Suites numériques • Compléments sur les fonctions

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1711_03_01C

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 1 • 5 points • ⏱ 1 h 15

Palets au chocolat

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Continuité • Calcul intégral

matT_1711_03_01C_01

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 + ∞[ par :

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 2 - 3 \ln x}{x}$

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

matT_1711_03_01C_02

Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

▶ 1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : ϕ(x) = x2−1 + 3ln x.

a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.

b) Étudier les variations de ϕ sur ]0 + ∞[. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.

▶ 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) Montrer que sur $] 0 + \infty [: f^{'} (x) = \frac{φ (x)}{x^{2}}$ .

En déduire le tableau de variation de f.

c) Prouver que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 1].

Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.

On admettra que l'équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 + ∞[ avec β ≈ 3,61 à 10−2 près.

d) Soit F la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 2 \ln x - \frac{3}{2} {(\ln x)}^{2}$ .

Montrer que F est une primitive de f sur ]0 + ∞[.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l'intervalle [α β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet.

Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 2. a) Pour déterminer la limite de $f (x)$ en $+ \infty$ , pensez à découper au préalable la fraction représentant $f (x)$ en quatre termes à simplifier.

Partie B

Exprimez l'aire de la face supérieure du palet en chocolat à l'aide d'une intégrale en prenant garde au signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[α β]$ . Déduisez-en le volume d'un palet, puis de 80 palets, pour pouvoir comparer vos résultats avec la contrainte de rentabilité.

Corrigé

partie a : modélisation par une fonction

▶ 1. a) Évaluer une fonction en un réel donné et calculer une limite E5a

$φ (1) = 1^{2} - 1 + 3 \underset{= 0}{\underset{︸}{\ln (1)}} = 0$ .

Ensuite, $\lim_{x \to 0} x^{2} - 1 = - 1$ et $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} \ln (x) = - \infty$ . Par produit et somme, il vient $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} φ (x) = - \infty$ .

b) Étudier les variations et le signe d'une fonction E6c • E6e

$φ$ est une somme de fonctions dérivables sur $] 0 + \infty [$ donc $φ$ est dérivable sur $] 0 + \infty [$ .

Pour tout $x \in] 0 + \infty [$ :

$φ^{'} (x) = 2 x + 3 \times \frac{1}{x} = 2 x + \frac{3}{x}$ .

Si $x \in] 0 + \infty [$ , l'expression $φ^{'} (x)$ est strictement positive. Par conséquent, la fonction $φ$ est strictement croissante sur $] 0 + \infty [$ .

$φ$ est strictement croissante sur $] 0 + \infty [$ et $φ (1) = 0$ (question A 1. a)). Par conséquent, $φ (x) 0six\in]01[$ et $φ (x) > 0 si x \in] 1 + \infty [$ . En résumé :

x	0			1		$+ \infty$
Signe de $φ (x)$			−	0	+

▶ 2. a) Calculer des limites d'une fonction E5a • E9c

Nous avons $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} x^{2} - 2 x - 2 = - 2$ et $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} \ln (x) = - \infty$ .

Par produit et somme, il vient $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} x^{2} - 2 x - 2 - 3 \ln (x) = + \infty$ .

Puisque $\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} x = 0^{+}$ , il en découle, par quotient des limites, que

$\lim_{\begin{array}{l} x \to 0 \\ x > 0 \end{array}} f (x) = + \infty$ .

Remarquons tout d'abord que, pour tout $x \in] 0 + \infty [$ :

$\begin{matrix} f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 2 - 3 \ln (x)}{x} \\ = \frac{x^{2}}{x} - 2 \times \frac{x}{x} - \frac{2}{x} - 3 \times \frac{\ln (x)}{x} \\ = x - 2 - \frac{2}{x} - 3 \times \frac{\ln (x)}{x} . \end{matrix}$

Nous avons alors $\lim_{x \to + \infty} x - 2 = + \infty$ , $\lim_{x \to + \infty} - \frac{2}{x} = 0^{-}$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{x} = 0^{+}$ (croissances comparées).

Par produit et somme, nous obtenons finalement $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

b) Étudier les variations d'une fonction E6 • E9a

$f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $] 0 + \infty [$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $] 0 + \infty [$ . La fonction $f$ est donc dérivable sur $] 0 + \infty [$ .

rappel

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I, alors ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Pour tout $x \in] 0 + \infty [$ :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{(2 x - 2 - \frac{3}{x}) \times x - (x^{2} - 2 x - 2 - 3 \ln (x)) \times 1}{x^{2}} \\ = \frac{2 x^{2} - 2 x - 3 - x^{2} + 2 x + 2 + 3 \ln (x)}{x^{2}} \\ = \frac{x^{2} - 1 + 3 \ln (x)}{x^{2}} = \frac{φ (x)}{x^{2}} . \end{array}$

Pour tout $x \in] 0 + \infty [$ , $x^{2} > 0$ donc le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $φ (x)$ .

