Terminale générale Mathématiques Fonctions de référence

Analyse

Fonctions de référence

matT_2000_00_33C

Fonctions de référence

Optimisons une aire

30 min

3 points

Intérêt du sujet • On veut maximiser l'aire d'un rectangle sous la courbe représentative d'une fonction logarithme népérien. Pour cela étudiez les variations de la fonction qui calcule cette aire.

Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2 - \ln (\frac{x}{2})$ .

La courbe représentative $C$ _f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous.

matT_1604_12_01C_07

À tout point M appartenant à $C$ _f, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

▶ 1. L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur $C$ _f ?

▶ 2. L'aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Les clés du sujet

▶ 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l'intervalle proposé pour faire le calcul de l'aire du rectangle et concluez.

▶ 2. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de l'abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l'intervalle proposé pour conclure.

▶ 1. Calculer des aires

Notons x l'abscisse du point M.

D'après l'énoncé, x est dans l'intervalle $]0; 14]$ .

à noter

Pour tout réel $a > 0$ , $\ln (\frac{1}{a}) = - \ln (a)$ et $\ln (1) = 0$ .

Comme $M \in C_{f}$ , l'ordonnée du point M est $y_{M} = f (x) = 2 - \ln (\frac{x}{2})$ .

L'aire, en unités d'aire, du rectangle OPMQ en fonction de x est $A (x) = OP \times OQ = x \times f (x)$ .

Pour x = 1, $A (1) = 1 \times f (1) = f (1) = 2 - \ln (\frac{1}{2}) = 2 + \ln (2)$ .

Pour x = 2, $A (2) = 2 \times f (2) = 2 \times (2 - \ln (\frac{2}{2})) = 2 \times (2 - \ln (1)) = 4$ .

$A (1) \neq A (2)$ donc l'aire du rectangle OPMQ n'est pas constante quelle que soit la position du point M sur $C_{f}$ .

▶ 2. Rechercher un extremum

Pour déterminer si l'aire du rectangle OPMQ peut être maximale, étudions les variations de la fonction A définie sur $I =]0; 14]$ par $A (x) = x \times f (x) = x \times (2 - \ln (\frac{x}{2}))$ .

A est dérivable sur $I =]0; 14]$ comme produit de fonctions dérivables sur I.

à noter

Si u et v sont dérivables sur I, alors $u \times v$ est dérivable sur I et $(u \times v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors $\ln (u)$ est dérivable sur I et ${[\ln (u)]}^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ .

Pour tout $x \in I$ :

$\begin{matrix} A^{'} (x) = 1 \times f (x) + x \times f^{'} (x) \\ = 2 - \ln (\frac{x}{2}) + x \times \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{x}{2}} \\ = 2 - \ln (\frac{x}{2}) - 1 = 1 - \ln (\frac{x}{2}) . \end{matrix}$

Étudions maintenant le signe de $A^{'} (x)$ sur $I$ .

$\begin{array}{l} A^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow 1 - \ln (\frac{x}{2}) > 0 \\ \Leftrightarrow 1 > \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow \ln (e) > \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow e > \frac{x}{2} \Leftrightarrow x 2e \end{array}$ .

Nous en déduisons le tableau de signes suivant :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x ; 0; ; 2e; ; 14; Ligne 2 : signe de A′(x) ; ; ; ; +; 0; –; ;

Comme $A^{'} (x) > 0$ si $x \in]0; 2 e[$ , A est strictement croissante sur $]0; 2 e]$ .

Comme $A^{'} (x) 0$ si $x \in]2 e ; 14]$ , A est strictement décroissante sur $[2 e ; 14]$ .

La fonction Aadmet donc un maximum en $x = 2 e$ .

L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale pour $x = 2 e$ .

à noter

$\ln (e) = 1$ .

Dans cette situation, l'ordonnée du point M est alors :

$y_{M} = f (2 e) = 2 - \ln (\frac{2 e}{2}) = 2 - \ln (e) = 1$ .

L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale si le point M a pour coordonnées $(2 e ; 1)$ .

Optimisons une aire

Les clés du sujet

▶ 1. Calculer des aires

à noter

▶ 2. Rechercher un extremum

à noter

à noter

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