Partie 1. Observation de Mars avec une lunette astronomique

▶ 1. Identifier l’objectif et l’oculaire d’une lunette

L₁ est l’objectif et L₂ l’oculaire de la lunette astronomique. En effet sur le schéma, les rayons lumineux venant de Mars sont représentés sur la gauche, or, dans un système optique, les rayons passent d’abord dans l’objectif puis dans l’oculaire.

▶ 2. Positionner un foyer de lentille convergente

Une lunette afocale est une lunette qui, d’un objet à l’infini, forme une image à l’infini. Pour cela, le foyer objet de la lentille L₂ doit être confondu avec le foyer image de la lentille L₁.

▶ 3. Schématiser des rayons lumineux

Les rayons lumineux passant au centre des lentilles ne sont pas déviés. Cela permet de prolonger les deux rayons passant par le centre de L₁, ainsi que ceux (en pointillés) qui partent de ${\text{P}}_{\text{1}}{}^{\prime }$ et ${\text{P}}_2{}^{\prime }$ et passent par le centre de L₂.

L’image d’un point à l’infini se forme dans le plan focal image d’une lentille convergente. Cela permet de situer ${\text{P}}_{\text{1}}{}^{\prime }$ et ${\text{P}}_2{}^{\prime }$ (intersection du plan focal image de L₁ et des rayons lumineux venant d’être tracés).

▶ 4. Déterminer le grossissement d’une lunette

On admet que le grossissement est :

G_lunette = $\frac{f_1{}^{\prime }}{f_2{}^{\prime }}$.

Le résultat (le grossissement) est sans unité.

Ici, on a donc : G_lunette = $\frac{\text{900 mm}}{\text{20 mm}}=$ 45.

▶ 5. Utiliser le pouvoir séparateur de l’œil

L’observateur ne voit qu’un seul point lumineux car, pour en distinguer deux, il faudrait que l’angle entre les directions des deux points lumineux soit supérieur au pouvoir séparateur de son œil. Celui-ci est donné dans l’énoncé : il a pour valeur ε = 2,9 × 10^–4 rad. Or l’ensemble de la planète Mars est vu sous un angle de 4,9 × 10^–5 rad < ε : on ne peut pas distinguer deux points différents sur Mars, donc elle est vue comme un seul point.

▶ 6. Utiliser le grossissement d’une lunette

Le grossissement de la lunette s’écrit aussi : G_lunette = $\frac{{\text{θ}}^{\prime }}{\text{θ}}$.

En utilisant cette lunette astronomique, de grossissement 45, l’angle sous lequel sera vu Mars est 45 × 4,9 × 10^–5 = 2,2 × 10^–3 rad, une valeur nettement supérieure au pouvoir séparateur de l’œil : à travers la lunette, l’observateur voit plusieurs points distincts provenant de Mars (et non plus un seul comme à l’œil nu). Mars aura donc l’apparence d’un disque.

Partie 2. Détermination du diamètre de Mars

▶ 7. Utiliser les données d’un graphique

Les points A et B de la figure 1 correspondent au maximum et au minimum de l’angle sous lequel un observateur terrestre voit Mars pendant le temps de l’expérience (1 400 jours).

La figure 2 montre clairement que Mars est la plus proche, donc avec un angle apparent maximal, pour la situation correspondant à θ₁ et non pour la situation θ₂. On en déduit que le point A correspond à ${\text{θ}}_1$ et le point B à ${\text{θ}}_2$.

Par lecture graphique de la figure 1, on obtient donc : ${\text{θ}}_1$ = 1,18 × 10^–4 rad et ${\text{θ}}_2$ = 1,7 × 10^–5 rad.

▶ 8. Retrouver une expression algébrique

D’après les données de l’énoncé, on peut écrire ${\text{θ}}_1=\frac{d_{\text{M}}}{D_1}$ et ${\text{θ}}_2=\frac{d_{\text{M}}}{D_2}$.

On peut donc écrire que $D_1=d_{\text{M}}\times \frac{1}{{\text{θ}}_1}$ et $D_2=d_{\text{M}}\times \frac{1}{{\text{θ}}_2}$.

Or la figure 2 indique que D₁ + D₂ = 2r_SM.

On a donc : $d_{\text{M}}\times \frac{1}{{\text{θ}}_1}$ + $d_{\text{M}}\times \frac{1}{{\text{θ}}_2}$ = 2r_SM

soit, en factorisant : $d_{\text{M}}\times \left(\frac{1}{{\text{θ}}_1}+\frac{1}{{\text{θ}}_2}\right)$ = 2r_SM.

