Modélisme ferroviaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Dynamique d’un système électrique
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Ondes et signaux

Modélisme ferroviaire

1 h 30

15 points

Intérêt du sujet • Ce sujet s’intéresse au principe d’un dispositif d’éclairage dans un train miniature. Il balaie l’ensemble des notions relatives à la charge et la décharge d’un condensateur. Il nécessite de savoir appliquer les lois de l’électricité pour établir une équation différentielle, puis savoir la résoudre.

 

Le modélisme ferroviaire est un loisir reposant sur la reproduction la plus fidèle possible de trains à échelle réduite, le plus couramment au 1/87e.

Les trains miniatures sont généralement alimentés en douze volts continu, directement par les rails métalliques (constituant la voie ferrée) qui sont eux-mêmes connectés à un générateur de tension.

L’alimentation électrique du moteur de la locomotive et des éclairages des wagons nécessite que les roues métalliques du train soient toujours en contact avec les rails. Cependant, lorsque le train roule, des soubresauts peuvent provoquer une rupture du contact entre les roues et les rails, et par conséquent, une coupure d’alimentation.

On s’intéresse dans ce sujet à un dispositif qui permettrait aux feux arrière d’un wagon de rester allumés même en cas de soubresaut.

Le dernier wagon d’un train miniature comporte un circuit électrique relié aux deux roues arrière. Ce circuit est constitué de deux lampes à incandescence L1 et L2 qui sont les deux feux de fin de convoi, d’un condensateur de capacité C = 1,0 mF, d’un dipôle ohmique de résistance R0 = 10,0 Ω et d’un générateur idéal délivrant une tension fixe E = 12,0 V.

Les figures 1 et 2 suivantes schématisent la situation, d’une part lorsque le contact entre les roues et les rails est correctement assuré, et d’autre part lorsque le contact est rompu en raison d’un soubresaut du train.

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Figure 1. Le contact entre les roues et les rails est assuré

PCHt_2000_00_18C_01

Figure 2. Lors d’un soubresaut, le contact n’est plus assuré

Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut

PCHt_2000_00_18C_02

Figure 3. Circuit quand le contact roues/rails est assuré

La figure 3 ci-dessous reprend le circuit électrique de la figure 1 en précisant les notations et les conventions électriques choisies pour les tensions et la charge q du condensateur.

1. Indiquer, en le justifiant qualitativement, si les lampes sont parcourues par un courant pendant que le condensateur se charge.

2. Indiquer la valeur de duCdt lorsque le condensateur est totalement chargé et en déduire s’il existe un courant circulant dans la branche AB où il se trouve.

3. En expliquant votre démarche, déterminer la valeur de la tension uCmax aux bornes du condensateur lorsqu’il est complètement chargé.

4. En déduire la valeur de la charge maximale qmax du condensateur.

5. Lors de la charge du condensateur, la tension entre ses bornes s’exprime par la relation : uC(t) = E(1etτ) avec τ la constante de temps du dipôle R0C. On considère qu’un condensateur est totalement chargé dès que la tension entre ses bornes devient supérieure à 95 % de la tension maximale. Estimer l’ordre de grandeur du temps de charge tcharge du condensateur.

Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts

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Figure 4. Circuit lorsque le contact roues/rails est rompu

En prenant de la vitesse, le train peut avoir des soubresauts et le contact électrique est alors rompu pendant une durée ts qui est de l’ordre du dixième de seconde. Pendant le soubresaut, le condensateur se décharge dans les lampes.

Le circuit électrique de la figure 4, correspondant à la situation de la figure 2, indique les conventions électriques choisies pour les tensions, l’intensité i et la charge q du condensateur.

1. Les lampes L1 et L2 sont identiques et assimilables chacune à un dipôle ohmique de résistance R = 100 Ω.

Montrer que, pendant un soubresaut, la tension uC est régie par l’équation différentielle : uC+(2R+R0)CduCdt=0.

2. La solution de l’équation différentielle ci-dessus est de la forme uC(t) = Ae tτA et τ′ sont des constantes.

Déterminer les valeurs des constantes, sachant que le soubresaut débute à la date t = 0 et qu’à cet instant uC(0) = E.

3. Nommer la constante τ′ et comparer sa valeur à celle de la constante τ.

4. Établir l’expression de l’intensité i(t) du courant.

5. Expliquer ce que signifie le signe de cette intensité du point de vue de la physique.

6. L’expression de la puissance instantanée consommée par chaque lampe en fonction de l’intensité du courant est donnée par la relation : p(t) = Ri2(t).

On propose sur la figure 5 suivante, trois courbes pouvant représenter l’allure de l’évolution de la puissance instantanée consommée par chaque lampe en fonction du temps, au cours de la décharge du condensateur.

PCHt_2000_00_18C_04

Figure 5. Puissance p(t) consommée par chaque lampe

En justifiant, indiquer la courbe qui représente effectivement l’allure de l’évolution de la puissance électrique consommée par une lampe.

7. L’éclairement de chaque lampe est optimal pour une puissance consommée comprise entre 0,24 W et 0,36 W.

Expliquer pourquoi les lampes ne vont éclairer de façon satisfaisante que durant une partie seulement de la durée du soubresaut.

8. a) Proposer une modification du dipôle R0C permettant aux lampes de rester allumées pendant toute la durée du soubresaut.

b) Évaluer la valeur minimale de la grandeur à modifier pour atteindre cet objectif.

c) Commenter l’impact de cette modification sur le temps de charge, et la conséquence sur l’efficacité du dispositif.

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

PCHt_2000_00_18C_05

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Déplacement du train sans soubresaut; ▶ 2. Utilisez la relation entre l’intensité traversant un condensateur et la dérivée de la tension aux bornes de ce condensateur.▶ 3. Utilisez la loi des mailles.▶ 4. Utilisez la relation entre charge d’un condensateur et tension à ses bornes.▶ 5. Utilisez les expressions de la constante de temps et celle de uC(tcharge).; Ligne 2 : Partie 2. Déplacement du train avec soubresauts; ▶ 1. Utilisez la loi des mailles, la loi d’Ohm et la relation entre l’intensité et la dérivée de la tension aux bornes du condensateur.▶ 2. Calculez la dérivée duCdt et faites le lien avec uC, puis comparez avec l’équation différentielle à résoudre pour déterminer la constante τ′. Utilisez la condition initiale pour exprimer A.▶ 3. Comparez les constantes τ′ et τ en analysant la différence entre le dipôle RC du circuit de charge et celui du circuit de décharge.▶ 4. Première méthode : utilisez la relation entre i(t) et la dérivée de la tension uC(t) en y intégrant l’expression de cette tension établie à la question 2.Seconde méthode : appliquez la loi des mailles et la loi d’Ohm en utilisant l’expression de uC(t) établie à la question 2.▶ 6. Reportez l’expression de i(t) établie à la question 2 dans p(t) = Ri2(t), puis analysez l’expression de p(t) au regard de la forme des courbes proposées.▶ 8. a) Analysez la conséquence d’une modification du dipôle R0C sur la courbe représentative de p(t).b) Exploitez l’expression de p(t).c) Estimez la valeur du nouveau temps de charge à partir du résultat de la question précédente.;