La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.

Pour l’ouverture prévue le 1^er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs.

On appelle le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1^er janvier de l’année (2013 + n).

On donne .

> 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a (1 point)

> 2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

> 3. À l’aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. (0,5 point)

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.

On appelle le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1^er janvier de l’année (2013 + n).

> 1. Identifier et écrire la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme précédent pour prendre en compte ce changement. (0,5 point)

> 2. On admet que , avec .

On considère la suite définie, pour tout entier n, par

Montrer que est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme . (1 point)

> 3. On admet que, pour tout entier naturel n,

a) Déterminer la limite de . (0,5 point)

b) En déduire la limite de . (0,5 point)

c) Interpréter ce résultat. (0,5 point)