Oh mon sommet !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 3 • 5 points

Oh mon sommet !

1. On considère l’équation (E) à résoudre dans  : 7x 5= 1.

a) Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (; y) est solution de (E) si et seulement si 7(x − 3) = 5(y − 4).

c) Montrer que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couples (; y) d’entiers relatifs tels que :

645038-Eqn12k .

2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a x jetons rouges et y jetons verts. Sachant que 7− 5= 1, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

Dans la suite, on supposera qu’il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.

3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

Lorsqu’on est en A : si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.

Lorsqu’on est en B : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.

Lorsqu’on est en C : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel n, on note an, bn et cn les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l’étape n.

On note Xn la matrice ligne (anbncn) et T la matrice :

645038-Eqn13.

Donner la matrice ligne X0 et montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1 = XnT.

4. On admet que = PDP−1645038-Eqn14 et 645038-Eqn15.

a) À l’aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.

b) Montrer que Tn = PDnP−1.

c) Donner sans justification les coefficients de la matrice Dn.

5. On note 645038-Eqn16 les coefficients de la première ligne de la matrice Tn ainsi :

645038-Eqn17.

On admet que 645038-Eqn18 et 645038-Eqn19.

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

On rappelle que, pour tout entier naturel n, Xn = X0Tn.

a) Déterminer les nombres an, bn à l’aide des coefficients αn et βn. En déduire cn.

b) Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence E1 4. b)

Arbre pondéré E37 3.

Suites et limites E2c • E4d 5. b)

Calculatrice

Calcul matriciel C5 4. a)

Nos coups de pouce

1. c) Pensez à utiliser le théorème de Gauss.

Corrigé

Corrigé

1. a) Vérifier qu’un couple est solution d’une équation

Nous avons : 645038-Eqn183Le couple 645038-Eqn184 est donc solution de (E).

b) Établir une équivalence

Raisonnons par équivalence.

Le couple d’entiers645038-Eqn185

Le couple d’entiers 645038-Eqn187 est solution de 645038-Eqn188 si, et seulement si,645038-Eqn189

c) Déterminer les solutions d’une équation

Notez bien

Théorème de Gauss :

Pour tous entiers relatifs non nuls 645038-Eqn190 ; si 645038-Eqn191 divise 645038-Eqn192 et si 645038-Eqn193 sont premiers entre eux, alors 645038-Eqn194 divise 645038-Eqn195

Considérons un couple d’entiers relatifs 645038-Eqn196 solution de l’équation (E). D’après la question 1. b), ce couple vérifie l’égalité suivante : 645038-Eqn365 Comme 645038-Eqn197 et 645038-Eqn198 sont des entiers, 645038-Eqn199 divise 645038-Eqn200 Or, 645038-Eqn201 sont premiers entre eux. Par conséquent, d’après le théorème de Gauss, 645038-Eqn202 divise 645038-Eqn203 Autrement dit, il existe un entier relatif 645038-Eqn204 tel que 645038-Eqn205 équivalent à 645038-Eqn206 Il en découle que : 645038-Eqn207 ce qui est équivalent à 645038-Eqn208 ou encore 645038-Eqn209

Réciproquement, considérons un couple d’entiers relatifs 645038-Eqn210 tel que 645038-Eqn211 et 645038-Eqn212645038-Eqn213 est un entier relatif. Nous avons :

645038-Eqn214

Le couple 645038-Eqn215 est solution de (E).

Nous en concluons que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couples 645038-Eqn216 d’entiers relatifs tels que x = 5k + 3 et 645038-Eqn366 (645038-Eqn217 ).

2. Analyser et répondre à une problématique

Notons 645038-Eqn218 le nombre de jetons blancs. La boîte contenant 25 jetons, nous avons la relation suivante : 645038-Eqn219

Comme 645038-Eqn220 il en découle que le couple d’entiers 645038-Eqn221 (nombre de jetons rouges, nombre de jetons verts), est solution de l’équation (E). D’après la question 1. c), nous avons 645038-Eqn222 et 645038-Eqn223645038-Eqn224 étant un entier relatif.

