Optimisons une aire

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 4 • 3 points

Optimisons une aire

Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par f(x)=2ln(x2).

La courbe représentative 𝒞f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous.

matT_1604_12_01C_07

À tout point M appartenant à 𝒞f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

 1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur 𝒞f ?

 2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e 1. et 2.

Dérivation  E6c • E6e • E6f  2.

Nos coups de pouce

 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l’intervalle proposé pour faire le calcul de l’aire du rectangle et concluez.

▶ 2. Exprimez l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l’intervalle proposé pour conclure.

Corrigé

Corrigé

 1. Calculer des aires

Notons x l’abscisse du point M.

D’après l’énoncé, x est dans l’intervalle ]0 ; 14].

Notez bien

Pour tout réel a>0, ln(1a)=ln(a) et ln(1)=0.

Comme MCf, l’ordonnée du point M est yM=f(x)=2ln(x2).

L’aire, en unités d’aire, du rectangle OPMQ en fonction de x est A(x)=OP×OQ=x×f(x).

Pour = 1, A(1)=1×f(1)=f(1)=2ln(12)=2+ln(2).

Pour = 2, A(2)=2×f(2)=2×(2ln(22))=2×(2ln(1))=4.

A(1)A(2) donc l’aire du rectangle OPMQ n’est pas constante quelle que soit la position du point M sur Cf.

▶ 2. Rechercher un extremum

Pour déterminer si l’aire du rectangle OPMQ peut être maximale, étudions les variations de la fonction A définie sur I=]0 ; 14] par A(x)=x×f(x)=x×(2ln(x2)).

Notez bien

Si u et v sont dérivables sur I, alors u×v est dérivable sur I et (u×v)=uv+uv.

Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors ln(u) est dérivable sur I et [ln(u)]=uu.

A est dérivable sur I=]0 ; 14] comme produit de fonctions dérivables sur I.

Pour tout xI :

A(x)=1×f(x)+x×f(x)=2ln(x2)+x×12x2=2ln(x2)1=1ln(x2).

Étudions maintenant le signe de A(x) sur I.

A(x)>01ln(x2)>01>ln(x2)ln(e)>ln(x2)e>x2x<2e.

Nous en déduisons le tableau de signes suivant :

x

0

2e

14

signe de A(x)

+

0

Comme A(x)>0 si x]0 ; 2e[, A est strictement croissante sur ]0 ; 2e].

Comme A(x)<0 si x]2e ; 14], A est strictement décroissante sur [2e ; 14].

La fonction A admet donc un maximum en x=2e.

L’aire du rectangle OPMQ est donc maximale pour x=2e.

Notez bien

ln(e)=1.

Dans cette situation, l’ordonnée du point M est alors :

yM=f(2e)=2ln(2e2)=2ln(e)=1.

L’aire du rectangle OPMQ est donc maximale si le point M a pour coordonnées (2e ; 1).