Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Note en mathématiques et répartition des moyennes des candidats au baccalauréat

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

matT_1311_11_00C

ENS. SPÉCIFIQUE

CORRIGE

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2013

Exercice 5 • 5 points

Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à 0,01 %.

>1. Le lendemain d'une épreuve de mathématiques au baccalauréat, on corrige un échantillon de 160 copies choisies au hasard parmi l'ensemble des copies et on a observé que 78 copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

a) Déterminer la proportion des copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10. (0,5 point)

b) Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies. (1 point)

c) Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d'amplitude inférieure à 0,04 ? (1 point)

>2. À l'issue du premier groupe d'épreuves on désigne par la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l'ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.

Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne 10,5 et d'écart-type 2.

a) Si ce correcteur a raison, quel intervalle centré en 10,5 devrait contenir 95 % des moyennes des candidats ? (0,75 point)

b) À l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1, calculer. (0,75 point)

c) Lors des délibérations de jury à l'issue du premier groupe d'épreuves, les candidats ayant obtenu une moyenne supérieure ou égale à 10 sont déclarés admis. Il est aussi d'usage, par exemple, lorsqu'un candidat a obtenu une moyenne inférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce candidat met en avant la qualité de son travail au cours de l'année, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyenne.

Le graphique figurant en annexe 2 permet de visualiser les notes moyennes d'environ 330 000 candidats à l'issue des délibérations des jurys du premier groupe d'épreuves du baccalauréat 2001. Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités. (1 point)

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour et .


10	0,4013	11	0,5987	12	0,7734
10,1	0,4207	11,1	0,6179	12,1	0,7881
10,2	0,4404	11,2	0,6368	12,2	0,8023
10,3	0,4602	11,3	0,6554	12,3	0,8159
10,4	0,4801	11,4	0,6736	12,4	0,8289
10,5	0,5000	11,5	0,6915	12,5	0,8413
10,6	0,5199	11,6	0,7088	12,6	0,8531
10,7	0,5398	11,7	0,7257	12,7	0,8643
10,8	0,5596	11,8	0,7422	12,8	0,8749
10,9	0,5793	11,9	0,7580	12,9	0,8849

Annexe 2

Source : Direction de la Programmation et du Développement, Ministère de la Jeunesse de l'Éducation nationale et de la Recherche, 2002

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. c) L'amplitude de l'intervalle de confiance déterminé à partir d'un échantillon de taille est .

>2. a) D'après le cours, si est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne et d'écart-type , alors . Ici .

>1.a) Calculer une proportion dans un échantillon

La proportion (ou fréquence) des copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est :

48,75 % des copies de l'échantillon ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

b) Déterminer un intervalle de confiance

D'après le cours, si est la fréquence dans un échantillon de taille , alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies est .

en arrondissant au dix-millième. Donc un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies est :

c) Déterminer la taille d'un échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à un nombre donné

Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d'amplitude inférieure à 0,04, on doit considérer un échantillon de taille telle que , inégalité successivement équivalente à :

Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d'amplitude inférieure à 0,04, on doit donc étudier un échantillon d'au moins 2 500 copies.

>2.a) Déterminer un intervalle contenant 95 % des valeurs

Si est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne et d'écart-type , alors la probabilité que prenne une valeur dans est approximativement égale à 0,95.

Attention

La moyenne d'une variable aléatoire est son espérance.

Ici , donc l'intervalle centré en 10,5 et de rayon (c'est-à-dire d'amplitude ) doit contenir environ 95 % des moyennes des candidats.

donc, si le correcteur a raison, alors l'intervalledoit contenir les moyennes d'environ 95 % des candidats.

b) Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

suit une loi normale d'espérance 10,5, donc

0,7734 d'après la table de l'annexe 1, soit :

Autre méthode

D'après les propriétés de la loi normale :

D'après la calculatrice , donc :

c) Commenter un graphique représentant la répartition d'une série de notes

Le graphique a une allure globale de « courbe en cloche » correspondant à une loi normale.

On peut constater quelques irrégularités : les notes 9,5 et 11,5, et dans une moindre mesure 7,5 et 13,5 semblent « sous-représentées » par rapport aux notes immédiatement supérieures (10 et 12 8 et 14).

Ces notes correspondent à des seuils : admission à l'issue du premier groupe d'épreuves pour la note 10, mention « assez bien » pour la note 12, autorisation de se présenter au deuxième groupe d'épreuves (« rattrapage ») pour la note 8, mention « bien » pour la note 14.

On peut donc penser que, lors des délibérations à l'issue du premier groupe d'épreuves, les jurys ont effectué des révisions de notes et attribué quelques points supplémentaires aux candidats qui avaient obtenu une moyenne inférieure, mais très proche de l'un de ces seuils et qui avaient un « bon dossier », leur permettant ainsi de « passer le seuil ».