Terminale générale Mathématiques Équations de droites et de plans

ALGÈBRE • GÉOMÉTRIE

Équations de droites et de plans

matT_2000_00_10C

Équations de droites et de plans

Ombre sur une véranda

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, déterminez la frontière ombre-lumière projetée sur un bâtiment de forme simple. Cela revient à déterminer une section par un plan.

Un particulier s'intéresse à l'ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG.

Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.

Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).

Les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles.

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l'une éclairée et l'autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre-soleil.

matT_1706_02_01C_04

▶ 1. Sans calcul, justifier que :

a) le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;

b) le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

▶ 2. Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) .$ Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ; 0 ; 0), B(4 ; 5 ; 0), C(0 ; 5 ; 0), E(4 ; 0 ; 2,5), F(4 ; 5 ; 2,5), G(0 ; 5 ; 2,5), S(0 ; 0 ; 3,5), U(0 ; 0 ; 6) et V(0 ; 8 ; 6).

On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan (UVK) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.

a) Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1,2. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2 ; 0 ; 3,2).

b) Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées (7 ; 0 ; 3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).

c) Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).

d) Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.

▶ 3. Afin de faciliter l'écoulement des eaux de pluie, l'angle du segment [SG] avec l'horizontale doit être supérieur à 7°. Cette condition est-elle remplie ?

Les clés du sujet

▶ 1. a) Pensez au théorème du toit.

▶ 2. b) Montrez que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{UV}$ et $\vec{UK}$ , deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK).

▶ 2. c) Déterminez une représentation paramétrique de la droite (FG). Résolvez ensuite un système d'équations pour déterminer les coordonnées du point N.

▶ 1. a) Justifier une position relative de droites

La droite (UV) est incluse dans le plan (UVK) et la droite (EF) est incluse dans le plan (EFS). Comme les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles, les droites (UV) et (EF) sont parallèles. De plus, les plans (UVK) et (EFS) sont sécants suivant la droite (KM). D'après le théorème du toit, (UV) et (EF) sont donc parallèles à (KM).

Ainsi, le segment [KM] est parallèle au segment [UV].

b) Justifier une position relative de droites

Le plan (UVK) est sécant au plan (SOA) suivant la droite (UK). Le plan (UVK) est sécant au plan (GCB) suivant la droite (NP). Or les plans (SOA) et (GCB) sont parallèles. Par suite, les droites (UK) et (NP) sont parallèles.

Donc le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

▶ 2. a) Vérifier les coordonnées d'un point

Le point K appartient au segment [SE]. Les vecteurs $\vec{SE}$ et $\vec{SK}$ sont donc colinéaires : leurs coordonnées sont proportionnelles. Or, on a :

$\vec{SE} |\begin{array}{l} x_{E} - x_{S} = 4 - 0 = 4 \\ y_{E} - y_{S} = 0 - 0 = 0 \\ z_{E} - z_{S} = 2,5 - 3,5 = - 1 \end{array}$ et $\vec{SK} |\begin{array}{l} x_{K} - x_{S} = 1,2 - 0 = 1,2 \\ y_{K} - y_{S} = y_{K} - 0 = y_{K} \\ z_{K} - z_{S} = z_{K} - 3,5 \end{array}$ .

à noter

$\vec{SK} = 0,3 \vec{SE}$ .

Comme le coefficient de proportionnalité est $\frac{1,2}{4} = 0,3$ , on en déduit que 0 × 0,3 = y_K et - 1 × 0,3 = z_K - 3,5 ce qui amène à y_K = 0 et z_K = - 0,3 + 3,5 = 3,2.

Les coordonnées du point K sont donc $(1,2; 0; 3,2)$ .

