Annale corrigée Exercice

Mouvements de population

Suites numériques

Mouvements de population

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  À l'aide de suites numériques, on étudie la répartition entre villes et zones rurales d'une population dont on connaît les mouvements. On cherche à estimer la tendance à long terme de cette répartition en utilisant un algorithme.

 

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;

chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;

chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel n, on note :

un la population en zone rurale, en l'année 2010 + n, exprimée en millions d'habitants ;

vn la population en ville, en l'année 2010 + n, exprimée en millions d'habitants.

On a donc u= 90 et v= 30.

Partie A

▶ 1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant un et vn.

▶ 2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (un) et (vn).

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

Tableau de 29 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;C;Corps du tableau de 28 lignes ;Ligne 1 : 1; n; Population en zone rurale; Population en ville; Ligne 2 : 2; 0; 90; 30; Ligne 3 : 3; 1; 82,5; 37,5; Ligne 4 : 4; 2; 76,125; 43,875; Ligne 5 : 5; 3; 70,706; 49,294; Ligne 6 : 6; 4; 66,100; 53,900; Ligne 7 : 7; 5; 62,185; 57,815; Ligne 8 : 8; 6; 58,857; 61,143; Ligne 9 : 9; 7; 56,029; 63,971; Ligne 10 : 10; 8; 53,625; 66,375; Ligne 11 : 11; 9; 51,581; 68,419; Ligne 12 : 12; 10; 49,844; 70,156; Ligne 13 : 13; 11; 48,367; 71,633; Ligne 14 : 14; 12; 47,112; 72,888; Ligne 15 : 15; 13; 46,045; 73,955; Ligne 16 : 16; 14; 45,138; 74,862; Ligne 17 : 17; 15; 44,368; 75,632; Ligne 18 : 18; 16; 43,713; 76,287; Ligne 19 : 19; 17; 43,156; 76,844; Ligne 20 : 20; 18; 42,682; 77,318; Ligne 21 : 21; 19; 42,280; 77,720; Ligne 22 : 22; 20; 41,938; 78,062; Ligne 23 : …; …; …; …; Ligne 24 : 59; 57; 40,005; 79,995; Ligne 25 : 60; 58; 40,004; 79,996; Ligne 26 : 61; 59; 40,003; 79,997; Ligne 27 : 62; 60; 40,003; 79,997; Ligne 28 : 63; 61; 40,002; 79,998;

▶ 3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,85un + 6.

▶ 1. a) Démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.

b) On admet que un est positif pour tout entier naturel n.

Que peut-on en déduire quant à la suite (un) ?

▶ 2. On considère la suite (wn) définie par : w= un − 40, pour tout n0.

a) Démontrer que (wn) est une suite géométrique de raison 0,85.

b) En déduire l'expression de wn puis de un en fonction de n.

c) Déterminer l'expression de vn en fonction de n.

▶ 3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

▶ 4. On considère l'algorithme suivant :

Tableau de 8 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 8 lignes ;Ligne 1 : Entrée; n et u sont des nombres; Ligne 2 : Initialisation; n prend la valeur 0; Ligne 3 : ; u prend la valeur 90; Ligne 4 : Traitement; Tant que u≥120−u faire ; Ligne 5 : ; ; n prend la valeur n + 1; Ligne 6 : ; ; u prend la valeur 0,85 × u + 6; Ligne 7 : ; Fin Tant que; Ligne 8 : Sortie; Afficher n;

a) Que fait cet algorithme ?

b) Quelle valeur affiche-t-il ?

Les clés du sujet

Partie B

 1. b) Pensez au théorème de la limite monotone.

 3. Exploitez les résultats des questions 2. a) et 2. b) de la partie B pour calculer les limites des suites (un) et (vn).

 4. a) Identifiez le rôle de chaque variable et associez les instructions proposées dans cet algorithme à des calculs sur les termes de la suite (un).

Partie A

 1. Établir une égalité

Le pays considéré a une population constante égale à 120 millions d'habitants. Par conséquent, nous avons, pour tout entier naturel n : un+vn=120.

 2. Proposer des formules de calcul pour une feuille de tableur

Il est indiqué que, chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; il en reste donc 0,9un pour l'année 2010+(n+1), tandis que 5 % des citadins émigrent en zone rurale soit 0,05vn en supplément pour la zone rurale pour l'année 2010+(n+1).

