Optimisons une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 4 • 3 points

Optimisons une aire

Soit f la fonction définie sur ]0 14] par f(x)=2ln(x2).

La courbe représentative 𝒞 f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous.

matT_1604_12_01C_07

À tout point M appartenant à 𝒞 f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

 1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur 𝒞 f ?

 2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e 1. et 2.

Dérivation  E6c • E6e • E6f  2.

Nos coups de pouce

 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l’intervalle proposé pour faire le calcul de l’aire du rectangle et concluez.

▶ 2. Exprimez l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l’intervalle proposé pour conclure.