Note en mathématiques et répartition des moyennes des candidats au baccalauréat

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Nouvelle-Calédonie
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Note en mathématiques et répartition des moyennes des candidats au baccalauréat
 
 

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

matT_1311_11_00C

ENS. SPÉCIFIQUE

33

CORRIGE

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2013

Exercice 5 • 5 points

Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à 0,01 %.

>1. Le lendemain d’une épreuve de mathématiques au baccalauréat, on corrige un échantillon de 160 copies choisies au hasard parmi l’ensemble des copies et on a observé que 78 copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

a) Déterminer la proportion des copies de l’échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10. (0,5 point)

b) Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l’ensemble des copies. (1 point)

c) Quelle devrait être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’amplitude inférieure à 0,04 ? (1 point)

>2. À l’issue du premier groupe d’épreuves on désigne par la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l’ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.

Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne 10,5 et d’écart-type 2.

a) Si ce correcteur a raison, quel intervalle centré en 10,5 devrait contenir 95 % des moyennes des candidats ? (0,75 point)

b) À l’aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1, calculer. (0,75 point)

c) Lors des délibérations de jury à l’issue du premier groupe d’épreuves, les candidats ayant obtenu une moyenne supérieure ou égale à 10 sont déclarés admis. Il est aussi d’usage, par exemple, lorsqu’un candidat a obtenu une moyenne inférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce candidat met en avant la qualité de son travail au cours de l’année, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyenne.

Le graphique figurant en annexe 2 permet de visualiser les notes moyennes d’environ 330 000 candidats à l’issue des délibérations des jurys du premier groupe d’épreuves du baccalauréat 2001. Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités. (1 point)

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour et .

 

10

0,4013

11

0,5987

12

0,7734

10,1

0,4207

11,1

0,6179

12,1

0,7881

10,2

0,4404

11,2

0,6368

12,2

0,8023

10,3

0,4602

11,3

0,6554

12,3

0,8159

10,4

0,4801

11,4

0,6736

12,4

0,8289

10,5

0,5000

11,5

0,6915

12,5

0,8413

10,6

0,5199

11,6

0,7088

12,6

0,8531

10,7

0,5398

11,7

0,7257

12,7

0,8643

10,8

0,5596

11,8

0,7422

12,8

0,8749

10,9

0,5793

11,9

0,7580

12,9

0,8849

 

Annexe 2


 

Source : Direction de la Programmation et du Développement, Ministère de la Jeunesse de l’Éducation nationale et de la Recherche, 2002

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. c) L’amplitude de l’intervalle de confiance déterminé à partir d’un échantillon de taille est .

>2. a) D’après le cours, si est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne et d’écart-type , alors . Ici .

Corrigé

>1.a) Calculer une proportion dans un échantillon

La proportion (ou fréquence) des copies de l’échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est :

.

48,75 % des copies de l’échantillon ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

b) Déterminer un intervalle de confiance

D’après le cours, si est la fréquence dans un échantillon de taille , alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l’ensemble des copies est .

en arrondissant au dix-millième. Donc un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l’ensemble des copies est :

.

c) Déterminer la taille d’un échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à un nombre donné

Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’amplitude inférieure à 0,04, on doit considérer un échantillon de taille telle que , inégalité successivement équivalente à :

Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’amplitude inférieure à 0,04, on doit donc étudier un échantillon d’au moins 2 500 copies.

>2.a) Déterminer un intervalle contenant 95 % des valeurs

Si est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne et d’écart-type , alors la probabilité que prenne une valeur dans est approximativement égale à 0,95.

 

Attention

La moyenne d’une variable aléatoire est son espérance.

Ici , donc l’intervalle centré en 10,5 et de rayon (c’est-à-dire d’amplitude ) doit contenir environ 95 % des moyennes des candidats.

donc, si le correcteur a raison, alors l’intervalledoit contenir les moyennes d’environ 95 % des candidats.

b) Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

 

Notez bien

suit une loi normale d’espérance 10,5, donc

0,7734 d’après la table de l’annexe 1, soit :

Autre méthode

D’après les propriétés de la loi normale :

D’après la calculatrice , donc :

c) Commenter un graphique représentant la répartition d’une série de notes

Le graphique a une allure globale de « courbe en cloche » correspondant à une loi normale.

On peut constater quelques irrégularités : les notes 9,5 et 11,5, et dans une moindre mesure 7,5 et 13,5 semblent « sous-représentées » par rapport aux notes immédiatement supérieures (10 et 12 ; 8 et 14).

Ces notes correspondent à des seuils : admission à l’issue du premier groupe d’épreuves pour la note 10, mention « assez bien » pour la note 12, autorisation de se présenter au deuxième groupe d’épreuves (« rattrapage ») pour la note 8, mention « bien » pour la note 14.

On peut donc penser que, lors des délibérations à l’issue du premier groupe d’épreuves, les jurys ont effectué des révisions de notes et attribué quelques points supplémentaires aux candidats qui avaient obtenu une moyenne inférieure, mais très proche de l’un de ces seuils et qui avaient un « bon dossier », leur permettant ainsi de « passer le seuil ».