Suites numériques • Compléments sur les fonctions
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1711_03_01C
Amérique du Sud • Novembre 2017
Exercice 1 • 5 points • ⏱ 1 h 15
Palets au chocolat
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Continuité • Calcul intégral
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une fonction
Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 + ∞[ par :
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.
Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
▶ 1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : ϕ(x) = x2−1 + 3ln x.
a) Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0.
b) Étudier les variations de ϕ sur ]0 + ∞[. En déduire le signe de ϕ(x)selon les valeurs de x.
▶ 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Montrer que sur .
En déduire le tableau de variation de f.
c) Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 1].
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près.
On admettra que l’équation f (x) = 0 a également une unique solution β sur [1 + ∞[ avec β ≈ 3,61 à 10−2 près.
d) Soit F la fonction définie sur ]0 + ∞[ par : .
Montrer que F est une primitive de f sur ]0 + ∞[.
Partie B : résolution du problème
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10-2 près de α et β de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses. Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet.
Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 2. a) Pour déterminer la limite de en , pensez à découper au préalable la fraction représentant en quatre termes à simplifier.
Partie B
Exprimez l’aire de la face supérieure du palet en chocolat à l’aide d’une intégrale en prenant garde au signe de la fonction sur l’intervalle . Déduisez-en le volume d’un palet, puis de 80 palets, pour pouvoir comparer vos résultats avec la contrainte de rentabilité.