Nombres complexes, cercle et triangle

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. À tout point M d’affixe z, on associe le point M′ d’affixe z′ = − z2 + 2z. Le point M′ est appelé image du point M.

▶ 1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation :

− z2 + 2z − 2 = 0.

En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.

▶ 2. Soit M un point d’affixe z et M′ son image d’affixe z′.

On note N le point d’affixe $z_{\text{N}}=z^2$.

Montrer que M est le milieu du segment [NM′].

▶ 3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. On note θ un argument de z.

a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et zN ainsi qu’un argument de zN en fonction de θ.

b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté un point M sur le cercle C.

Construire sur cette figure les points N et M′ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

c) Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM′ ?