La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par :

$f(x)=\frac{x^2-2x-2-3\ln x}{x}$

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

▶ 1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x2−1 + 3ln x.

a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.

b) Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; + ∞[. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.

▶ 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) Montrer que sur $\left]0;+\infty \right[:f^{\prime }\text{(}x\text{)}=\frac{\phi (x)}{x^2}$.

En déduire le tableau de variation de f.

c) Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 ; 1].

Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.

On admettra que l’équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 ; + ∞[ avec β ≈ 3,61 à 10−2 près.

d) Soit F la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x-2\ln x-\frac{3}{2}{(\ln x)}^2$.

Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + ∞[.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet.

Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?