Parkings d'une ville

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Juin 2017

Exercice 2 • 6 points • 1 h 10

Parkings d’une ville

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète

 

Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville.

partie a : durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d’attente en minutes

[0 ; 2[

[2 ; 4[

[4 ; 6[

[6 ; 8[

Nombre de voitures

75

19

10

5

 1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.

 2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

a) Justifier que l’on peut choisir λ = 0,5.

b) Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?

c) Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance μ = 70 min et d’écart type σ = 30 min.

 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?

b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?

c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?

 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.

Durée de stationnement

Inférieure à 15 min

Entre 15 min et 1 h

Heure supplémentaire

Tarif en euros

Gratuit

3,5

t

Déterminer le tarif t de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 euros.

partie c : temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ et d’écart type σ. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.

Le gestionnaire du parking vise l’objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Pensez à la notion d’espérance.

2. c) Identifiez correctement à l’aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.

Partie B

1. a) Pensez à nouveau à la notion d’espérance.

2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu’il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l’aide de l’espérance de cette variable aléatoire discrète.