Partie 1 • Les astres du monde d'Avatar

▶ 1. a) On calcule d'abord la distance D parcourue par Pandora autour de Polyphème. C'est le périmètre d'un cercle de rayon R = 2,5 × 10⁵ km. Cela donne :

D = 2πR = 2 × 3,14 × 2,5 × 10⁵ = 1,6 × 10⁶ km = 1,6 × 10⁹ m.

Pandora effectue cette distance pendant une durée T telle que :

T = 690 jours = 690 × 24 × 3 600 = 6,0 × 10⁷ s

La vitesse de révolution de Pandora, V_P, est donnée par :

V_P = $\frac{D}{T}$ = 26 m · s^–1

b) Il existe bien des saisons sur Pandora, car l'axe de rotation de cette lune est incliné de 29° par rapport au plan de l'écliptique, d'après le document 2. Cette inclinaison est responsable des saisons.

▶ 2. a) La relation entre l'énergie E (en J) et la puissance rayonnée (en W) est :

E = P × Δt

Donc l'énergie rayonnée par ACA en 1 seconde est :

E = 10²⁶ × 1,0 = 1,0 × 10²⁶ J

b) D'après la relation d'Einstein entre la variation de masse et l'énergie, on a :

E = Δm × c²

D'où Δm = $\frac{E}{c^2}$ = 1,1 × 10⁹ kg

L'étoile ACA perd une masse de 1,1 × 10⁶ tonnes par seconde.

c)

D'après l'énoncé, Alpha Centauri A (ACA) s'éteindra lorsque 10 % de sa masse totale sera consommée. La masse transformée dans l'étoile jusqu'à son extinction est donc :

m = 10 % × M_A = $\frac{10}{100}\times$ 2,2 × 10³⁰ = 2,2 × 10²⁹ kg = 2,2 × 10²⁶ tonnes

Le temps de vie de l'étoile est donné par la relation :

t = $\frac{m}{\text{masse d'hydrogène transformée par seconde }}$ = $\frac{\mathrm{2,2} \times {10}^{26}}{{10}^9}$ = 2,2 × 10¹⁷ s

Une année terrestre dure 365 jours et chaque jour dure 24 heures. Sachant qu'une heure contient 3 600 secondes on a :

t = $\frac{\mathrm{2,2}\times {10}^{17}}{365\times 24\times 3600}$ = 7,0 × 10⁹ ans

On peut donc estimer le temps de vie d'ACA à environ sept milliards d'années.

▶ 3.

La température moyenne de Pandora est de 30 ^oC, soit le double de celle de la Terre. On cherche à expliquer cette différence en comparant les caractéristiques des deux astres.

On peut expliquer la température à la surface d'une planète – et le rayonnement thermique qu'il reçoit – en fonction de sa distance par rapport à son étoile (plus la planète est proche de son étoile et plus la quantité d'énergie thermique reçue est élevée), de son rayon (plus il est grand, plus la planète reçoit du rayonnement) et de l'énergie émise par l'étoile mais nous n'avons pas les données.

La température d'un astre dépend aussi de l'effet de serre et de la capacité à retenir les infrarouges par l'atmosphère grâce à certains gaz tels que le dioxyde de carbone, la vapeur d'eau ou le méthane. Ce phénomène augmente la température à la surface de l'astre.

Les densités des atmosphères de Pandora et de la Terre sont proches, mais l'atmosphère de Pandora contient 450 fois plus de dioxyde de carbone que celle de la Terre (18 % au lieu de 0,04 %).

Nous pouvons conclure, en l'abscence d'autres données, que la présence très importante de CO₂ (gaz à effet de serre) peut expliquer une température moyenne sur Pandora deux fois plus élevée que sur la Terre.

Partie 2 • Le monde d'Avatar et ses habitants

▶ 4. La couleur des plantes dépend des pigments qu'elles contiennent. Il est noté dans le texte du document 4 que, malgré des caractéristiques originales, les forêts de Pandora ressemblent à celles de la Terre. De plus dans le document 3, on peut voir que les plantes pandoriennes sont vertes. Ayant la même couleur que les plantes terrestres, elles doivent contenir les mêmes pigments.

▶ 5. La photosynthèse est la production de matière organique par les végétaux chlorophylliens à partir de matière minérale (eau, sels minéraux et dioxyde de carbone) et d'énergie solaire reçue.

Vérifions si les plantes pandoriennes reçoivent l'énergie nécessaire à la photosynthèse. D'après l'introduction du sujet, il est noté que l'étoile ACA est similaire à notre Soleil et émet donc les mêmes radiations. Les plantes pandoriennes reçoivent alors les radiations nécessaires à la photosynthèse.

Vérifions si les plantes pandoriennes ont accès à la matière minérale nécessaire à la photosynthèse. D'après le document 1, l'atmosphère de Pandora est riche en dioxyde de carbone nécessaire à la photosynthèse et on aperçoit de l'eau liquide dans l'illustration du document 3.

Vérifions si les plantes pandoriennes peuvent effectuer la photosynthèse. D'après le spectre d'absorption du document 4, les plantes terrestres contiennent des pigments chlorophylliens responsables de l'absorption des radiations lumineuses solaires, principalement bleues (entre 60 % et 75 % d'absorption) et rouges (jusqu'à 70 %). Les radiations qui permettent la photo­synthèse sont visibles sur le spectre d'action ; ce sont les mêmes pour lesquelles l'intensité de la photosynthèse est maximale. Comme les plantes pandoriennes semblent contenir les mêmes pigments que les plantes terrestres, elles peuvent absorber et utiliser les radiations bleues et rouges pour la photosynthèse.

D'après les informations étudiées, la photosynthèse sur Pandora est possible comme sur Terre et sans doute même de manière plus importante grâce à la présence de dioxyde de carbone plus élevée.

▶ 6. • Calcul de ST. Dans le triangle NST, rectangle en S, NS = 200 m et l'angle $\widehat{T}$ = 35°. On peut écrire :

tan(35) = $\frac{\text{NS}}{\text{ST}}$ ⇔ ST = $\frac{\text{NS}}{\tan (35)}$ = $\frac{20}{\tan (35)}$ = 286 m

Calcul de TA. D'après la relation de triangulation plane dans le triangle STA : $\frac{\text{TS}}{\sin (40)}$ = $\frac{\text{TA}}{\sin (105)}$

d'où TA = TS × $\frac{\sin (105)}{\sin (40)}$ = 286 × $\frac{\sin (105)}{\sin (40)}$ = 430 m

L'animal doit donc parcourir cette distance à une vitesse de V = 100 km · h^–1.

Calcul du temps qu'il faut au thanator pour parcourir TA. On sait que :

V = $\frac{\text{TA}}{\text{Δ}t}$ d'où Δt = $\frac{\text{TA}}{V}$

Il faut convertir V en m · s^–1 pour effectuer ce calcul : V = $\frac{100}{\mathrm{3,60}}$ = 27,8 m · s^–1

D'où : Δt = $\frac{430}{\mathrm{27,8}}$ = 15,5 s

Il faut 15,5 s au thanator pour atteindre l'abri, alors que le Na'vi atteint l'abri en 10 s. L'adulte et l'enfant ont donc réussi à échapper à l'animal.