Oh mon sommet !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 3 • 5 points

Oh mon sommet !

1. On considère l’équation (E) à résoudre dans  : 7x 5= 1.

a) Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (; y) est solution de (E) si et seulement si 7(x − 3) = 5(y − 4).

c) Montrer que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couples (; y) d’entiers relatifs tels que :

645038-Eqn12k .

2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a x jetons rouges et y jetons verts. Sachant que 7− 5= 1, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

Dans la suite, on supposera qu’il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.

3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

Lorsqu’on est en A : si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.

Lorsqu’on est en B : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.

Lorsqu’on est en C : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel n, on note an, bn et cn les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l’étape n.

On note Xn la matrice ligne (anbncn) et T la matrice :

645038-Eqn13.

Donner la matrice ligne X0 et montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1 = XnT.

4. On admet que = PDP−1645038-Eqn14 et 645038-Eqn15.

a) À l’aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.

b) Montrer que Tn = PDnP−1.

c) Donner sans justification les coefficients de la matrice Dn.

5. On note 645038-Eqn16 les coefficients de la première ligne de la matrice Tn ainsi :

645038-Eqn17.

On admet que 645038-Eqn18 et 645038-Eqn19.

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

On rappelle que, pour tout entier naturel n, Xn = X0Tn.

a) Déterminer les nombres an, bn à l’aide des coefficients αn et βn. En déduire cn.

b) Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence E1 4. b)

Arbre pondéré E37 3.

Suites et limites E2c • E4d 5. b)

Calculatrice

Calcul matriciel C5 4. a)

Nos coups de pouce

1. c) Pensez à utiliser le théorème de Gauss.