Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation
matT_1311_11_00C
ENS. SPÉCIFIQUE
33
CORRIGE
Nouvelle-Calédonie • Novembre 2013
Exercice 5 • 5 points
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à 0,01 %.
la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l’ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.
Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire 
suit une loi normale de moyenne 10,5 et d’écart-type 2.
. (0,75 point)
Le graphique figurant en annexe 2 permet de visualiser les notes moyennes d’environ 330 000 candidats à l’issue des délibérations des jurys du premier groupe d’épreuves du baccalauréat 2001. Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités. (1 point)
Annexe 1
Extrait de la table de la loi normale pour 
et 
.
|
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10 |
0,4013 |
11 |
0,5987 |
12 |
0,7734 |
|
10,1 |
0,4207 |
11,1 |
0,6179 |
12,1 |
0,7881 |
|
10,2 |
0,4404 |
11,2 |
0,6368 |
12,2 |
0,8023 |
|
10,3 |
0,4602 |
11,3 |
0,6554 |
12,3 |
0,8159 |
|
10,4 |
0,4801 |
11,4 |
0,6736 |
12,4 |
0,8289 |
|
10,5 |
0,5000 |
11,5 |
0,6915 |
12,5 |
0,8413 |
|
10,6 |
0,5199 |
11,6 |
0,7088 |
12,6 |
0,8531 |
|
10,7 |
0,5398 |
11,7 |
0,7257 |
12,7 |
0,8643 |
|
10,8 |
0,5596 |
11,8 |
0,7422 |
12,8 |
0,8749 |
|
10,9 |
0,5793 |
11,9 |
0,7580 |
12,9 |
0,8849 |
Annexe 2
Source : Direction de la Programmation et du Développement, Ministère de la Jeunesse de l’Éducation nationale et de la Recherche, 2002
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
est 
.
est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 
et d’écart-type 
, alors 
. Ici 
.
> 1. a) Calculer une proportion dans un échantillon
La proportion (ou fréquence) des copies de l’échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est :
.
b) Déterminer un intervalle de confiance
D’après le cours, si 
est la fréquence dans un échantillon de taille 
, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l’ensemble des copies est 
.
en arrondissant au dix-millième. Donc un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l’ensemble des copies est :
.
c) Déterminer la taille d’un échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à un nombre donné
Pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’amplitude inférieure à 0,04, on doit considérer un échantillon de taille 
telle que 
, inégalité successivement équivalente à :
> 2. a) Déterminer un intervalle contenant 95 % des valeurs
Si 
est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 
et d’écart-type 
, alors la probabilité que 
prenne une valeur dans 
est approximativement égale à 0,95.
Attention
La moyenne d’une variable aléatoire est son espérance.
Ici 
, donc l’intervalle centré en 10,5 et de rayon 
(c’est-à-dire d’amplitude 
) doit contenir environ 95 % des moyennes des candidats.
donc, 
b) Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Notez bien
suit une loi normale d’espérance 10,5, donc
0,7734 d’après la table de l’annexe 1, soit :
Autre méthode
D’après les propriétés de la loi normale :
D’après la calculatrice 
, donc :
c) Commenter un graphique représentant la répartition d’une série de notes
Le graphique a une allure globale de « courbe en cloche » correspondant à une loi normale.
On peut constater quelques irrégularités : les notes 9,5 et 11,5, et dans une moindre mesure 7,5 et 13,5 semblent « sous-représentées » par rapport aux notes immédiatement supérieures (10 et 12 ; 8 et 14).
Ces notes correspondent à des seuils : admission à l’issue du premier groupe d’épreuves pour la note 10, mention « assez bien » pour la note 12, autorisation de se présenter au deuxième groupe d’épreuves (« rattrapage ») pour la note 8, mention « bien » pour la note 14.
On peut donc penser que, lors des délibérations à l’issue du premier groupe d’épreuves, les jurys ont effectué des révisions de notes et attribué quelques points supplémentaires aux candidats qui avaient obtenu une moyenne inférieure, mais très proche de l’un de ces seuils et qui avaient un « bon dossier », leur permettant ainsi de « passer le seuil ».
