Suites numériques • Compléments sur les fonctions
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1711_03_01C
Amérique du Sud • Novembre 2017
Exercice 1 • 5 points • ⏱ 1 h 15
Palets au chocolat
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Continuité • Calcul intégral
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une fonction
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 + ∞[ par :
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.
Le repère est orthogonal d'unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
▶ 1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : ϕ(x) = x2−1 + 3ln x.
a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.
b) Étudier les variations de ϕ sur ]0 + ∞[. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.
▶ 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Montrer que sur .
En déduire le tableau de variation de f.
c) Prouver que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.
On admettra que l'équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 + ∞[ avec β ≈ 3,61 à 10−2 près.
d) Soit F la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : .
Montrer que F est une primitive de f sur ]0 + ∞[.
Partie B : résolution du problème
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l'intervalle [α β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet.
Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 2. a) Pour déterminer la limite de en , pensez à découper au préalable la fraction représentant en quatre termes à simplifier.
Partie B
Exprimez l'aire de la face supérieure du palet en chocolat à l'aide d'une intégrale en prenant garde au signe de la fonction sur l'intervalle . Déduisez-en le volume d'un palet, puis de 80 palets, pour pouvoir comparer vos résultats avec la contrainte de rentabilité.
Corrigé
partie a : modélisation par une fonction
▶ 1. a) Évaluer une fonction en un réel donné et calculer une limite E5a
.
Ensuite, et . Par produit et somme, il vient .
b) Étudier les variations et le signe d'une fonction E6c • E6e
est une somme de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur .
Pour tout :
.
Si , l'expression est strictement positive. Par conséquent, la fonction est strictement croissante sur .
est strictement croissante sur et (question A 1. a)). Par conséquent, et . En résumé :
x | 0 | 1 |
| |||
Signe de | − | 0 | + |
▶ 2. a) Calculer des limites d'une fonction E5a • E9c
Nous avons et .
Par produit et somme, il vient .
Puisque , il en découle, par quotient des limites, que
.
Remarquons tout d'abord que, pour tout :
Nous avons alors , et (croissances comparées).
Par produit et somme, nous obtenons finalement .
b) Étudier les variations d'une fonction E6 • E9a
est un quotient de fonctions dérivables sur dont le dénominateur ne s'annule pas sur . La fonction est donc dérivable sur .
rappel
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I, alors .
Pour tout :
Pour tout , donc le signe de est celui de .
Le signe de ayant été déterminé à la question A 1. b), nous obtenons :

avec .
c) Résoudre une équation E7c
D'après le tableau de variations de la question précédente, nous pouvons observer que est continue et strictement décroissante sur . Remarquons aussi que . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation admet une unique solution sur . À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
TI 82 Advanced | Casio 35+ SE |
---|---|
| |
Une valeur approchée de à près, ici la valeur arrondie à deux décimales, est 0,41.
d) Identifier une primitive d'une fonction E6e • E6f • E11a
La fonction est dérivable sur comme produit et somme de fonctions dérivables sur .
rappel
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors .
Pour tout :
La fonction est donc une primitive de la fonction sur .
partie b : résolution du problème
▶ Calculer et étudier un volume E13 • E14
D'après les résultats de la question A 2. b), est strictement décroissante sur et s'annule en d'après les résultats de la question A 2. c). Par conséquent, est négative sur l'intervalle .
De même, est strictement croissante sur et s'annule en d'après la question A 2. c). Par conséquent, est négative sur l'intervalle . En résumé, est négative sur .
est dérivable donc continue sur .
Les deux points précédents nous permettent de dire que l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est donnée par . Puisqu'une unité d'aire vaut , nous avons alors cm2.
Les courbes et ′ étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, l'aire de la face supérieure du palet est donc donnée par :
cm2.
Le volume d'un palet de chocolat est donc donné par :
cm3.
D'après la question A 2. d), la fonction étant une primitive de la fonction sur , nous avons donc :
cm3.
Puisque et , nous obtenons finalement que :
cm3.
Si l'on considère un total de 80 palets au chocolat, cela donnerait un volume d'environ cm3 soit une capacité correspondante de 0,896 litre. La chocolaterie pourra donc fabriquer au moins 80 palets au chocolat avec moins de 1 litre de pâte liquide au chocolat. La contrainte de rentabilité sera donc respectée.