Notion de lois à densité. Loi de probabilité

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Notion de lois à densité. Loi de probabilité

Probabilités et statistiques • Lois à densité

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1200_00_13C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

>1. Soit a et b deux réels tels que a < b.

a) Rappeler la définition de la loi uniforme sur [a ; b]. (0,5 point)

b) Déterminer l’espérance de cette loi. (0,75 point)

>2. À partir de 7h, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt donné.

Un usager se présente entre 7h et 7h30 à cet arrêt, l’heure exacte de son arrivée étant une variable uniforme sur cette période. Trouver la probabilité qu’il doive attendre :

a) moins de 5 minutes ; (0,5 point)

b) plus de 10 minutes ; (0,5 point)

c) plus de 10 minutes sachant qu’il est arrivé après 7 h 10. (0,75 point)

>3. Dans les conditions de la question précédente, déterminer le temps moyen d’attente (en minutes) de l’usager à l’arrêt. (1 point)

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

>  3. Considérez la variable aléatoire égale au temps d’attente, en minutes, d’un usager et calculez l’espérance de cette variable aléatoire.

Corrigé

>1.a) Définition de la loi uniforme

La loi uniforme sur [a ; b] est la loi qui a pour fonction de densité la fonction telle que pour tout et si .

b) Espérance de la loi uniforme

L’espérance est : .

Si T suit la loi uniforme sur [a ; b] :

>2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de minutes s’écoulant entre 7h et l’arrivée de l’usager. X suit la loi uniforme sur [0 ; 30].

a) Probabilité qu’il doive attendre moins de 5 minutes

L’attente est inférieure à 5 minutes si l’usager arrive entre 7 h 10 et 7 h 15 ou entre 7 h 25 et 7 h 30. La probabilité d’attendre moins de 5 minutes est donc :

P(10 < X < 15) + P(25 < X < 30) =.

Notez bien

Puisque X suit une loi à densité (ou loi continue), alors :

Il y a une chance sur 3 que l’usager attende moins de 5 minutes.

b) De même, l’usager attend plus de 10 minutes s’il arrive entre 7 h et 7 h 05, ou entre 7 h 15 et 7 h 20.

Donc la probabilité d’attendre plus de 10 minutes est :

P(0 < X < 5) + P(15 < X < 20) .

Notez bien

Des deux questions a) et b) on peut déduire qu’il y a une chance sur 3 que l’usager attende entre 5 et 10 minutes.

Il y a une chance sur 3 que l’usager attende plus de 10 minutes.

c) Probabilité que l’usager attende plus de 10 minutes sachant qu’il est arrivé après 7 h 10

Cette probabilité est 15 < X < 20).

En effet si l’usager attend plus de 10 minutes en étant arrivé après 7 h 10, c’est nécessairement qu’il est arrivé entre 7 h 15 et 7 h 20.

La probabilité cherchée est donc :

.

Si le passager arrive après 7 h 10, il n’a plus qu’une chance sur 4 d’attendre plus de 10 minutes.

>3. Temps moyen d’attente de l’usager à l’arrêt

Le temps d’attente de l’usager varie entre 0 et 15 minutes.

Si T est la variable aléatoire égale au temps d’attente en minutes de l’usager, T suit la loi uniforme sur [0 ; 15].

Sa fonction de densité est la fonction (constante sur [0 ; 15]) définie par pour tout , si .

Le temps moyen d’attente de l’usager est l’espérance E(T) de la variable T.

.

Le temps moyen d’attente de l’usager à l’arrêt est 7 minutes 30.