Palets au chocolat

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 1 • 5 points • 1 h 15

Palets au chocolat

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Continuité • Calcul intégral

matT_1711_03_01C_01

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :

f(x)=x22x23lnxx

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

matT_1711_03_01C_02

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; + [ par : ϕ(x= x2−1 + 3ln x.

a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.

b) Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; + [. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.

2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) Montrer que sur ]0;+[:f(x)=φ(x)x2.

En déduire le tableau de variation de f.

c) Prouver que l’équation f (x= 0 admet une unique solution α sur ]0 ; 1].

Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.

On admettra que l’équation f (x= 0 a également une unique solution β sur [1 ; + [ avec β 3,61 à 10−2 près.

d) Soit F la fonction définie sur ]0 ; + [ par : F(x)=12x22x2lnx32(lnx)2.

Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + [.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes C et C délimitent la face supérieure du palet.

Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Pour déterminer la limite de f(x) en +, pensez à découper au préalable la fraction représentant f(x) en quatre termes à simplifier.

Partie B

Exprimez l’aire de la face supérieure du palet en chocolat à l’aide d’une intégrale en prenant garde au signe de la fonction f sur l’intervalle [α;β]. Déduisez-en le volume d’un palet, puis de 80 palets, pour pouvoir comparer vos résultats avec la contrainte de rentabilité.