Annale corrigée Exercice Ancien programme

Palets au chocolat

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 1 • 5 points • 1 h 15

Palets au chocolat

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Continuité • Calcul intégral

matT_1711_03_01C_01

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0  + [ par :

f(x)=x22x23lnxx

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

matT_1711_03_01C_02

Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0  + [ par : ϕ(x= x2−1 + 3ln x.

a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.

b) Étudier les variations de ϕ sur ]0  + [. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.

2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) Montrer que sur ]0+[:f(x)=φ(x)x2.

En déduire le tableau de variation de f.

c) Prouver que l'équation f (x= 0 admet une unique solution α sur ]0   1].

Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.

On admettra que l'équation f (x= 0 a également une unique solution β sur [1  + [ avec β 3,61 à 10−2 près.

d) Soit F la fonction définie sur ]0  + [ par : F(x)=12x22x2lnx32(lnx)2.

Montrer que F est une primitive de f sur ]0  + [.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l'intervalle [α  β] ainsi que son symétrique C par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes C et C délimitent la face supérieure du palet.

Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Pour déterminer la limite de f(x) en +, pensez à découper au préalable la fraction représentant f(x) en quatre termes à simplifier.

Partie B

Exprimez l'aire de la face supérieure du palet en chocolat à l'aide d'une intégrale en prenant garde au signe de la fonction f sur l'intervalle [αβ]. Déduisez-en le volume d'un palet, puis de 80 palets, pour pouvoir comparer vos résultats avec la contrainte de rentabilité.

Corrigé

partie a : modélisation par une fonction

1. a) Évaluer une fonction en un réel donné et calculer une limite  E5a

φ(1)=121+3ln(1)=0=0.

Ensuite, limx0x21=1 et limx0x>0ln(x)=. Par produit et somme, il vient limx0x>0φ(x)=.

b) Étudier les variations et le signe d'une fonction  E6c • E6e

φ est une somme de fonctions dérivables sur ]0+[ donc φ est dérivable sur ]0+[.

Pour tout x]0+[ :

φ(x)=2x+3×1x=2x+3x.

Si x]0+[, l'expression φ(x) est strictement positive. Par conséquent, la fonction φ est strictement croissante sur ]0+[.

φ est strictement croissante sur ]0+[ et φ(1)=0 (question A 1. a)). Par conséquent, φ(x)0  si  x]01[ et φ(x)>0  si  x]1+[. En résumé :

x

0

1

+

Signe de φ(x)

0

+

2. a) Calculer des limites d'une fonction  E5a • E9c

Nous avons limx0x>0x22x2=2 et limx0x>0ln(x)=.

Par produit et somme, il vient limx0x>0x22x23ln(x)=+.

Puisque limx0x>0x=0+, il en découle, par quotient des limites, que

limx0x>0f(x)=+.

Remarquons tout d'abord que, pour tout x]0+[ :

f(x)=x22x23ln(x)x=x2x2×xx2x3×ln(x)x=x22x3×ln(x)x.

Nous avons alors limx+x2=+, limx+2x=0 et limx+ln(x)x=0+(croissances comparées).

Par produit et somme, nous obtenons finalement limx+f(x)=+.

b) Étudier les variations d'une fonction E6 • E9a

f est un quotient de fonctions dérivables sur ]0+[ dont le dénominateur ne s'annule pas sur ]0+[. La fonction f est donc dérivable sur ]0+[.

rappel

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I, alors (uv)=uvuvv2.

Pour tout x]0+[ :

f(x)=(2x23x)×x(x22x23ln(x))×1x2         =2x22x3x2+2x+2+3ln(x)x2         =x21+3ln(x)x2=φ(x)x2.

Pour tout x]0+[, x2>0 donc le signe de f(x) est celui de φ(x).

Le signe de φ(x) ayant été déterminé à la question A 1. b), nous obtenons :

matT_1711_03_01C_tab

avec f(1)=122×123ln(1)=01=3.

c) Résoudre une équation E7c

D'après le tableau de variations de la question précédente, nous pouvons observer que f est continue et strictement décroissante sur ]01]. Remarquons aussi que 0[3+[. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équationf(x)=0 admet une unique solution α sur ]01]. À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 82 Advanced

Casio 35+ SE

matT_1711_03_01C_03

matT_1711_03_01C_04

Une valeur approchée de α à 102 près, ici la valeur arrondie à deux décimales, est 0,41.

d) Identifier une primitive d'une fonction E6e • E6f • E11a

La fonction F est dérivable sur ]0+[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ]0+[.

rappel

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors (u2)=2u×u.

Pour tout x]0+[ :

F(x)=12×2x22×1x32×2ln(x)×1x=x22x3ln(x)x=x22x23ln(x)x=f(x).

La fonction F est donc une primitive de la fonction f sur ]0+[.

partie b : résolution du problème

Calculer et étudier un volume  E13 • E14

D'après les résultats de la question A 2. b), f est strictement décroissante sur ]01] et s'annule en α d'après les résultats de la question A 2. c). Par conséquent, f est négative sur l'intervalle [α1].

De même, f est strictement croissante sur [1+[ et s'annule en β d'après la question A 2. c). Par conséquent, f est négative sur l'intervalle [1β]. En résumé, f est négative sur [αβ].

f est dérivable donc continue sur [αβ].

Les deux points précédents nous permettent de dire que l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=α et x=β est donnée par A=αβf(x)dx. Puisqu'une unité d'aire vaut 2×1=2 cm2, nous avons alors A=2αβf(x)dx cm2.

Les courbes C et C étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, l'aire de la face supérieure du palet est donc donnée par :

4αβf(x)dx cm2.

Le volume d'un palet de chocolat est donc donné par :

V=(4αβf(x)dx)×0,5=2αβf(x)dx cm3.

D'après la question A 2. d), la fonction F étant une primitive de la fonction f sur ]0+[, nous avons donc :

V=2αβf(x)dx=2(F(β)F(α))=2[F(α)F(β)] cm3.

Puisque α0,41 et β3,61, nous obtenons finalement que :

V=2[F(α)F(β)]11,20 cm3.

Si l'on considère un total de 80 palets au chocolat, cela donnerait un volume d'environ 11,20×80=896 cm3 soit une capacité correspondante de 0,896 litre. La chocolaterie pourra donc fabriquer au moins 80 palets au chocolat avec moins de 1 litre de pâte liquide au chocolat. La contrainte de rentabilité sera donc respectée.

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