Nombres complexes et applications
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1711_07_00C
France métropolitaine • Septembre 2017
Exercice 2 • 4 points • ⏱ 45 min
Nombres complexes, cercle et triangle
Les thèmes clés
Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé . À tout point M d’affixe z, on associe le point M′ d’affixe z′ = − z2 + 2z. Le point M′ est appelé image du point M.
▶ 1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation :
− z2 + 2z − 2 = 0.
En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.
▶ 2. Soit M un point d’affixe z et M′ son image d’affixe z′.
On note N le point d’affixe .
Montrer que M est le milieu du segment [NM′].
▶ 3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. On note θ un argument de z.
a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et zN ainsi qu’un argument de zN en fonction de θ.
b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté un point M sur le cercle C.
Construire sur cette figure les points N et M′ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
c) Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM′ ?
Les clés du sujet
▶ 3. a) Exploitez les formules avec modules et arguments pour déterminer les module et argument de à partir de ceux de .
c) Déterminez AM et MM′ pour montrer que AMM′ est isocèle en M.