On obtient bien l’expression suggérée dans l’énoncé : $d_{\text{M}}=\frac{2r_{\text{SM}}}{\left(\frac{1}{{\text{θ}}_1}+\frac{1}{{\text{θ}}_2}\right)}$.

▶ 9. Utiliser une expression algébrique

L’expression précédente permet de calculer le diamètre de Mars par simple application numérique :

$d_{\text{M}}=\frac{2\times (\mathrm{2,28}\times {10}^{11})}{\left(\frac{1}{\mathrm{1,18}\times {10}^{-4}}+\frac{1}{\mathrm{1,7}\times {10}^{-5}}\right)}$ = 6,78 × 10⁶ m soit 6,78 ×10³ km.

Cette valeur est tout à fait cohérente avec la valeur moyenne d_ref donnée dans l’énoncé.

Partie 3. Détermination de la masse de Mars

▶ 10. Retrouver l’expression de la vitesse d’un satellite

Étudions le système {Phobos} de masse m que l’on considère ponctuel.

Le référentiel est marsocentrique (analogue au référentiel géocentrique mais centré sur le centre de gravité de la planète Mars) et il est considéré galiléen.

La seule force appliquée sur Phobos est donc la force gravitationnelle exercée par Mars, notée $\overrightarrow{F_{\text{M}/\text{P}}}$, et nous pouvons écrire à l’aide de la seconde loi de Newton que $\sum \overrightarrow{F_{\text{ext}}}$ = m$\overrightarrow{a}$ où m est la masse de Phobos et $\overrightarrow{a}$ est son accélération.

En se plaçant dans le repère de Frenet $(\overrightarrow{n};\overrightarrow{T})$, où $\overrightarrow{n}$ est un vecteur unitaire centripète et radial, on a ainsi :

$m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_{\text{M}/\text{P}}}=\left(G\times \frac{m\times M_M}{r_{\text{MP}}^2}\right)\overrightarrow{n}$ donc $\overrightarrow{a}=\left(G\times \frac{M_M}{r_{\text{MP}}^2}\right)\overrightarrow{n}$.

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération de Phobos peut s’écrire $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\overrightarrow{T}+\frac{v²}{r_{\text{MP}}}\overrightarrow{n}$

On en déduit par identification sur la composante selon $\overrightarrow{n}$ que :

$\frac{v²}{r_{\text{MP}}}=G\times \frac{M_{\text{M}}}{r_{\text{MP}}^2}$ donc $v²=G\times \frac{M_{\text{M}}}{r_{\text{MP}}}$

On retrouve bien l’expression indiquée dans l’énoncé : $v=\sqrt[]{G\times \frac{M_M}{r_{\text{MP}}}}$.

▶ 11. Déterminer une masse à partir d’une vitesse de rotation

Dans l’expression précédente, on connaît les valeurs de G et r_MP, mais pas celles de v et M_M.

Cependant, l’énoncé nous indique la période de révolution de Phobos (T = 7 h 39 minutes) et nous informe que la trajectoire peut être considérée comme circulaire de rayon r_MP = 9,38 × 10³ km.

Nous pouvons donc calculer la vitesse de Phobos en divisant la distance parcourue lors d’une rotation par sa durée : v = $\frac{2\text{π} r_{\text{MP}}}{T}$.

Ainsi, avec l’expression $v²=G\times \frac{M_{\text{M}}}{r_{\text{MP}}}$ obtenue précédemment, la valeur de la masse de Mars M_M peut être calculée. En effet :

$M_{\text{M}}=v^2\frac{r_{\text{MP}}}{G}={\left(\frac{2\text{π}{r}_{\text{MP}}}{T}\right)}^2\times \frac{r_{\text{MP}}}{G}=\frac{4{\text{π}}^2{r}_{MP}^3}{G{T}^2}$.

Par application numérique, on a :

$\begin{array}{c}{M}_{\text{M}}=\frac{4{\text{π}}^2{r}_{MP}^3}{G\times T^2}=\frac{4{\text{π}}^2\times {(\mathrm{9,38}\times {10}^3)}^3}{\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times {(7\times 60\times 60+39\times 60)}^2}\\ =\mathrm{6,44}\times {10}^{23}\text{ kg.}\end{array}$

On trouve une masse qui est effectivement environ 10 fois plus petite que celle de la Terre, comme l’annoncait le sujet.