Terminale générale Mathématiques Sommes de variables aléatoires

Probabilités • Sommes de variables aléatoires

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matT_2400_14_01C

Sommes de variables aléatoires

Sujet zéro 2024

Notes à un examen

1 h 15

7 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, il s’agit d’étudier des variables aléatoires représentant des notes à un examen qui suivent la loi de Bernoulli ou la loi binomiale et d’en étudier les sommes. On considère ensuite la moyenne des notes obtenues par les n élèves d’un échantillon.

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie A

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1 ;

si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :

A l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;

B l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note $\bar{A}$ et $\bar{B}$ les événements contraires de A et de B.

▶ 1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

matT_2400_14_01C_01

▶ 2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.

▶ 3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.

On note :

X₁ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;

X₂ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;

X la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire X = X₁ + X₂.

▶ 4. Déterminer l’espérance de X₁ et de X₂. En déduire l’espérance de X. Donner une interprétation de l’espérance de X dans le contexte de l’exercice.

▶ 5. On souhaite déterminer la variance de X.

a) Déterminer P(X = 0) et P(X = 2). En déduire P(X = 1).

b) Montrer que la variance de X vaut 0,57.

c) A-t-on V(X) = V(X₁) + V(X₂) ? Est-ce surprenant ?

Partie B

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapportent zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\frac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note Y la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

▶ 1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

▶ 2. Donner la valeur exacte de P(Y = 8).

▶ 3. Donner l’espérance et la variance de Y.

Partie C

On suppose que les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : Z = X + Y.

▶ 1. Calculer l’espérance et la variance de Z.

▶ 2. Soit n un nombre entier strictement positif.

Pour i entier variant de 1 à n, on note Z_i la variable aléatoire qui, à un échantillon de n élèves, associe la note de l’élève numéro i à l’examen.

On admet que les variables aléatoires Z₁, Z₂, …, Z_n sont identiques à Z et indépendantes.

On note M_n la variable aléatoire qui, à un échantillon de n élèves, associe la moyenne de leurs n notes, c’est-à-dire :

$M_{n} = \frac{Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}}{n}$

a) Quelle est l’espérance de M_n ?

b) Quelles sont les valeurs de n telles que l’écart type de M_n soit inférieur ou égal à 0,5 ?

c) Pour les valeurs trouvées en b), montrer que la probabilité que 6,3 ≤ M_n ≤ 8,3 est supérieure ou égale à 0,75.

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Pour compléter l’arbre, il faut traduire les données de l’énoncé à l’aide des événements A et B.

▶ 2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

Partie C

▶ 2. a) et b) Utilisez les résultats du cours sur l’espérance et la variance d’un échantillon de taille n d’une loi de probabilité.

▶ 2. c) Utilisez l’événement contraire de celui sur lequel porte la question et appliquez l’inégalité de concentration qui découle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et des propriétés de calcul sur les inégalités.

Partie A

▶ 1. Traduire un énoncé par un arbre pondéré

Le conseil de méthode

Sur les branches de premier niveau de l’arbre, on indique des probabilités simples. Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles, conditionnées par l’événement « dont elles sont issues ».

D’après l’énoncé, on a directement $P (A) = 0,8$ .

P_A(B) est la probabilité de B sachant A, c’est-à-dire la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 sachant qu’il a répondu correctement à la question Q1. D’après l’énoncé, $P_{A} (B) = 0,6$ car si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2.

à noter

On utilise également les propriétés suivantes :

$P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ et $P_{A} (\bar{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .

De même, $P_{\bar{A}} (B) = 0,1$ car si le candidat ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

matT_2400_14_01C_02

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

à noter

On peut aussi lire directement le résultat sur l’arbre.

L’événement « le candidat répond correctement aux deux questions Q1 et Q2 » est A ∩ B.

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$

$P (A \cap B) = 0,8 \times 0,6$

$P (A \cap B) = 0,48$ .

La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2 est égale à 0,48.

▶ 3. Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est P(B). D’après la formule des probabilités totales :

$P (B) = P (A \cap B) + P (\bar{A} \cap B)$ .

On a vu précédemment que $P (A \cap B) = 0,48$ . On a :

$P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) \times P_{\bar{A}} (B)$

$P (\bar{A} \cap B) = 0,2 \times 0,1$

$P (\bar{A} \cap B) = 0,02$ .

D’où $P (B) = 0,48 + 0,02$ , soit $P (B) = 0,5$ .

La probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est égale à 0,5.

▶ 4. Calculer l’espérance de variables aléatoires

à noter

P(X₁ = 0) est la probabilité que le candidat n’obtienne aucun point à la question Q1, c’est-à-dire la probabilité qu’il ne réponde pas correctement à cette question ; c’est la probabilité de l’événement $\bar{A}$ .

