Annale corrigée Exercice Ancien programme

Nombres complexes, cercle et triangle

France métropolitaine • Septembre 2017

Exercice 2 • 4 points • 45 min

Nombres complexes, cercle et triangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (Ou,v). À tout point M d'affixe z, on associe le point M d'affixe z = − z2 + 2z. Le point M est appelé image du point M.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

− z2 + 2z − 2 = 0.

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2.

2. Soit M un point d'affixe z et M son image d'affixe z.

On note N le point d'affixe zN=z2.

Montrer que M est le milieu du segment [NM].

3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. On note θ un argument de z.

a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et zN ainsi qu'un argument de zN en fonction de θ.

b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté un point M sur le cercle C.

matT_1711_07_00C_02

Construire sur cette figure les points N et M en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

c) Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM ?

Les clés du sujet

3. a) Exploitez les formules avec modules et arguments pour déterminer les module et argument de zN à partir de ceux de zM=z.

c) Déterminez AM et MM pour montrer que AMM est isocèle en M.

Corrigé

1. Résoudre une équation et exploiter ses solutions  E23 

L'équation proposée est de la forme az2+bz+c=0 avec a=1, b=2 et c=2.

Δ=b24ac=224×(1)×(2)=40.

L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

z1=b+iΔ2a=2+i42=1i et z2=z1¯=1+i.

Nous avons :

z=2z2+2z=2z2+2z2=0.

Nous en déduisons, d'après le point précédent, que les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2 sont 1i et 1+i.

2. Montrer qu'un point est le milieu d'un segment  E22 

Nous avons zN+zM′ 2=z2+(z2+2z)2=z=zM donc M est le milieu du segment [NM].

3. a) Déterminer des modules et un argument  E18b • E19c 

Le point M d'affixe z appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

Par conséquent, nous avons OM=|z|=1.

rappel

Soit z un nombre complexe non nul et n un entier naturel non nul. Nous avons :

|zn|=|z|n et arg(zn)=narg(z)[2π].

Comme z0, et puisque zN=z2, nous en déduisons que :

|zN|=|z2|=|z|2=12=1 et arg(zN)=arg(z2)=2arg(z)=2θ[2π].

Le module de z est égal à 1, celui de zN est égal à 1, un argument de zN est 2θ.

b) Compléter une figure

matT_1711_07_00C_01

c) Déterminer la nature d'un triangle  E18b • E22 

rappel

Pour tous nombres complexes z et z, |z×z|=|z|×|z|.

Nous avons AM=|zMzA|=|z1|.

D'après la question 3. a), nous avons |z|=1 donc :

MM′ =|zM′ zM|=|zz|=|z2+2zz|=|z2+z|=|z(z1)|=|z||z1|=|z|=1×|z1|=|z1|.

Par conséquent, MM′ =AM.

Le triangle AMM est donc isocèle en M.

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