.

On a donc : 0,33e0,2210Cmin = 0,24 W soit : e0,2210Cmin= 0,240,33.

Cela conduit à : 0,2210Cmin=ln0,240,33 donc 0,2210Cmin=0,32 (avec deux chiffres significatifs) et on obtient finalement :

Cmin =0,2210×032=3×103F = 3 mF.

c) En utilisant un condensateur de 3 mF au lieu de 1 mF, les lampes brilleront de manière satisfaisante pour tout soubresaut qui durera moins de 0,1 s.

En revanche le nouveau temps de charge sera augmenté :

tcharge = 3τ = 3R0Cmin soit tcharge=3×10,0×3×103 = 9×102s=90ms.

Si, entre deux soubresauts, le temps de contact entre les roues et les rails est supérieur à 90 ms, le condensateur sera totalement rechargé ; sinon la tension à ses bornes au moment du début du soubresaut sera inférieure à 12 V et par conséquent la puissance délivrée aux lampes sera inférieure à ce qui est attendu.

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