Ouvrages disponibles dans une bibliothèque

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Ouvrages disponibles dans une bibliothèque
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Analyse &bull Suites numériques

Corrigé

10

Ens. Spécifique

matT_1305_02_02C

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Amérique du Nord &bull Mai 2013

Exercice 3 &bull 5 points

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d&rsquo ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.

Pour l&rsquo ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l&rsquo ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d&rsquo acheter 6 000 ouvrages neufs.

On appelle le nombre, en milliers, d&rsquo ouvrages disponibles le 1er janvier de l&rsquo année (2013 +n).

On donne .

&gt 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a (1 point)

&gt 2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

&nbsp

Variables

U, N

Initialisation

Mettre 42 dans U

Mettre 0 dans N

Traitement

Tant que U &lt  100

U prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Sortie

Afficher N

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&gt 3. À l&rsquo aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. (0,5 point)

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.

On appelle le nombre, en milliers, d&rsquo ouvrages disponibles le 1er janvier de l&rsquo année (2013 +n).

&gt 1. Identifier et écrire la ligne qu&rsquo il faut modifier dans l&rsquo algorithme précédent pour prendre en compte ce changement. (0,5 point)

&gt 2. On admet que , avec .

On considère la suite définie, pour tout entier n, par

Montrer que est une suite géométrique de raison q= 0,95 et préciser son premier terme . (1 point)

&gt 3. On admet que, pour tout entier naturel n,

a) Déterminer la limite de . (0,5 point)

b) En déduire la limite de . (0,5 point)

c) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel &laquo  Tant que &raquo &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

&gt 3.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.