Parcours dans un parc de loisirs et durée d’attente à la billetterie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Parcours dans un parc de loisirs et durée d’attente à la billetterie

Les thèmes clés

Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée.

 

Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-après. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

matT_1609_07_00C_01

partie a

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon, expliquer pourquoi. (1 point)

2. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique).

On donne la matrice M4=(2018202111135518322525171610102025311913131452125193113214121117131311643131613216203135101444391510512313110).

Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres. Les citer tous. (1,5 point)

partie b

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente, en minutes, à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :

Importation de l’image : matT_1609_07_00C_001.png impossible

matT_1609_07_00C_02

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente à la billetterie.

On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui, à l’heure, associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente. On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction f définie par :

f(x)=ax2+bx+c

avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2) appartiennent à la représentation graphique de f.

1. Calculer les trois réels a, b et c. (1,5 point)

2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes. (1 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. Utilisez le théorème d’Euler.

2. Les coefficients de M4 donnent le nombre de chaînes de longueur 4 entre deux sommets.

Partie B

1. Traduisez l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues et résolvez ce système.