Le signe de $φ (x)$ ayant été déterminé à la question A 1. b), nous obtenons :

avec $f (1) = \frac{1^{2} - 2 \times 1 - 2 - 3 \overset{= 0}{\overset{︷}{\ln (1)}}}{1} = - 3$ .

c) Résoudre une équation E7c

D'après le tableau de variations de la question précédente, nous pouvons observer que $f$ est continue et strictement décroissante sur $] 0 1]$ . Remarquons aussi que $0 \in [- 3 + \infty [$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] 0 1]$ . À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 82 Advanced	Casio 35+ SE

Une valeur approchée de $α$ à $10^{- 2}$ près, ici la valeur arrondie à deux décimales, est 0,41.

d) Identifier une primitive d'une fonction E6e • E6f • E11a

La fonction $F$ est dérivable sur $] 0 + \infty [$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $] 0 + \infty [$ .

rappel

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $(u^{2})^{'} = 2 u \times u^{'}$ .

Pour tout $x \in] 0 + \infty [$ :

$\begin{matrix} F^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 x - 2 - 2 \times \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \times 2 \ln (x) \times \frac{1}{x} \\ = x - 2 - \frac{2}{x} - 3 \frac{\ln (x)}{x} \\ = \frac{x^{2} - 2 x - 2 - 3 \ln (x)}{x} \\ = f (x) . \end{matrix}$

La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $] 0 + \infty [$ .

partie b : résolution du problème

▶ Calculer et étudier un volume E13 • E14

D'après les résultats de la question A 2. b), $f$ est strictement décroissante sur $] 0 1]$ et s'annule en $α$ d'après les résultats de la question A 2. c). Par conséquent, $f$ est négative sur l'intervalle $[α 1]$ .

De même, $f$ est strictement croissante sur $[1 + \infty [$ et s'annule en $β$ d'après la question A 2. c). Par conséquent, $f$ est négative sur l'intervalle $[1 β]$ . En résumé, $f$ est négative sur $[α β]$ .

$f$ est dérivable donc continue sur $[α β]$ .

Les deux points précédents nous permettent de dire que l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$ représentative de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = α$ et $x = β$ est donnée par $A = - \int_{α}^{β} f (x) d x$ . Puisqu'une unité d'aire vaut $2 \times 1 = 2 {cm}^{2}$ , nous avons alors $A = - 2 \int_{α}^{β} f (x) d x$ cm2.

Les courbes $C$ et $C$ ′ étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, l'aire de la face supérieure du palet est donc donnée par :

$- 4 \int_{α}^{β} f (x) d x$ cm2.

Le volume d'un palet de chocolat est donc donné par :

$V = (- 4 \int_{α}^{β} f (x) d x) \times 0,5 = - 2 \int_{α}^{β} f (x) d x$ cm3.

D'après la question A 2. d), la fonction $F$ étant une primitive de la fonction $f$ sur $] 0 + \infty [$ , nous avons donc :

$V = - 2 \int_{α}^{β} f (x) d x = - 2 (F (β) - F (α)) = 2 [F (α) - F (β)]$ cm3.

Puisque $α \approx 0,41$ et $β \approx 3,61$ , nous obtenons finalement que :

$V = 2 [F (α) - F (β)] \approx 11,20$ cm3.

Si l'on considère un total de 80 palets au chocolat, cela donnerait un volume d'environ $11,20 \times 80 = 896$ cm3 soit une capacité correspondante de 0,896 litre. La chocolaterie pourra donc fabriquer au moins 80 palets au chocolat avec moins de 1 litre de pâte liquide au chocolat. La contrainte de rentabilité sera donc respectée.

Palets au chocolat

Partie A : modélisation par une fonction

Partie B : résolution du problème

Partie A

Partie B

partie a : modélisation par une fonction

▶ 1. a) Évaluer une fonction en un réel donné et calculer une limite E5a

b) Étudier les variations et le signe d'une fonction E6c • E6e

▶ 2. a) Calculer des limites d'une fonction E5a • E9c

b) Étudier les variations d'une fonction E6 • E9a

c) Résoudre une équation E7c

d) Identifier une primitive d'une fonction E6e • E6f • E11a

partie b : résolution du problème

▶ Calculer et étudier un volume E13 • E14

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