Nombres complexes et applications

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1711_07_00C

France métropolitaine • Septembre 2017

Exercice 2 • 4 points • ⏱ 45 min

Nombres complexes, cercle et triangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O \vec{u}, \vec{v})$ . À tout point M d'affixe z, on associe le point M′ d'affixe z′ = − z2 + 2z. Le point M′ est appelé image du point M.

▶ 1. Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation :

− z2 + 2z − 2 = 0.

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2.

▶ 2. Soit M un point d'affixe z et M′ son image d'affixe z′.

On note N le point d'affixe $z_{N} = z^{2}$ .

Montrer que M est le milieu du segment [NM′].

▶ 3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. On note θ un argument de z.

a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et zN ainsi qu'un argument de zN en fonction de θ.

b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté un point M sur le cercle C.

matT_1711_07_00C_02

Construire sur cette figure les points N et M′ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

c) Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM′ ?

Les clés du sujet

▶ 3. a) Exploitez les formules avec modules et arguments pour déterminer les module et argument de $z_{N}$ à partir de ceux de $z_{M} = z$ .

c) Déterminez AM et MM′ pour montrer que AMM′ est isocèle en M.

Corrigé

▶ 1. Résoudre une équation et exploiter ses solutions E23

L'équation proposée est de la forme $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a = - 1$ , $b = 2$ et $c = - 2$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \times (- 1) \times (- 2) = - 40$ .

L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} = \frac{- 2 + i \sqrt{4}}{- 2} = 1 - i$ et $z_{2} = \bar{z_{1}} = 1 + i$ .

Nous avons :

$z^{'} = 2 \Leftrightarrow - z^{2} + 2 z = 2 \Leftrightarrow - z^{2} + 2 z - 2 = 0$ .

Nous en déduisons, d'après le point précédent, que les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2 sont $1 - i$ et $1 + i$ .

▶ 2. Montrer qu'un point est le milieu d'un segment E22

Nous avons $\frac{z_{N} + z_{M′}}{2} = \frac{z^{2} + (- z^{2} + 2 z)}{2} = z = z_{M}$ donc M est le milieu du segment [NM′].

▶ 3. a) Déterminer des modules et un argument E18b • E19c

Le point M d'affixe $z$ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

Par conséquent, nous avons $OM = | z | = 1$ .

rappel

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $n$ un entier naturel non nul. Nous avons :

$| z^{n} | = {| z |}^{n}$ et $\arg (z^{n}) = n \arg (z) [2 π]$ .

Comme $z \neq 0$ , et puisque $z_{N} = z^{2}$ , nous en déduisons que :

$| z_{N} | = | z^{2} | = {| z |}^{2} = 1^{2} = 1$ et $\arg (z_{N}) = \arg (z^{2}) = 2 \arg (z) = 2 θ [2 π]$ .

Le module de $z$ est égal à 1, celui de $z_{N}$ est égal à 1, un argument de $z_{N}$ est $2 θ$ .

b) Compléter une figure

matT_1711_07_00C_01

c) Déterminer la nature d'un triangle E18b • E22

rappel

Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{'}$ , $| z \times z^{'} | = | z | \times | z^{'} |$ .

Nous avons $AM = | z_{M} - z_{A} | = | z - 1 |$ .

D'après la question 3. a), nous avons $| z | = 1$ donc :

$\begin{matrix} MM′ = | z_{M′} - z_{M} | = | z^{'} - z | \\ = | - z^{2} + 2 z - z | \\ = | - z^{2} + z | \\ = | - z (z - 1) | \\ = | - z | | z - 1 | \\ = \underset{= 1}{\underset{︸}{| z |}} \times | z - 1 | \\ = | z - 1 | . \end{matrix}$

Par conséquent, $MM′ = AM$ .

Le triangle AMM′ est donc isocèle en M.

Nombres complexes, cercle et triangle

▶ 1. Résoudre une équation et exploiter ses solutions E23

▶ 2. Montrer qu'un point est le milieu d'un segment E22

▶ 3. a) Déterminer des modules et un argument E18b • E19c

b) Compléter une figure

c) Déterminer la nature d'un triangle E18b • E22

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