Nombres de Mersenne. Nombres parfaits

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Nombres de Mersenne. Nombres parfaits

Arithmétique

Corrigé

43

Ens. de spécialité

matT_1200_00_25C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Nombres de Mersenne

On considère les nombres de Mersenne pour n entier naturel non nul.

>1. En utilisant la calculatrice, donner les 10 premiers nombres de Mersenne.

>2.a) Conjecturer une condition pour que 3 soit un diviseur de .

b) Démontrer cette conjecture en utilisant les congruences.

>3.a) Conjecturer une condition pour que 5 soit un diviseur de .

b) Démontrer cette conjecture en utilisant les congruences.

PARTIE B

Nombres parfaits

On appelle nombre parfait tout entier naturel n dont la somme des diviseurs positifs est égale à 2n.

Euclide donne dans le livre IX des Éléments la propriété suivante :

Si 2n+1 – 1 est premier alors est parfait.

>1. Les nombres 8, 10 et 28 sont-ils des nombres parfaits ?

>2. En utilisant la propriété d’Euclide et la première question de la partie A, donner deux autres nombres parfaits.

>3. Soit n un entier naturel tel que est premier.
On pose .

a) En remarquant que est la décomposition du nombre a en produit de facteurs premiers, donner la liste de tous les diviseurs de a.

b) Démontrer que .

>4.Prise d’initiative : toute démarche, même infructueuse, sera prise en compte.

En déduire une démonstration de la propriété d’Euclide.

Durée conseillée : 35 min.

Le thème en jeu

Arithmétique.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez le tableau des valeurs d’une suite tiré de votre calculatrice. Ce sera beaucoup plus rapide.

>  2. Pour démontrer que « si n est pair alors 3 est un diviseur de  », partez de l’égalité de congruence .

>  3. Pour démontrer que « Si 4 est un diviseur de n alors 5 est un diviseur de  » partez de l’égalité de congruence .

Partie B

>  1. Donnez la liste des diviseurs de chaque nombre (décomposez pour cela le nombre étudié en un produit de facteurs premiers), puis faites-en la somme. Appliquez ensuite la définition d’un nombre parfait.

>  2. Récupérez de la première question deux Mn premiers. Appliquez ensuite la propriété d’Euclide.

>  3. Les diviseurs du nombre a sont : .

Les termes sont les n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

Calculez donc et déduisez-en puis la somme des diviseurs de a. ­Démontrez judicieusement que la somme obtenue est bien 2a.

Corrigé

Partie A

>1. Appliquer une formule


n




n



1


1


6


63


2


3


7


127


3


7


8


255


4


15


9


511


5


31


10


1023