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

On a :

$\vec{UV} |\begin{array}{l} x_{V} - x_{U} = 0 - 0 = 0 \\ y_{V} - y_{U} = 8 - 0 = 8 \\ z_{V} - z_{U} = 6 - 6 = 0 \end{array}$ et $\vec{UK} |\begin{array}{l} x_{K} - x_{U} = 1,2 - 0 = 1,2 \\ y_{K} - y_{U} = 0 - 0 = 0 \\ z_{K} - z_{U} = 3,2 - 6 = - 2,8 \end{array}$

Les coordonnées des vecteurs $\vec{UV}$ et $\vec{UK}$ n'étant pas proportionnelles, les vecteurs $\vec{UV}$ et $\vec{UK}$ ne sont pas colinéaires. De plus, on a :

$\vec{n} \cdot \vec{UV} = 7 \times 0 + 0 \times 8 + 3 \times 0 = 0$ , donc $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{UV}$ ;

$\vec{n} \cdot \vec{UK} = 7 \times 1,2 + 0 \times 0 + 3 \times (- 2,8) = 0$ , donc $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{UK}$ .

Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7; 0; 3)$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK) donc le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan (UVK).

Le vecteur $\vec{n}$ étant un vecteur normal au plan (UVK), une équation cartésienne de ce plan est : 7x + 0y + 3z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point U de coordonnées (0 ; 0 ; 6) appartient au plan (UVK) donc :

7x_U + 0y_U + 3z_U + d = 0 ⇔ 7 × 0 + 0 × 0 + 3 × 6 + d = 0 ⇔ d = - 18.

Une équation cartésienne du plan (UVK) est donc 7x + 3z – 18 = 0.

c) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

On a : $\vec{FG} |\begin{array}{l} x_{G} - x_{F} = 0 - 4 = - 4 \\ y_{G} - y_{F} = 5 - 5 = 0 \\ z_{G} - z_{F} = 2,5 - 2,5 = 0 \end{array}$ .

Comme $\vec{n} \cdot \vec{FG} = 7 \times (- 4) + 0 \times 0 + 3 \times 0 = - 28 \neq 0$ , les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{FG}$ ne sont pas orthogonaux ; le plan (UVK) et la droite (FG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en un point N.

De plus, une représentation paramétrique de la droite (FG) est donnée par :

$\{\begin{cases} x = x_{F} + x_{\vec{FG}} \times t \\ y = y_{F} + y_{\vec{FG}} \times t \\ z = z_{F} + z_{\vec{FG}} \times t \end{cases}, t \in ℝ$ ce qui donne $\{\begin{cases} x = 4 - 4 \times t = 4 - 4 t \\ y = 5 + 0 \times t = 5 \\ z = 2,5 + 0 \times t = 2,5 \end{cases}, t \in ℝ$ .

Une représentation paramétrique de la droite (FG) est donc $\{\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 \\ z = 2,5 \end{cases}$ , $t \in ℝ$ .

Déterminons maintenant les coordonnées du point N.

$\begin{array}{l} N (x; y; z) \in (UVK) \cap (FG) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 \\ z = 2,5 \\ 7 x + 3 z - 18 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 \\ z = 2,5 \\ 7 \times (4 - 4 t) + 3 \times 2,5 - 18 = 0 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 - 4 t \\ y = 5 \\ z = 2,5 \\ 17,5 - 28 t = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 - 4 \times \frac{5}{8} = 1,5 \\ y = 5 \\ z = 2,5 \\ t = \frac{5}{8} \end{cases}$

Le point N a donc pour coordonnées (1,5 ; 5 ; 2,5).

d) Expliquer une construction

Tout d'abord, on place le point K sur le segment [SE] à l'aide des coordonnées vérifiées à la question 2. a). On trace ensuite la parallèle à la droite (UV) passant par le point K qui coupe le segment [SF] au point M. Puis, on place le point N à l'aide de la question précédente sur le segment [FG] et on trace le segment [MN]. Enfin, on trace la parallèle à la droite (UK) passant par le point N qui coupe le segment [BC] au point P.

▶ 3. Prendre une initiative

Appelons H le point d'intersection de la droite parallèle à (OC) passant par G et le segment [SO]. Par cette construction, le quadrilatère OCGH est un rectangle et le triangle HGS est rectangle en H. Dans ce triangle rectangle, on a :

$tan \hat{HGS} = \frac{côté opposé}{côté adjacent} = \frac{HS}{HG} = \frac{SO - GC}{CO} = \frac{3,5 - 2,5}{5} = 0,2 .$

n'oubliez pas !

La calculatrice doit être en mode degrés.

À l'aide de la calculatrice, on a : $\hat{HGS} \approx 11,31 ° > 7 °$ et donc la condition est bien remplie.