Parcours et itinéraires dans un parc de loisir et modélisation d'un toboggan

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d’accrobranches.

Les différents parcours sont modélisés par le graphe 1742376-Eqn41 ci-dessous, où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités.

Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

matT_1411_11_00C_02

1. L’organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s’ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d’accrobranches, c’est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l’arbre numéro 1.

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. (1 point)

2. On note 1742376-Eqn42 la matrice associée au graphe 1742376-Eqn43 en considérant les sommets pris dans l’ordre croissant des numéros d’arbres.

a) Écrire la matrice 1742376-Eqn44. (0,5 point)

b) On donne, ci-dessous, les matrices 1742376-Eqn45 et 1742376-Eqn46 :

1742376-Eqn47 ; 1742376-Eqn48.

L’organisateur du parc de loisirs souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l’arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d’accrobranches et finiront à l’arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.

Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d’itinéraires express » réalisables. (1 point)

On ne demande pas de donner ces différents itinéraires.

3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l’arbre 4.

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction 1742376-Eqn49 dont la courbe 1742376-Eqn50 est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

matT_1411_11_00C_03

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives :

(2 ; 8,1), (10 ; 2,5) et (20 ; 0).

La fonction 1742376-Eqn51 est définie sur [0 ; 20] par 1742376-Eqn52, où 1742376-Eqn53 sont trois nombres réels.

a) Justifier que 1742376-Eqn54 sont solutions du système :

1742376-Eqn55. (1 point)

b) Déterminer les matrices 1742376-Eqn56 et 1742376-Eqn57 pour que le système précédent soit équivalent à :

1742376-Eqn581742376-Eqn59. (0,5 point)

c) Déterminer 1742376-Eqn60. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne • Chaîne de longueur donnée

Les conseils du correcteur

1. Déterminez si le graphe possède une chaîne eulérienne en examinant le degré de chaque sommet

2. b) Utilisez la matrice 1742376-Eqn113.

3. a) Utilisez les coordonnées des points I, J et K.

c) Déterminez (à l’aide de la calculatrice) et utilisez la matrice inverse de la matrice 1742376-Eqn114.