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Opérateurs de téléphonie mobile et réseau de fibre optique

Liban • Juin 2017

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Opérateurs de téléphonie mobile et réseau de fibre optique

Les thèmes clés

Graphe probabiliste • Plus court chemin.

 

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays. En 2015, l'opérateur Alpha possède 30 % du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.

On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha, soit chez l'opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :

12 % des abonnés de l'opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'opérateur Bravo 

86 % des abonnés de l'opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l'opérateur Alpha.

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

A est l'événement : « l'abonné est chez l'opérateur Alpha » 

B est l'événement : « l'abonné est chez l'opérateur Bravo ».

1. Dessiner ce graphe probabiliste. (0,75 point)

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est :

M=(0,880,120,140,86).

On note pour tout entier naturel n :

an la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Alpha l'année 2015 + n 

bn la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Bravo l'année 2015 + n.

On note Pn=(anbn) la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2015 + n.

2. Donner a0 et b0. (0,5 point)

3. Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2 % des abonnés chez l'opérateur Alpha. (0,75 point)

4. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note P=(xy) l'état stable de la répartition des abonnés.

a) Montrer que les nombres x et y sont solutions du système :

{0,12x0,14y=0x+y=1(0,5 point)

b) Résoudre le système précédent dans l'ensemble des réels. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages à 0,1 %. (0,5 point)

partie B

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l'approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées. L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

les sommets représentent les stations de ski 

les arêtes représentent les différents tronçons qu'il est possible de déployer 

le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d'euros.

matT_1706_09_00C_03

1. À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G. (1 point)

2. Déterminer, en milliers d'euros, le coût de ce tracé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

3. L'état probabiliste de l'année 2018 est donné par la matrice ligne P3.

4. a) On a PM = P.

Corrigé

partie A

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

notez bien

Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

La situation peut être représentée par le graphe suivant :

matT_1706_09_00C_06

2. Donner l'état initial d'un graphe probabiliste

Puisqu'en 2015, l'opérateur Alpha possédait 30 % du marché, l'opérateur Bravo le reste :

a0=0,3b0=0,7

3. Déterminer un état probabiliste

2018 = 2015 + 3, donc l'état probabiliste pour l'année 2018 est donné par la matrice P3 :

P3=P0×M3.

À l'aide de la calculatrice, en arrondissant à 103 :

P3 = (0,442 0,558).

On en déduit qu'en 2018, environ 44,2 % des abonnés seront chez l'opérateur Alpha.

4. a) Écrire un système permettant de déterminer un état stable

Si P=(xy) est l'état stable de la répartition des abonnés :

x + y = 1 et P × M = P.

P×M=P(xy) (0,880,120,140,86)=(xy){0,88 x+0,14 y=x0,12 x+0,86 y=y0,12 x0,14 y=0.

Donc les nombres x et y sont solutions du système :

{0,12x0,14y=0x+y=1

b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

{0,12x0,14y=0x+y=1{y=1x0,26 x0,14=0{x=713y=613

Le système a pour unique solution le couple (713613).

c) Déterminer une répartition à long terme

D'après la question précédente, au bout d'un grand nombre d'années, 713 des abonnés seront chez l'opérateur Alpha, 613 chez Bravo, soit, en arrondissant à 0,1 %, l'opérateur Alpha possédera 53,8 % du marché de téléphonie mobile, l'opérateur Bravo en possédera 46,2 %.

partie B

1. Déterminer à l'aide de l'algorithme de Dijkstra un trajet de coût minimal

L'algorithme de Dijkstra permettant de déterminer le tracé le moins cher entre les stations C et G peut être résumé par le tableau suivant :

C

A

B

D

E

F

H

I

G

0

25 (C)

30 (C)

20 (C)

C (0)

25 (C)

30 (C)

40 (D)

35 (D)

D (20)

30 (C)

40 (D)

35 (A)

35 (D)

A (25)

40 (D)

35 (A)

35 (D)

B (30)

40 (D)

45 (H)

35 (D)

55 (H)

H (35)

40 (D)

45 (H)

55 (H)

I (35)

45 (H)

55 (H)

E (40)

50 (F)

F (45)

Le tracé de fibre optique le moins cher entre les stations C et G est donc :

C – A – H – F – G

2. Déterminer le coût d'un trajet

notez bien

Le coût du trajet peut être lu dans le tableau précédent, et vérifié en additionnant les coûts des différents tronçons.

Le coût du trajet C – A – H – F – G est de 50 milliers d'euros.

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