Nombres complexes, cercle et triangle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Septembre 2017

Exercice 2 • 4 points • 45 min

Nombres complexes, cercle et triangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;u,v). À tout point M d’affixe z, on associe le point M d’affixe z = − z2 + 2z. Le point M est appelé image du point M.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

− z2 + 2z − 2 = 0.

En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.

2. Soit M un point d’affixe z et M son image d’affixe z.

On note N le point d’affixe zN=z2.

Montrer que M est le milieu du segment [NM].

3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. On note θ un argument de z.

a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et zN ainsi qu’un argument de zN en fonction de θ.

b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté un point M sur le cercle C.

matT_1711_07_00C_02

Construire sur cette figure les points N et M en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

c) Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM ?

Les clés du sujet

3. a) Exploitez les formules avec modules et arguments pour déterminer les module et argument de zN à partir de ceux de zM=z.

c) Déterminez AM et MM pour montrer que AMM est isocèle en M.