▶ 1. a) Justifier une position relative de droites

La droite (UV) est incluse dans le plan (UVK) et la droite (EF) est incluse dans le plan (EFS). Comme les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles, les droites (UV) et (EF) sont parallèles. De plus, les plans (UVK) et (EFS) sont sécants suivant la droite (KM). D'après le théorème du toit, (UV) et (EF) sont donc parallèles à (KM).

Ainsi, le segment [KM] est parallèle au segment [UV].

b) Justifier une position relative de droites

Le plan (UVK) est sécant au plan (SOA) suivant la droite (UK). Le plan (UVK) est sécant au plan (GCB) suivant la droite (NP). Or les plans (SOA) et (GCB) sont parallèles. Par suite, les droites (UK) et (NP) sont parallèles.

Donc le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

▶ 2. a) Vérifier les coordonnées d'un point

Le point K appartient au segment [SE]. Les vecteurs $\overrightarrow{\text{SE}}$ et $\overrightarrow{\text{SK}}$ sont donc colinéaires : leurs coordonnées sont proportionnelles. Or, on a :

$\overrightarrow{\text{SE}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{E}}-x_{\text{S}}=4-0=4\\ y_{\text{E}}-y_{\text{S}}=0-0=0\\ z_{\text{E}}-z_{\text{S}}=\mathrm{2,5}-\mathrm{3,5}=-1\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{SK}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{K}}-x_{\text{S}}=\mathrm{1,2}-0=\mathrm{1,2}\\ y_{\text{K}}-y_{\text{S}}=y_{\text{K}}-0=y_{\text{K}}\\ z_{\text{K}}-z_{\text{S}}=z_{\text{K}}-\mathrm{3,5}\end{array}\right.$.

Comme le coefficient de proportionnalité est $\frac{\mathrm{1,2}}{4}=\mathrm{0,3}$, on en déduit que 0 × 0,3 = y_K et - 1 × 0,3 = z_K - 3,5 ce qui amène à y_K = 0 et z_K = - 0,3 + 3,5 = 3,2.

Les coordonnées du point K sont donc $(\mathrm{1,2};0;\mathrm{3,2})$.

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

On a :

$\overrightarrow{\text{UV}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{V}}-x_{\text{U}}=0-0=0\\ y_{\text{V}}-y_{\text{U}}=8-0=8\\ z_{\text{V}}-z_{\text{U}}=6-6=0\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{UK}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{K}}-x_{\text{U}}=\mathrm{1,2}-0=\mathrm{1,2}\\ y_{\text{K}}-y_{\text{U}}=0-0=0\\ z_{\text{K}}-z_{\text{U}}=\mathrm{3,2}-6=-\mathrm{2,8}\end{array}\right.$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{UV}}$ et $\overrightarrow{\text{UK}}$ n'étant pas proportionnelles, les vecteurs $\overrightarrow{\text{UV}}$ et $\overrightarrow{\text{UK}}$ ne sont pas colinéaires. De plus, on a :

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{UV}}=7\times \text{0}+\text{0}\times 8+3\times 0=0$, donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{\text{UV}}$ ;

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{UK}}=7\times \mathrm{1,2}+\text{0}\times 0+3\times \left(-\mathrm{2,8}\right)=0$, donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{\text{UK}}$.

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(7;0;3)$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK) donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (UVK).

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ étant un vecteur normal au plan (UVK), une équation cartésienne de ce plan est : 7x + 0y + 3z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point U de coordonnées (0 ; 0 ; 6) appartient au plan (UVK) donc :

7x_U + 0y_U + 3z_U + d = 0 ⇔ 7 × 0 + 0 × 0 + 3 × 6 + d = 0 ⇔ d = - 18.

Une équation cartésienne du plan (UVK) est donc 7x + 3z – 18 = 0.

c) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

On a : $\overrightarrow{\text{FG}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{G}}-x_{\text{F}}=0-4=-4\\ y_{\text{G}}-y_{\text{F}}=5-5=0\\ z_{\text{G}}-z_{\text{F}}=\mathrm{2,5}-\mathrm{2,5}=0\end{array}\right.$.

Comme $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{FG}}=7\times (-4)+0\times 0+3\times 0=-28\ne 0$, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{\text{FG}}$ ne sont pas orthogonaux ; le plan (UVK) et la droite (FG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en un point N.

De plus, une représentation paramétrique de la droite (FG) est donnée par :

$\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{F}}+x_{\overrightarrow{\text{FG}}}\times t\\ y=y_{\text{F}}+y_{\overrightarrow{\text{FG}}}\times t\\ z=z_{\text{F}}+z_{\overrightarrow{\text{FG}}}\times t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}$ ce qui donne $\left\{\begin{array}{l}x=4-4\times t=4-4t\\ y=5+0\times t=5\\ z=\mathrm{2,5}+0\times t=\mathrm{2,5}\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}$.

Une représentation paramétrique de la droite (FG) est donc $\left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=5\\ z=\mathrm{2,5}\end{array}\right.$, $t\in \text{ℝ}$.

Déterminons maintenant les coordonnées du point N.

$\begin{array}{l}\text{N}(x;y;z)\in (\text{UVK})\cap (\text{FG})\iff \left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=5\\ z=\mathrm{2,5}\\ 7x+3z-18=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=5\\ z=\mathrm{2,5}\\ 7\times \left(4-4t\right)+3\times \mathrm{2,5}-18=0\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=5\\ z=\mathrm{2,5}\\ \mathrm{17,5}-28t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4-4\times \frac{5}{8}=\mathrm{1,5}\\ y=5\\ z=\mathrm{2,5}\\ t=\frac{5}{8}\end{array}\right.$

Le point N a donc pour coordonnées (1,5 ; 5 ; 2,5).

d) Expliquer une construction

Tout d'abord, on place le point K sur le segment [SE] à l'aide des coordonnées vérifiées à la question 2. a). On trace ensuite la parallèle à la droite (UV) passant par le point K qui coupe le segment [SF] au point M. Puis, on place le point N à l'aide de la question précédente sur le segment [FG] et on trace le segment [MN]. Enfin, on trace la parallèle à la droite (UK) passant par le point N qui coupe le segment [BC] au point P.

▶ 3. Prendre une initiative

Appelons H le point d'intersection de la droite parallèle à (OC) passant par G et le segment [SO]. Par cette construction, le quadrilatère OCGH est un rectangle et le triangle HGS est rectangle en H. Dans ce triangle rectangle, on a :

$\text{tan}\widehat{\text{HGS}}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\frac{\text{HS}}{\text{HG}}=\frac{\text{SO}–\text{GC}}{\text{CO}}=\frac{\mathrm{3,5}–\mathrm{2,5}}{5}=\mathrm{0,2}.$

À l'aide de la calculatrice, on a : $\widehat{\text{HGS}}\approx \mathrm{11,31}°>7°$ et donc la condition est bien remplie.