Analyse • Suites numériques
Corrigé
10
Ens. Spécifique
matT_1305_02_02C
Amérique du Nord • Mai 2013
Exercice 3 • 5 points
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
partie a
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle 
le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013
On donne 
.
(1 point)
Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)
| Variables | U, N |
| Initialisation | Mettre 42 dans U Mettre 0 dans N |
| Traitement | Tant que U U prend la valeur N prend la valeur N + 1 Fin du Tant que |
| Sortie | Afficher N |
partie b
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle 
le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013
, avec 
.
On considère la suite 
définie, pour tout entier n, par 
Montrer que 
est une suite géométrique de raison q 
. (1 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
Partie B
telle que 
a pour limite 0.
partie a
> 1. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par les termes d'une suite
Pour tout entier naturel n, le nombre d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013
> 2. Expliquer le fonctionnement d'un algorithme
Info
La boucle « Tant que… » est une boucle avec arrêt conditionnel. On ne peut pas prévoir à l'avance le nombre d'étapes ce nombre dépend d'une condition donnée.
L'algorithme donné calcule les termes de la suite jusqu'à ce que l'un de ces termes atteigne ou dépasse 100. Il permet de déterminer le plus petit entier 
tel que 
.
> 3. Faire fonctionner un algorithme
Info
En programmant le calcul des termes de la suite 
, on obtient :
ce qui semble confirmer que 
est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.
En programmant et en faisant « tourner » l'algorithme à l'aide d'une calculatrice, on obtient en sortie 27.
D'après ce qui précède, cela signifie que 
est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.
Concrètement, cela signifie que
partie b
> 1. Adapter un algorithme
Si seulement 4 000 ouvrages, au lieu de 6 000, sont achetés chaque année, alors, pour prendre en compte ce changement, dans la boucle « Tant que… » de l'algorithme, la ligne
U prend la valeur 
est remplacée par :
> 2. Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
> 3. a) Déterminer la limite d'une suite géométrique
est une suite géométrique de raison 0,95, et 
, donc la suite 
est convergente et :
b) Déterminer la limite d'une suite
Pour tout entier naturel 
et 
Donc la suite 
est convergente et :
c) Donner une interprétation de la limite d'une suite
Ce résultat signifie qu'à long terme (en théorie « au bout d'un nombre infini d'années »),