Mouvements de population

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud

Suites numériques

matT_1511_03_01C

ENS. SPÉCIFIQUE

10

Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 4 • 5 points

Mouvements de population

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;

chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;

chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel n, on note :

un la population en zone rurale, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants ;

vn la population en ville, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants.

On a donc u= 90 et v= 30.

Partie A

▶ 1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant un et vn.

 2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites (un) et (vn).

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

 

A

B

C

1

n

Population en zone rurale

Population en ville

2

0

90

30

3

1

82,5

37,5

4

2

76,125

43,875

5

3

70,706

49,294

6

4

66,100

53,900

7

5

62,185

57,815

8

6

58,857

61,143

9

7

56,029

63,971

10

8

53,625

66,375

11

9

51,581

68,419

12

10

49,844

70,156

13

11

48,367

71,633

14

12

47,112

72,888

15

13

46,045

73,955

16

14

45,138

74,862

17

15

44,368

75,632

18

16

43,713

76,287

19

17

43,156

76,844

20

18

42,682

77,318

21

19

42,280

77,720

22

20

41,938

78,062

59

57

40,005

79,995

60

58

40,004

79,996

61

59

40,003

79,997

62

60

40,003

79,997

63

61

40,002

79,998

▶ 3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ?

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,85un + 6.

▶ 1. a) Démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.

b) On admet que un est positif pour tout entier naturel n.

Que peut-on en déduire quant à la suite (un) ?

 2. On considère la suite (wn) définie par : w= un − 40, pour tout 3630022-Eq1.

a) Démontrer que (wn) est une suite géométrique de raison 0,85.

b) En déduire l’expression de wn puis de un en fonction de n.

c) Déterminer l’expression de vn en fonction de n.

▶ 3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

▶ 4. On considère l’algorithme suivant :

Entrée

n et u sont des nombres

Initialisation

n prend la valeur 0

 

u prend la valeur 90

Traitement

Tant que 3630022-Eq2 faire

   

n prend la valeur n + 1

   

u prend la valeur 0,85 × u + 6

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher n

a) Que fait cet algorithme ?

b) Quelle valeur affiche-t-il ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites numériques • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 1. a)

Variations d’une suite  E2a Partie B, 1. a)

Limite d’une suite  E2e • E5d • E9c Partie B, 1. b) et 3.

Suites géométriques  E4a • E4b • E4d Partie B, 2. a) et 2. b)

Fonction logarithme népérien  E9e Partie B, 4. b)

Algorithme

Termes d’une suite croissante supérieurs à un réel donné  A4 Partie B, 4. a)

Nos coups de pouce

Partie B

 1. b) Pensez au théorème de la limite monotone.

 3. Exploitez les résultats des questions 2. a) et 2. b) de la partie B pour calculer les limites des suites 3630022-Eq3 et 3630022-Eq4.

 4. a) Identifiez le rôle de chaque variable et associez les instructions proposées dans cet algorithme à des calculs sur les termes de la suite 3630022-Eq5.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Établir une égalité

Le pays considéré a une population constante égale à 120 millions d’habitants. Par conséquent, nous avons, pour tout entier naturel n : 3630022-Eq6.

 2. Proposer des formules de calcul pour une feuille de tableur

Il est indiqué que, chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; il en reste donc 3630022-Eq7 pour l’année 3630022-Eq8, tandis que 5 % des citadins émigrent en zone rurale soit 3630022-Eq9 en supplément pour la zone rurale pour l’année 3630022-Eq10.

Finalement, nous obtenons, pour tout entier naturel 3630022-Eq11 : 3630022-Eq12.

Une formule à taper en B3 pourrait donc être : 3630022-Eq13.

Au vu du résultat de la question 1., une formule à taper en C3 pourrait être : 3630022-Eq14.

 3. Conjecturer des limites de suites

Au vu des résultats affichés sur la feuille de tableur, il semblerait qu’à long terme la population en zone rurale se stabilise à 40 millions d’habitants et que celle en ville se stabilise à 80 millions d’habitants.

Partie B

 1. a) Justifier par récurrence le sens de variation d’une suite

Soit 3630022-Eq15 la propriété : 3630022-Eq16.

Initialisation

3630022-Eq17 et 3630022-Eq18 donc 3630022-Eq19.

La propriété est donc bien initialisée.

Hérédité

On suppose que, pour un entier naturel k donné, la propriété 3630022-Eq20 est vraie : 3630022-Eq21.

On démontre alors que la propriété 3630022-Eq22 est aussi vérifiée :

3630022-Eq23

La propriété 3630022-Eq24 est vérifiée.

Conclusion

La propriété indiquée étant initialisée et héréditaire, nous pouvons en déduire que, pour tout entier naturel n, 3630022-Eq25. La suite (un) est donc décroissante.

b) Démontrer qu’une suite est convergente

D’après l’énoncé, nous admettons que 3630022-Eq26 est positif pour tout entier naturel n. La suite 3630022-Eq27 est donc minorée par 0. Comme elle est décroissante, d’après la question précédente, avec le théorème de la limite monotone nous pouvons conclure que la suite (un) est convergente.

 2. a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

3630022-Eq28

La suite (wn) est une suite géométrique de raison q = 0,85.

b) Déterminer la formule explicite pour une suite

Le premier terme de la suite 3630022-Eq29 est 3630022-Eq30.

Pour tout entier naturel n, nous avons alors : 3630022-Eq31.

Comme par ailleurs, pour tout entier naturel n, nous avons 3630022-Eq32, il en découle que, pour tout entier naturel n :

3630022-Eq33.

c) Exploiter la relation entre deux suites

D’après la question 1. de la partie A, pour tout entier naturel n, 3630022-Eq34. Il vient donc :

3630022-Eq35.

 3. Calculer des limites de suites

3630022-Eq36 donc 3630022-Eq37. Par produit et somme, nous en déduisons que :

3630022-Eq38 et 3630022-Eq39.

Cela permet de valider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A : à long terme, la population en zone rurale va se stabiliser à 40 millions d’habitants et celle en ville à 80 millions d’habitants.

 4. a) Examiner le rôle d’un algorithme

Dans cet algorithme, la variable n correspond à l’indice des termes de la suite 3630022-Eq40. La variable u correspond au terme 3630022-Eq41 de la suite 3630022-Eq42 pour un indice donné.

L’instruction « n prend la valeur 0 » permet d’initialiser l’indice des termes de la suite 3630022-Eq43 à la valeur 0.

L’instruction « u prend la valeur 90 » affecte à u la valeur du premier terme 3630022-Eq44.

L’instruction « 3630022-Eq45 » de l’algorithme se traduit avec les suites proposées par « 3630022-Eq46 ».

L’instruction « n prend la valeur n+1 » signifie que l’on augmente la valeur de n de 1. L’instruction « u prend la valeur 3630022-Eq47 » signifie que l’on calcule le terme suivant dans la liste des termes de la suite 3630022-Eq48.

En résumé, on calcule les termes successifs de la suite 3630022-Eq49 tant que l’on est dans la situation « 3630022-Eq50 ». Autrement dit, cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que l’on ait un < vn.

b) Déterminer la valeur affichée par un algorithme

Si l’on se réfère à la feuille de tableur fournie dans la question 2. de la partie A, l’algorithme affichera la valeur n = 6.

Notez bien

Diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité !

Or 3630022-Eq51.

Autre méthode

Pour tout entier naturel n :

3630022-Eq52

Comme 3630022-Eq53, nous obtenons donc 3630022-Eq54.