Ainsi, 645038-Eqn225

Le nombre de jetons dans la boîte étant de 25, les contraintes suivantes doivent naturellement être vérifiées :

645038-Eqn226645038-Eqn227645038-Eqn228

645038-Eqn229 étant un entier relatif, 645038-Eqn230 peut prendre, en respectant ces contraintes, les valeurs 0 ou 1.

Pour 645038-Eqn231645038-Eqn232645038-Eqn233 et donc645038-Eqn234

Pour 645038-Eqn235645038-Eqn236645038-Eqn237 et donc645038-Eqn238

La boîte peut contenir : 3 jetons rouges, 4 jetons verts et 18 jetons blancs ou 8 jetons rouges, 11 jetons verts et 6 jetons blancs.

3. Établir une relation matricielle

Au départ, le pion est sur le sommet A. L’événement « le pion est sur le sommet A » est ainsi un événement certain, et 645038-Eqn239 Les deux événements « au départ, le pion est sur le sommet B » et « au départ, le pion est sur le sommet C » sont des événements impossibles donc 645038-Eqn240La matrice ligne 645038-Eqn241 est alors donnée par : 645038-Eqn242

Le passage de la n-ième étape à la suivante peut se représenter à l’aide de l’arbre pondéré suivant en prenant en compte que :

la probabilité de tirer un jeton de couleur rouge est de 645038-Eqn243 ;

la probabilité de tirer un jeton de couleur verte est de 645038-Eqn244 ;

la probabilité de tirer un jeton de couleur blanche est de645038-Eqn245

matT_1506_07_00C_11

Par lecture de l’arbre pondéré, nous avons :

645038-Eqn246

645038-Eqn247

645038-Eqn248

Ce qui s’écrit,

645038-Eqn249

ou encore 645038-Eqn250

4. a) Calculer l’inverse d’une matrice à la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, nous avons directement : 645038-Eqn251

b) Démontrer une égalité matricielle à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit 645038-Eqn252 la propriété : 645038-Eqn253

Initialisation

Notez bien

645038-Eqn254 est la matrice identité d’ordre 3.

Pour toute matrice inversible A, 645038-Eqn255.

D’une part, par convention 645038-Eqn256 et d’autre part, 645038-Eqn257

Ainsi, 645038-Eqn258 et la propriété 645038-Eqn259 est vraie.

Hérédité

Nous supposons que la propriété 645038-Eqn260 est vraie pour un entier naturel 645038-Eqn261 Démontrons alors que la propriété 645038-Eqn262 est vraie.

645038-Eqn263

La propriété 645038-Eqn264 est donc vraie.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel 645038-Eqn265

c) Donner les coefficients d’une matrice

La matrice 645038-Eqn266 étant diagonale, nous avons pour tout entier naturel 645038-Eqn267 :

645038-Eqn268

5. a) Déterminer des coefficients d’une matrice

Soit 645038-Eqn269 un entier naturel.

D’une part, 645038-Eqn270 et d’autre part, (question 3.),645038-Eqn271

Il en découle que 645038-Eqn272

Comme 645038-Eqn273 (somme des probabilités) alors645038-Eqn274

Ainsi, pour tout entier naturel 645038-Eqn275645038-Eqn276645038-Eqn276b

b) Déterminer la limite d’une suite

Comme 645038-Eqn277 alors 645038-Eqn278 Par produit et somme, nous avons alors : 645038-Eqn279

De plus, comme 645038-Eqn280 alors 645038-Eqn281 Par produit, somme, différence et quotient, nous avons alors : 645038-Eqn282

Enfin, comme 645038-Eqn283 alors 645038-Eqn284

c) Interpréter la limite d’une suite

Comme d’après la question 5. b), 645038-Eqn285on a, après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire, plus de chance de se retrouver au sommet C.