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Optimisons une aire

Fonctions de référence

Optimisons une aire

30 min

3 points

Intérêt du sujet  On veut maximiser l'aire d'un rectangle sous la courbe représentative d'une fonction logarithme népérien. Pour cela étudiez les variations de la fonction qui calcule cette aire.

Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par f(x)=2lnx2.

La courbe représentative Cf de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous.

matT_1604_12_01C_07

À tout point M appartenant à Cf , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

 1. L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur Cf ?

 2. L'aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Les clés du sujet

 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l'intervalle proposé pour faire le calcul de l'aire du rectangle et concluez.

▶ 2. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de l'abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l'intervalle proposé pour conclure.

 1. Calculer des aires

Notons x l'abscisse du point M.

D'après l'énoncé, x est dans l'intervalle 0 ; 14.

à noter

Pour tout réel a>0, ln1a=ln(a) et ln(1)=0.

Comme MCf, l'ordonnée du point M est yM=f(x)=2lnx2.

L'aire, en unités d'aire, du rectangle OPMQ en fonction de x est A(x)=OP×OQ=x×f(x).

Pour = 1, A(1)=1×f(1)=f(1)=2ln12=2+ln(2).

Pour = 2, A(2)=2×f(2)=2×2ln22=2×(2ln(1))=4.

A(1)A(2) donc l'aire du rectangle OPMQ n'est pas constante quelle que soit la position du point M sur Cf.

▶ 2. Rechercher un extremum

Pour déterminer si l'aire du rectangle OPMQ peut être maximale, étudions les variations de la fonction A définie sur I=0 ; 14 par A(x)=x×f(x)=x×2lnx2.

A est dérivable sur I=0 ; 14 comme produit de fonctions dérivables sur I.

à noter

Si u et v sont dérivables sur I, alors u×v est dérivable sur I et (u×v)=uv+uv.

Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors ln(u) est dérivable sur I et ln(u)=uu.

Pour tout xI :

A(x)=1×f(x)+x×f(x)=2lnx2+x×12x2=2lnx21=1lnx2.

Étudions maintenant le signe de A(x) sur I.

A(x)>01lnx2>01>lnx2ln(e)>lnx2e>x2x2e.

Nous en déduisons le tableau de signes suivant :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x ; 0; ; 2e; ; 14; Ligne 2 : signe de A′(x) ; ; ; ; +; 0; –; ;

Comme A(x)>0 si x0 ; 2e, A est strictement croissante sur 0 ; 2e.

Comme A(x)0 si x2e ; 14, A est strictement décroissante sur 2e ; 14.

La fonction A admet donc un maximum en x=2e.

L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale pour x=2e.

à noter

ln(e)=1.

Dans cette situation, l'ordonnée du point M est alors :

yM=f(2e)=2ln2e2=2ln(e)=1.

L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale si le point M a pour coordonnées 2e ; 1.

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