Annale corrigée Exercice Ancien programme

Parcours dans un parc de loisirs et durée d'attente à la billetterie

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Parcours dans un parc de loisirs et durée d'attente à la billetterie

Les thèmes clés

Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée.

 

Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-après. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices  les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

matT_1609_07_00C_01

partie a

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon, expliquer pourquoi. (1 point)

2. On note M la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).

On donne la matrice M4=(2018202111135518322525171610102025311913131452125193113214121117131311643131613216203135101444391510512313110).

Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres. Les citer tous. (1,5 point)

partie b

Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente, en minutes, à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :

Importation de l'image : matT_1609_07_00C_001.png impossible

matT_1609_07_00C_02

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie.

On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui, à l'heure, associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction f définie par :

f(x)=ax2+bx+c

avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points (9  9), (11   20) et (16  2) appartiennent à la représentation graphique de f.

1. Calculer les trois réels a, b et c. (1,5 point)

2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes. (1 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. Utilisez le théorème d'Euler.

2. Les coefficients de M4 donnent le nombre de chaînes de longueur 4 entre deux sommets.

Partie B

1. Traduisez l'énoncé par un système de trois équations à trois inconnues et résolvez ce système.

Corrigé

partie a

1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

Un parcours empruntant une fois et une seule chaque chemin pédestre du circuit est une chaîne eulérienne. On applique le théorème d'Euler.

Le graphe est connexe  en effet, par exemple, la chaîne AEDBCFGH permet de relier deux sommets quelconques. On détermine le degré de chaque sommet  les résultats peuvent être donnés dans un tableau :

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

H

Degré

3

4

4

4

2

3

2

2

Le graphe est connexe et comporte deux sommets de degré impair : A et H. D'après le théorème d'Euler, il possède une chaîne eulérienne d'extrémités A et F.

Un enfant peut donc parcourir chaque chemin pédestre une fois et une seule, en suivant par exemple le circuit AEDABDCBFGHCF.

2. Déterminer le nombre de chaînes de longueur donnée entre deux sommets d'un graphe

Le nombre de parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres, c'est-à-dire le nombre de chaînes de longueur 4 de E à H, est le coefficient de la matrice M4 situé à l'intersection de la ligne 5 (correspondant au sommet E) et de la colonne 8 (sommet H). Ce coefficient est égal à 3.

Il y a trois parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres.

Ces parcours sont EABCH – EADCH – EDBCH.

partie b

1. Déterminer une fonction dont la représentation graphique passe par des points donnés

notez bien

Il existe différentes méthodes pour résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues. On peut par exemple écrire ce système sous forme matricielle et utiliser l'inverse d'une matrice.

Les points de coordonnées (9  9), (11  20) et (16  2) appartiennent à la représentation graphique de f, donc :

f(9)=9f(11)=20f(16)=2.

D'où le système {81a+9b+c=9121a+11b+c=20256a+16b+c=2

Sous forme matricielle, ce système s'écrit AX = B, avec :

A=(8191121111256161)X=(abc)B=(9202).

Il est équivalent, puisque la matrice A est inversible, à X=A1 B, en notant A1 la matrice inverse de la matrice A.

Avec la calculatrice, on obtient X=(13106328465).

Donc a=1320b=632c=8465 et la fonction f est définie par :

f(x)=1320x2+632x8465

 f(x)=1,3x2+31,5x169,2

2. Déterminer, à l'aide d'une modélisation, les plages horaires où le temps d'attente est inférieur à 10 minutes

On résout l'inéquation f(x)10.

f(x)101,3x2+31,5x169,2101,3x2+31,5x179,20.

Le discriminant du trinôme 1,3x2+31,5x179,2 est Δ = 60,41.

Le trinôme a deux racines réelles :

x1=31,560,412,6=31,5+60,412,6x2=31,5+60,412,6=31,560,412,6.

1,3x2+31,5x179,2 est négatif si et seulement si xx2oux>x1.

À la calculatrice, x1 15,1 et x2 9,1.

Or 15,1 heures=15 heures et 6 minutes  et 9,1 heures=9 heures et 6 minutes.

L'attente peut être inférieure à dix minutes entre 9 h et 9 h 06, et entre 15 h 06 et 16 h.

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