Ouvrages disponibles dans une bibliothèque

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Ouvrages disponibles dans une bibliothèque
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

10

Ens. Spécifique

matT_1305_02_02C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.

Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs.

On appelle le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 +n).

On donne .

>1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a (1 point)

>2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

 

Variables

U, N

Initialisation

Mettre 42 dans U

Mettre 0 dans N

Traitement

Tant que U < 100

U prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Sortie

Afficher N

 

>3. À l’aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. (0,5 point)

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.

On appelle le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 +n).

>1. Identifier et écrire la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme précédent pour prendre en compte ce changement. (0,5 point)

>2. On admet que , avec .

On considère la suite définie, pour tout entier n, par

Montrer que est une suite géométrique de raison q= 0,95 et préciser son premier terme . (1 point)

>3. On admet que, pour tout entier naturel n,

a) Déterminer la limite de . (0,5 point)

b) En déduire la limite de . (0,5 point)

c) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

>3.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Corrigé

partie a

>1. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par les termes d’une suite

Pour tout entier naturel n, le nombre d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013 +n + 1) est égal à 95 % du nombre d’ouvrages disponibles un an auparavant (puisque 5 % des ouvrages sont supprimés), plus 6 000 (6 000 ouvrages neufs sont achetés chaque année), soit, en milliers :

>2. Expliquer le fonctionnement d’un algorithme

 

Info

La boucle « Tant que… » est une boucle avec arrêt conditionnel. On ne peut pas prévoir à l’avance le nombre d’étapes ; ce nombre dépend d’une condition donnée.

L’algorithme donné calcule les termes de la suite jusqu’à ce que l’un de ces termes atteigne ou dépasse 100. Il permet de déterminer le plus petit entier tel que .

Il permet donc de calculer le nombre d’années écoulées à partir de 2013 lorsque, pour la première fois, le nombre d’ouvrages disponibles atteint ou dépasse 100 000.

>3. Faire fonctionner un algorithme

 

Info

En programmant le calcul des termes de la suite , on obtient :

ce qui semble confirmer que est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.

En programmant et en faisant « tourner » l’algorithme à l’aide d’une calculatrice, on obtient en sortie 27.

D’après ce qui précède, cela signifie que est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.

Concrètement, cela signifie que le nombre d’ouvrages disponibles à la médiathèque atteindra ou dépassera 100 000 en 2013 + 27, c’est-à-dire en 2040.

partie b

>1. Adapter un algorithme

Si seulement 4 000 ouvrages, au lieu de 6 000, sont achetés chaque année, alors, pour prendre en compte ce changement, dans la boucle « Tant que… » de l’algorithme, la ligne

U prend la valeur

est remplacée par :

>2. Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison.

Son premier terme est

>3.a) Déterminer la limite d’une suite géométrique

est une suite géométrique de raison 0,95, et , donc la suite est convergente et :

b) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel et

Donc la suite est convergente et :

c) Donner une interprétation de la limite d’une suite

Ce résultat signifie qu’à long terme (en théorie « au bout d’un nombre infini d’années »), le nombre d’ouvrages disponibles à la médiathèque se rapprochera de 80 000.