Les variables aléatoires X₁ et X₂ prennent les valeurs 0 et 1.

$P (X_{1} = 1) = P (A) = 0,8$ , donc $P (X_{1} = 0) = 0,2$ .

Donc $E (X_{1}) = 0 \times 0,2 + 1 \times 0,8$ , soit $E (X_{1}) = 0,8$ .

Par un raisonnement analogue, $P (X_{2} = 0) = 0,5$ et $P (X_{2} = 1) = 0,5$ ,

d’où $E (X_{2}) = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,5$ , soit $E (X_{2}) = 0,5$ .

X = X₁ + X₂, donc, par linéarité de l’espérance, $E (X) = E (X_{1}) + E (X_{2})$ , soit $E (X) = 1,3$ .

En moyenne, les candidats obtiennent une note de 1,3 au premier exercice.

▶ 5. a) Calculer des probabilités associées à une variable aléatoire

L’événement ${X = 0}$ est l’événement « le candidat n’obtient aucun point au premier exercice », c’est-à-dire « le candidat donne une réponse incorrecte à la question Q1 et à la question Q2 » ; on a donc $P (X = 0) = P (\bar{A} \cap \bar{B})$ , soit $P (X = 0) = 0,2 \times 0,9$ d’après l’arbre de la question 1.

Donc $P (X = 0) = 0,18$ .

De même, l’événement ${X = 2}$ est l’événement « le candidat obtient deux points au premier exercice », c’est-à-dire « le candidat donne une réponse correcte à la question Q1 et à la question Q2 » ; on a donc :

$P (X = 2) = P (A \cap B)$ , soit $P (X = 2) = 0,48$ .

Puisque le premier exercice est constitué de deux questions et que chaque question rapporte 0 ou 1 point suivant la réponse donnée par le candidat, X prend les valeurs 0, 1 et 2. Il en découle :

$P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1$ .

Donc $P (X = 1) = 1 - P (X = 0) - P (X = 2)$ , soit $P (X = 1) = 0,34$ .

b) Calculer la variance d’une variable aléatoire

La variance de X est $V (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}$

Le conseil de méthode

La définition de la variance V(X) de la variable aléatoire X est

$V (X) = E ({[X - E (X)]}^{2})$ . Mais la formule $V (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}$ est la plupart du temps plus commode pour le calcul de la variance.

Puisque X prend pour valeurs 0, 1 et 2, alors $X^{2}$ prend pour valeurs 0, 1 et 4. Son espérance est :

$E (X^{2}) = 0 \times P (X^{2} = 0) + 1 \times P (X^{2} = 1) + 4 \times P (X^{2} = 4)$

$E (X^{2}) = P (X = 1) + 4 \times P (X = 2)$

$E (X^{2}) = 0,34 + 4 \times 0,48$

$E (X^{2}) = 2,26$ .

D’où $V (X) = 2,26 - {1,3}^{2}$ , soit $V (X) = 0,57$ .

c) Comparer la variance de la somme et la somme des variances

à noter

Si une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors sa variance est p(1 - p).

Les variables aléatoires X₁ et X₂ prennent pour seules valeurs 0 et 1 ; elles suivent une loi de Bernoulli de paramètre 0,8 pour X₁, et 0,5 pour X₂.

La variance de X₁ est $V (X_{1}) = 0,8 \times 0,2$ , soit $V (X_{1}) = 0,16$ .

La variance de X₂ est $V (X_{2}) = 0,5 \times 0,5$ , soit $V (X_{2}) = 0,25$ .

$V (X_{1}) + V (X_{2}) = 0,16 + 0,25$ , soit $V (X_{1}) + V (X_{2}) = 0,41$ .

Donc $V (X)$ n’est pas égal à $V (X_{1}) + V (X_{2})$ .

Cette conclusion n’est pas surprenante car les variables aléatoires X₁ et X₂ ne sont pas indépendantes.

Partie B

▶ 1. Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi

L’expérience est un schéma de Bernoulli, répétition de 8 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chaque épreuve étant une question du deuxième exercice. Le succès est « le candidat répond correctement à la question » ; la probabilité de succès est égale à $\frac{3}{4}$ . La variable aléatoire Y est égale au nombre de succès, donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 8$ et $p = \frac{3}{4}$ .

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

P(Y = 8) est la probabilité que le candidat réponde correctement aux 8 questions, donc, puisque ces questions sont indépendantes :

$P (Y = 8) = {(\frac{3}{4})}^{8}$ .

▶ 3. Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

L’espérance E(Y) de la variable aléatoire Y qui suit la loi $B (8; \frac{3}{4})$ est $E (Y) = 8 \times \frac{3}{4}$ , soit $E (Y) = 6$ .

