Partie A

▶ 1. Établir une égalité

Le pays considéré a une population constante égale à 120 millions d'habitants. Par conséquent, nous avons, pour tout entier naturel n : $u_n+v_n=120$.

▶ 2. Proposer des formules de calcul pour une feuille de tableur

Il est indiqué que, chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ; il en reste donc $\mathrm{0,9}{u}_n$ pour l'année $2010+\text{(}n+1\text{)}$, tandis que 5 % des citadins émigrent en zone rurale soit $\mathrm{0,05}{v}_n$ en supplément pour la zone rurale pour l'année $2010+\text{(}n+1\text{)}$.

Finalement, nous obtenons, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+\mathrm{0,05}{v}_n$.

Une formule à taper en B3 pourrait donc être : $=\mathrm{0,9}\ast \text{B}2+\mathrm{0,05}\ast \text{C}2$.

Au vu du résultat de la question 1., une formule à taper en C3 pourrait être : $=120-\text{B3}$.

▶ 3. Conjecturer des limites de suites

Au vu des résultats affichés sur la feuille de tableur, il semblerait qu'à long terme la population en zone rurale se stabilise à 40 millions d'habitants et que celle en ville se stabilise à 80 millions d'habitants.

Partie B

▶ 1. a) Justifier par récurrence le sens de variation d'une suite

Soit $P\left(n\right)$ la propriété : $u_n\ge u_{n+1}$.

Initialisation

$u_0=90$ et $u_1=\mathrm{0,85}{u}_0+6=\mathrm{0,85}\times 90+6=\mathrm{82,5}$ donc $u_0\ge u_1$.

La propriété est donc bien initialisée.

Hérédité

On suppose que, pour un entier naturel k donné, la propriété $P\left(k\right)$ est vraie : $u_k\ge u_{k+1}$.

On démontre alors que la propriété $P\left(k+1\right)$ est aussi vérifiée :

$\underset{\begin{array}{c}\text{hypothèse}\\ \text{de récurrence}\end{array}}{\underbrace{u_k\ge u_{k+1}}}\Rightarrow \mathrm{0,85}{u}_k\ge \mathrm{0,85}{u}_{k+1}\Rightarrow \mathrm{0,85}{u}_k+6\ge \mathrm{0,85}{u}_{k+1}+6\Rightarrow u_{k+1}\ge u_{k+2}.$

La propriété $P\left(k+1\right)$ est vérifiée.

Conclusion

La propriété indiquée étant initialisée et héréditaire, nous pouvons en déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n\ge u_{n+1}$. La suite (u_n) est donc décroissante.

b) Démontrer qu'une suite est convergente

D'après l'énoncé, nous admettons que $u_n$ est positif pour tout entier naturel n. La suite $\left(u_n\right)$ est donc minorée par 0. Comme elle est décroissante, d'après la question précédente, avec le théorème de la limite monotone nous pouvons conclure que la suite (u_n) est convergente.

▶ 2. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

$w_{n+1}=u_{n+1}-40=\mathrm{0,85}{u}_n+6-40=\mathrm{0,85}{u}_n-34=\mathrm{0,85}\text{(}{u}_n-40\text{)}=\text{0,85}{w}_n.$

La suite (w_n) est une suite géométrique de raison q = 0,85.

b) Déterminer la formule explicite pour une suite

Le premier terme de la suite $\left(w_n\right)$ est $w_0=u_0-40=90-40=50$.

Pour tout entier naturel n, nous avons alors : $w_n=w_0\times q^n=50\times {\mathrm{0,85}}^n$.

Comme par ailleurs, pour tout entier naturel n, nous avons $w_n=u_n-40$, il en découle que, pour tout entier naturel n :

$u_n=40+w_n=40+50\times {\mathrm{0,85}}^n$.

c) Exploiter la relation entre deux suites

D'après la question 1. de la partie A, pour tout entier naturel n, $u_n+v_n=120$. Il vient donc :

$v_n=120-u_n=120-\text{(}40+50\times {\mathrm{0,85}}^n\text{)}=80-50\times {\mathrm{0,85}}^n$.

▶ 3. Calculer des limites de suites

$q=\mathrm{0,85}\in \left]-1;1\right[$ donc $\underset{n\to +\infty }{\text{lim}}{q}^n=0$. Par produit et somme, nous en déduisons que :

$\underset{n\to +\infty }{\text{lim}}{u}_n=40+50\times 0=40$ et $\underset{n\to +\infty }{\text{lim}}{v}_n=80-50\times 0=80$.

Cela permet de valider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A : à long terme, la population en zone rurale va se stabiliser à 40 millions d'habitants et celle en ville à 80 millions d'habitants.

▶ 4. a) Examiner le rôle d'un algorithme

Dans cet algorithme, la variable n correspond à l'indice des termes de la suite $\left(u_n\right)$. La variable u correspond au terme $u_n$ de la suite $\left(u_n\right)$ pour un indice donné.

L'instruction « n prend la valeur 0 » permet d'initialiser l'indice des termes de la suite $\left(u_n\right)$ à la valeur 0.

L'instruction « u prend la valeur 90 » affecte à u la valeur du premier terme $u_0$.

L'instruction « $\text{Tant que }u\ge 120-u$ » de l'algorithme se traduit avec les suites proposées par « $\text{Tant que }{u}_n\ge v_n$ ».

L'instruction « n prend la valeur n+1 » signifie que l'on augmente la valeur de n de 1. L'instruction « u prend la valeur $\mathrm{0,85}\times u+6$ » signifie que l'on calcule le terme suivant dans la liste des termes de la suite $\left(u_n\right)$.

En résumé, on calcule les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ tant que l'on est dans la situation « $u_n\ge v_n$ ». Autrement dit, cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que l'on ait u_n  v_n.

b) Déterminer la valeur affichée par un algorithme

Si l'on se réfère à la feuille de tableur fournie dans la question 2. de la partie A, l'algorithme affichera la valeur n = 6.

Autre méthode

Pour tout entier naturel n :

Comme $\frac{\text{ln}\left(\mathrm{0,4}\right)}{\text{ln}\left(\mathrm{0,85}\right)}\approx \mathrm{5,638}$, nous obtenons donc $n=6$.