Parcours et itinéraires dans un parc de loisir et modélisation d'un toboggan

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d’accrobranches.

Les différents parcours sont modélisés par le graphe 1742376-Eqn41 ci-dessous, où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités.

Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

matT_1411_11_00C_02

1. L’organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s’ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d’accrobranches, c’est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l’arbre numéro 1.

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. (1 point)

2. On note 1742376-Eqn42 la matrice associée au graphe 1742376-Eqn43 en considérant les sommets pris dans l’ordre croissant des numéros d’arbres.

a) Écrire la matrice 1742376-Eqn44. (0,5 point)

b) On donne, ci-dessous, les matrices 1742376-Eqn45 et 1742376-Eqn46 :

1742376-Eqn47 ; 1742376-Eqn48.

L’organisateur du parc de loisirs souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l’arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d’accrobranches et finiront à l’arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.

Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d’itinéraires express » réalisables. (1 point)

On ne demande pas de donner ces différents itinéraires.

3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l’arbre 4.

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction 1742376-Eqn49 dont la courbe 1742376-Eqn50 est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

matT_1411_11_00C_03

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives :

(2 ; 8,1), (10 ; 2,5) et (20 ; 0).

La fonction 1742376-Eqn51 est définie sur [0 ; 20] par 1742376-Eqn52, où 1742376-Eqn53 sont trois nombres réels.

a) Justifier que 1742376-Eqn54 sont solutions du système :

1742376-Eqn55. (1 point)

b) Déterminer les matrices 1742376-Eqn56 et 1742376-Eqn57 pour que le système précédent soit équivalent à :

1742376-Eqn581742376-Eqn59. (0,5 point)

c) Déterminer 1742376-Eqn60. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne • Chaîne de longueur donnée

Les conseils du correcteur

1. Déterminez si le graphe possède une chaîne eulérienne en examinant le degré de chaque sommet

2. b) Utilisez la matrice 1742376-Eqn113.

3. a) Utilisez les coordonnées des points I, J et K.

c) Déterminez (à l’aide de la calculatrice) et utilisez la matrice inverse de la matrice 1742376-Eqn114.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

La question revient à déterminer s’il existe sur le graphe une chaîne eulérienne partant du sommet 1.

On détermine le degré de chaque sommet du graphe ; on résume les résultats dans un tableau :

Sommet

1

2

3

4

5

Degré

3

4

2

2

3

Le graphe a exactement 2 sommets de degré impair (sommets 1 et 5), donc d’après le théorème d’Euler, le graphe possède une chaîne eulérienne d’extrémités les sommets 1 et 5.

Un visiteur peut donc réaliser un itinéraire complet d’accrobranches en commençant à l’arbre numéro 1 (et en finissant à l’arbre numéro 5).

Un exemple d’itinéraire complet, commençant à l’arbre numéro 1 et passant une fois et une seule par chacune des 7 arêtes du graphe est l’itinéraire :

1742376-Eqn181

2. a) Déterminer la matrice associée à un graphe

Notez bien

La matrice associée à un graphe non pondéré ne comporte que des 0 et des 1. Le coefficient situé à l’intersection de la ligne 1742376-Eqn182 et de la colonne 1742376-Eqn183 est égal à 1 s’il existe une arête entre les sommets 1742376-Eqn184 et 1742376-Eqn185 (si le graphe n’est pas orienté), à 0 sinon.

La matrice associée au graphe précédent est :

1742376-Eqn186

b) Déterminer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe

Le nombre de chemins de longueur 3 (c’est-à-dire empruntant successivement trois parcours) du sommet 1 (représentant l’arbre numéro 1) au sommet 4 (arbre numéro 4) est le coefficient de la matrice 1742376-Eqn187 situé à l’intersection de la ligne 1 et de la colonne 4 ; ce nombre est égal à 5. Donc il existe cinq « itinéraires express » en trois étapes de l’arbre 1 à l’arbre 4.

3. a) Écrire un système d’équations vérifiées par les coefficients d’une fonction trinôme

1742376-Eqn188 pour tout 1742376-Eqn189 appartenant à 1742376-Eqn190.

1742376-Eqn191 ; 1742376-Eqn192 et 1742376-Eqn193, d’où :

1742376-Eqn194

b) Écrire sous forme matricielle un système d’équations linéaires

Notez bien

1742376-Eqn195 est une matrice carrée à trois lignes et trois colonnes, 1742376-Eqn196 et 1742376-Eqn197 sont des matrices colonnes.

Le système précédent est équivalent à 1742376-Eqn198 où :

1742376-Eqn199

c) Résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues

À l’aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice 1742376-Eqn202 est inversible et on détermine la matrice 1742376-Eqn203, inverse de la matrice 1742376-Eqn204 :

1742376-Eqn205

1742376-Eqn206 équivaut à 1742376-Eqn207, d’où, avec la calculatrice, 1742376-Eqn208,

c’est-à-dire :

1742376-Eqn209

Gagnez des points !

Pour tout 1742376-Eqn210 appartenant à 1742376-Eqn211, 1742376-Eqn212 Donc 1742376-Eqn213.

La courbe représentative de 1742376-Eqn214 admet au point K une tangente parallèle à l’axe des abscisses ; le toboggan arrive au sol en K « avec une pente nulle ».

La fonction 1742376-Eqn215 est donc définie, pour tout 1742376-Eqn216 appartenant à 1742376-Eqn217, par :

1742376-Eqn218