Partie 1. Démarrage en moto

▶ 1. Calculer une vitesse

La vitesse instantanée au point G_i peut être déterminée en calculant la vitesse moyenne entre les points G_i–1 et G_i+1.

L'échelle du document est 1 cm pour 3 m (soit 1/300^e) donc les distances réelles sont obtenues en multipliant par 300 les distances mesurées sur la figure 1.

$v_1=\frac{G_0{G}_2}{2\text{τ}}=\frac{\mathrm{2,1}\times 300}{2\times \mathrm{0,80}}=\frac{\text{630 cm}}{\text{1,60 s}}=\frac{\text{6,3 m}}{\text{1,60 s}}=$$\mathrm{3,9}\text{m}·{\text{s}}^{-1}.$

$v_3=\frac{G_2{G}_4}{2\text{τ}}=\frac{\mathrm{6,4}\times 300}{2\times \mathrm{0,80}}=\frac{\text{1}\text{920 cm}}{\text{1,60 s}}=\frac{\text{19 m}}{\text{1,60 s}}\approx$$12\text{m}·{\text{s}}^{-1}.$

▶ 2. Tracer un vecteur vitesse

Avec l'échelle 1 cm pour 2 m · s^–1, les flèches des vecteurs vitesse ont des longueurs de $\frac{\mathrm{3,9}}{2}$ = 1,9 cm au point G₁ et $\frac{12}{2}$ = 6,0 cm au point G₃.

▶ 3. Tracer un vecteur variation de vitesse

Le vecteur $\text{Δ}{\overrightarrow{v}}_2={\overrightarrow{v}}_3-{\overrightarrow{v}}_1$ est tracé à partir de G₂en plaçant bout à bout ${\overrightarrow{v}}_3$ et - ${\overrightarrow{v}}_1$.

▶ 4. Déterminer graphiquement un vecteur accélération

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : sur un petit intervalle de temps, il peut être déterminé par la variation de vitesse pendant chaque seconde : ${\overrightarrow{a}}_2=\frac{d{\overrightarrow{v}}_2}{dt}\approx \frac{\text{Δ}{\overrightarrow{v}}_2}{∆t}=\frac{\text{Δ}{\overrightarrow{v}}_2}{2\text{τ}}$.

Compte tenu de l'échelle, Δv₂ = 8,2 m · s^–1

donc $a_2=\frac{\text{Δ}{v}_2}{∆t}= \frac{\mathrm{8,2}}{2\times \mathrm{0,80}}$ = 5,1 m · s^–2.

En choisissant comme échelle 1 cm pour 1 m · s^–2, on obtient :

▶ 5. Associer l'accélération à la variation de vitesse

Par définition, l'accélération a est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. L'accélération correspond donc au coefficient directeur de la droite v = f(t).

Le graphe v(t) de la figure 1 est une droite passant par l'origine. La vitesse est donc proportionnelle au temps :

v = k × t où k est une constante.

Donc, ici, a = k : l'accélération de la moto est constante.

▶ 6. Déterminer une accélération à partir d'une courbe de vitesse

On détermine le coefficient directeur de la droite entre les points (0 ; 0) et (50 ; 10) : a = $\frac{50}{10}$ = 5,0 m · s^–2.

On retrouve bien une valeur proche de celle que nous avions obtenue graphiquement à la question 4.

▶ 7. Exploiter une courbe

150 km · h^–1 = $\frac{150}{\mathrm{3,6}}$ = = 41,7 m · s^–1.

On trace la droite horizontale d'équation v = 41,7 sur la figure 2.

Le point d'intersection avec le graphe v(t) donne, en abscisse, le temps de parcours : 8,3 s.

En reportant ce temps sur la figure 3 le point d'intersection avec le graphe d(t) donne la distance parcourue, ici approximativement : d = 170 m.

Avec deux chiffres significatifs, cela s'écrit : d = 1,7 × 10² m.

Partie 2. Le saut de Félix Baumgartner

▶ 1. Exploiter une courbe

On peut lire la vitesse maximale atteinte sur la figure 4 : elle vaut 380 m · s^–1. Cette vitesse est supérieure à la vitesse du son dans l'air qui est voisine de 340 m · s^–1. Baumgartner a donc atteint une vitesse supersonique.

▶ 2. Exprimer vectoriellement une vitesse

Les valeurs des vitesses sont lues sur la figure 4, en m · s^–1 :

v₀ = 0, v₂₀ = 200, v₇₀ = 250 et v₉₀ = 170 m · s^–1.

Le mouvement est descendant. $\overrightarrow{v}$ est donc dirigé vers le bas, alors que $\overrightarrow{k}$ est dirigé vers le haut.

On a donc : ${\overrightarrow{v}}_0$ = $0\overrightarrow{k}$, ${\overrightarrow{v}}_{20}$ = $-200\overrightarrow{k}$, ${\overrightarrow{v}}_{70}$ = $-250\overrightarrow{k}$ et ${\overrightarrow{v}}_{90}$ = $-170\overrightarrow{k}$.

▶ 3. Définir le vecteur accélération comme la dérivée du vecteur vitesse

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

Pendant 20 s (entre 0 et 20, ou entre 70 et 90), on peut le confondre avec la variation moyenne du vecteur vitesse pendant chaque seconde :

$\overrightarrow{a}(t=10)=$$\frac{\overrightarrow{dv}}{dt}\approx \frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_{20}-{\overrightarrow{v}}_0}{20}=\frac{-200\overrightarrow{k}}{20}=$$-10\overrightarrow{k}$ ;

$\overrightarrow{a}(t=80)=$$\frac{\overrightarrow{dv}}{dt}\approx \frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_{90}-{\overrightarrow{v}}_{70}}{20}=\frac{-170\overrightarrow{k}+\text{250}\overrightarrow{k}}{20}=$$\text{4}\overrightarrow{k}$.

▶ 4. Reconnaître un mouvement de chute libre

La valeur de l'accélération au début du mouvement (à t = 10 s) est de 10 m · s^–2. Cette valeur est voisine de l'accélération de la pesanteur (9,8 m · s^–2). On peut considérer que Baumgartner est quasiment en chute libre au début de son saut car la force de frottement de l'air est très faible à cette altitude.

▶ 5. Interpréter le sens du vecteur accélération

Si $\overrightarrow{a}(t=80)=+\text{ 4}\overrightarrow{k}$, cela signifie que le vecteur accélération est dirigé vers le haut contrairement au vecteur vitesse.

À ce moment de la chute, la vitesse diminue et le mouvement est ralenti : les vecteurs vitesse et accélération sont opposés.

▶ 6. Exploiter une courbe

Le texte introductif indique que Félix Baumgartner ouvre son parachute au bout de 4 min et 20 s, soit au bout de : 4 × 60 + 20 = 260 s.

Sur la figure 5, on lit : z(t = 260 s) = 3 km.

▶ 7. Caractériser un mouvement rectiligne et uniforme

Ainsi, entre t = 260 s (ouverture du parachute) et t = 9 min 3 s soit 543 s (arrivée au sol), il parcourt 3 km et ceci en mouvement rectiligne et uniforme d'après l'énoncé.

Sa vitesse est donc constante et vaut :

$v=\frac{d}{\text{Δ}t}=\frac{3\times {10}^3}{543-260}=\frac{3\times {10}^3}{283}=$ 10,6 m · s^–1

Et, puisque la vitesse est constante, la valeur de l'accélération est nulle.