Finalement, nous obtenons, pour tout entier naturel n : un+1=0,9un+0,05vn.

Une formule à taper en B3 pourrait donc être : =0,9B2+0,05C2.

Au vu du résultat de la question 1., une formule à taper en C3 pourrait être : =120B3.

 3. Conjecturer des limites de suites

Au vu des résultats affichés sur la feuille de tableur, il semblerait qu'à long terme la population en zone rurale se stabilise à 40 millions d'habitants et que celle en ville se stabilise à 80 millions d'habitants.

Partie B

 1. a) Justifier par récurrence le sens de variation d'une suite

Soit Pn la propriété : unun+1.

Initialisation

u0=90 et u1=0,85u0+6=0,85×90+6=82,5 donc u0u1.

La propriété est donc bien initialisée.

Hérédité

On suppose que, pour un entier naturel k donné, la propriété Pk est vraie : ukuk+1.

On démontre alors que la propriété Pk+1 est aussi vérifiée :

ukuk+1hypothèsede récurrence0,85uk0,85uk+10,85uk+60,85uk+1+6uk+1uk+2.

La propriété Pk+1 est vérifiée.

Conclusion

La propriété indiquée étant initialisée et héréditaire, nous pouvons en déduire que, pour tout entier naturel n, unun+1. La suite (un) est donc décroissante.

b) Démontrer qu'une suite est convergente

D'après l'énoncé, nous admettons que un est positif pour tout entier naturel n. La suite un est donc minorée par 0. Comme elle est décroissante, d'après la question précédente, avec le théorème de la limite monotone nous pouvons conclure que la suite (un) est convergente.

 2. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

wn+1=un+140=0,85un+640=0,85un34=0,85(un40)=0,85wn.

La suite (wn) est une suite géométrique de raison q = 0,85.

b) Déterminer la formule explicite pour une suite

Le premier terme de la suite wn est w0=u040=9040=50.

Pour tout entier naturel n, nous avons alors : wn=w0×qn=50×0,85n.

Comme par ailleurs, pour tout entier naturel n, nous avons wn=un40, il en découle que, pour tout entier naturel n :

un=40+wn=40+50×0,85n.

c) Exploiter la relation entre deux suites

D'après la question 1. de la partie A, pour tout entier naturel n, un+vn=120. Il vient donc :

vn=120un=120(40+50×0,85n)=8050×0,85n.

 3. Calculer des limites de suites

q=0,851;1 donc limn+qn=0. Par produit et somme, nous en déduisons que :

limn+un=40+50×0=40 et limn+vn=8050×0=80.

Cela permet de valider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A : à long terme, la population en zone rurale va se stabiliser à 40 millions d'habitants et celle en ville à 80 millions d'habitants.

 4. a) Examiner le rôle d'un algorithme

Dans cet algorithme, la variable n correspond à l'indice des termes de la suite un. La variable u correspond au terme un de la suite un pour un indice donné.

L'instruction « n prend la valeur 0 » permet d'initialiser l'indice des termes de la suite un à la valeur 0.

L'instruction « u prend la valeur 90 » affecte à u la valeur du premier terme u0.

L'instruction « Tant que  u120u » de l'algorithme se traduit avec les suites proposées par « Tant que  unvn ».

L'instruction « n prend la valeur n+1 » signifie que l'on augmente la valeur de n de 1. L'instruction « u prend la valeur 0,85×u+6 » signifie que l'on calcule le terme suivant dans la liste des termes de la suite un.

En résumé, on calcule les termes successifs de la suite un tant que l'on est dans la situation « unvn ». Autrement dit, cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que l'on ait un  vn.

b) Déterminer la valeur affichée par un algorithme

Si l'on se réfère à la feuille de tableur fournie dans la question 2. de la partie A, l'algorithme affichera la valeur n = 6.

à noter

Diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité !

Or ln(0,85)0.

Autre méthode

Pour tout entier naturel n :

un120unun6040+50×0,85n600,85n0,4ln0,85nln0,4n×ln0,85ln0,4n>ln0,4ln0,85.

Comme ln0,4ln0,855,638, nous obtenons donc n=6.

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