La variance V(Y) de Y est $V (Y) = 8 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$ , soit $V (Y) = \frac{3}{2}$ .

Partie C

▶ 1. Calculer l’espérance et la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

L’espérance de Z est $E (Z) = E (X) + E (Y)$ , d’où $E (Z) = 1,3 + 6$ , soit $E (Z) = 7,3$ .

Comme X et Y sont indépendantes, la variance de Z est $V (Z) = V (X) + V (Y)$ .

D’où $V (Z) = 0,57 + \frac{3}{2}$ , soit $V (Z) = 2,07$ .

▶ 2. a) Donner l’espérance d’une variable aléatoire

D’après le cours, l’espérance de M_n est $E (M_{n}) = E (Z_{i})$ où i est n’importe quel entier compris entre 1 et n.

Donc $E (M_{n}) = E (Z)$ puisque les variables aléatoires Z₁, Z₂, …, Z_n sont identiques à Z, soit $E (M_{n}) = 7,3$ .

b) Déterminer les entiers vérifiant une condition

La variance de M_n est $V (M_{n}) = \frac{V (Z)}{n}$ car Z₁, Z₂, …, Z_n sont indépendantes.

Donc $V (M_{n}) = \frac{2,07}{n}$ . L’écart type de M_n est $σ (M_{n}) = \sqrt[]{\frac{2,07}{n}}$ .

$σ (M_{n}) ≤ 0,5 \Leftrightarrow \sqrt[]{\frac{2,07}{n}} ≤ 0,5 \Leftrightarrow \frac{2,07}{n} ≤ 0,25 \Leftrightarrow n ≥ \frac{2,07}{0,25}$ .

Or $\frac{2,07}{0,25} = 8,28,$ donc les valeurs de n telles que l’écart type de M_n soit inférieur ou égal à 0,5 sont les nombres entiers supérieurs ou égaux à 9.

c) Montrer qu’une probabilité vérifie une inégalité

$6,3 = E (M_{n}) - 1$ et $8,3 = E (M_{n}) + 1$ , donc :

$6,3 ≤ M_{n} ≤ 8,3 \Leftrightarrow E (M_{n}) - 1 ≤ M_{n} ≤ E (M_{n}) + 1$

c’est-à-dire :

$6,3 ≤ M_{n} ≤ 8,3 \Leftrightarrow - 1 ≤ M_{n} - E (M_{n}) ≤ 1$

ou encore :

$6,3 ≤ M_{n} ≤ 8,3 \Leftrightarrow |M_{n} - E (M_{n})| ≤ 1$ .

Donc $P (6,3 ≤ M_{n} ≤ 8,3) = P (|M_{n} - E (M_{n})| ≤ 1)$ .

D’après l’inégalité de concentration qui découle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P (|M_{n} - E (M_{n})| > 1) ≤ \frac{2,07}{n \times 1^{2}}$ .

Les événements $\{|M_{n} - E (M_{n})| ≤ 1\}$ et $\{|M_{n} - E (M_{n})| > 1\}$ sont deux événements contraires, donc :

$P (|M_{n} - E (M_{n})| ≤ 1) ≥ 1 - \frac{2,07}{n}$ .

Or n ≥ 9 (valeurs de n obtenues à la question précédente), donc $\frac{2,07}{n} ≤ \frac{2,07}{9}$ , soit $1 - \frac{2,07}{n} ≥ 1 - \frac{2,07}{9}$ .

Or $1 - \frac{2,07}{9} = 0,77 ≥ 0,75$ . Donc si n ≥ 9 (valeurs de n trouvées à la question b), alors $P (|M_{n} - E (M_{n})| ≤ 1) ≥ 0,75$ .

Donc la probabilité $P (6,3 ≤ M_{n} ≤ 8,3)$ est supérieure ou égale à 0,75.

Notes à un examen

Partie A

Partie B

Partie C

Les clés du sujet

Partie A

Partie C

Partie A

▶ 1. Traduire un énoncé par un arbre pondéré

Le conseil de méthode

à noter

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

à noter

▶ 3. Calculer la probabilité d’un événement

▶ 4. Calculer l’espérance de variables aléatoires

à noter

▶ 5. a) Calculer des probabilités associées à une variable aléatoire

b) Calculer la variance d’une variable aléatoire

Le conseil de méthode

c) Comparer la variance de la somme et la somme des variances

à noter

Partie B

▶ 1. Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

▶ 3. Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Partie C

▶ 1. Calculer l’espérance et la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

▶ 2. a) Donner l’espérance d’une variable aléatoire

b) Déterminer les entiers vérifiant une condition

c) Montrer qu’une probabilité vérifie une inégalité

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