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Parkings d'une ville

Liban • Juin 2017

Exercice 2 • 6 points • 1 h 10

Parkings d'une ville

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète

 

Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville.

partie a : durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d'attente en minutes

[0  2[

[2  4[

[4  6[

[6  8[

Nombre de voitures

75

19

10

5

 1. Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.

 2. On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

a) Justifier que l'on peut choisir λ = 0,5.

b) Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?

c) Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance μ = 70 min et d'écart type σ = 30 min.

 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?

b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?

c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?

 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.

Durée de stationnement

Inférieure à 15 min

Entre 15 min et 1 h

Heure supplémentaire

Tarif en euros

Gratuit

3,5

t

Déterminer le tarif t de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 euros.

partie c : temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d'espérance μ et d'écart type σ. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Pensez à la notion d'espérance.

2. c) Identifiez correctement à l'aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.

Partie B

1. a) Pensez à nouveau à la notion d'espérance.

2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu'il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l'aide de l'espérance de cette variable aléatoire discrète.

Corrigé

Partie A

1. Proposer une estimation d'une moyenne

à retenir

x¯=i=1kxi×nii=1kni, avec k : nombre d'intervalles  (xi)1ik centres des intervalles  (ni)1ik effectifs correspondants.

On a : 1×75+3×19+5×10+7×575+19+10+5=2171092.

Une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking est 2 minutes.

2. a) Justifier le choix d'un paramètre d'une loi  E41c 

D'après la question précédente, la durée d'attente moyenne serait de deux minutes.

La durée d'attente étant modélisée par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ, la durée d'attente moyenne correspondrait à l'espérance de T notée E(T) et égale à 1λ.

D'après ces deux points, on aurait : 2=E(T)2=1λλ=12=0,5.

On peut donc choisir λ=0,5.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E40a • E40c 

à retenir

Si X est une variable aléatoire continue, alors pour tout réel a, P(X = a= 0.

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est donnée par P(T2)=loi continueP(T2).

La densité f associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,5 est donnée par :

f(t)={0sit0λeλt=0,5e0,5tsit0

à noter

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur l'intervalle [0+[ est : xeλx.

Nous avons alors :

P(T2)=020,5e0,5tdt=[e0,5t]02=e0,5×2(e0,5×0)=1e10,6321.

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est environ 0,6321.

c) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E35 • E40a • E40c 

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que sachant que la voiture attend déjà depuis une minute, elle franchisse la barrière dans la minute suivante (donc attende moins de deux minutes dès sa présentation à l'entrée du parking). Elle se note : P(T1)(T  2).

La loi exponentielle étant une loi sans vieillissement, on a : P(T1)(T  2) = P(T  2 - 1) = P(T  1).

Similairement à la question précédente, on a : P(T1)=[e0,5t]01=e0,5×1(e0,5×0)=1e0,50,3935

On en conclut que : P(T1)(T  2) 0,3935.

La probabilité que la voiture qui attend à l'entrée du parking depuis une minute franchisse la barrière dans la minute suivante est environ 0,3935.

Partie B

1. a) Interpréter un paramètre d'une loi  E40e 

La durée de stationnement étant modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ = 70 min, la durée moyenne de stationnement est 70 minutes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité que la durée de stationnement de cet automobiliste dépasse deux heures, à savoir 120 minutes, s'écrit à l'aide de la variable aléatoire D de la manière suivante : P(D120). Par définition et par symétrie de la densité associée à la loi normale considérée, on a : P(D>120)en vert sur le graphique=0,5P(70D120)en jaune sur le graphique.

matT_1706_09_01C_03

À l'aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_04

matT_1706_09_01C_05

La probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures est environ 0,0478.

c) Déterminer une valeur sous contrainte

à noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(b,μ,σ) où b = 0,99  μ = 70 et σ = 30.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(b,σ,μ) où b = 0,99  μ = 70 et σ = 30.

Le temps maximum tmax de stationnement pour au moins 99 % des voitures est la plus petite valeur t telle que : P(Dt)0,99.

Cherchons la valeur te telle que P(Dte)=0,99.

À l'aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_06

matT_1706_09_01C_07

Ainsi, on a : te 140 (à la minute près).

Pour tout t  te, P(Dt)P(Dte)=0,99.

Pour tout t te, P(Dt)P(Dte)=0,99.

Par conséquent, tmax = te.

Le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures est, à la minute près, 140 minutes soit 2 heures 20 minutes.

2. Déterminer une valeur sous contrainte  E38 • C3 

La grille tarifaire en euros en fonction de la durée de stationnement exprimée en minutes peut se résumer à l'aide du tableau suivant :

Durée de stationnement d en minutes

d  15

15  d  60

60  d  120

120  d  180

Tarif en euros

0

3,5

3,5 + t

3,5 + 2t

Définissons la variable aléatoire S qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant ce parking souterrain, associe le tarif en euros qu'il devrait payer.

La probabilité qu'il ne paie pas correspond à la probabilité que sa durée de stationnement n'excède pas 15 minutes à savoir P(D15). Similairement à la question 1. b) de la partie B, on a : P(D15)=0,5P(15D70)0,0334.

La probabilité qu'il paie 3,50 euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit comprise entre 15 minutes et 60 minutes à savoir P(15D60).

À l'aide de la calculatrice, on a : P(15D60)0,3361.

La probabilité qu'il paie 3,5 + t euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit strictement supérieure à 60 minutes mais inférieure ou égale à 120 minutes à savoir P(60D120). Comme D est une variable aléatoire continue, on a P(60D120)=P(60D120). À l'aide de la calculatrice,P(60D120)0,5828.

De même, la probabilité qu'il paie 3,5 + 2t euros correspond à la probabilité P(120D180)0,0477.

La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète S est ainsi donnée par le tableau suivant :

Tarif en euros

0

3,5

3,5 + t

3,5 + 2t

Probabilité

p1=P(D15)

p2=P(15D60)

p3=P(60D120)

p4=P(120D180)

Probabilité (arrondie au dix millième)

0,0334

0,3361

0,5828

0,0477

Le gestionnaire du parking souhaite que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 €, en d'autres mots que l'espérance de la variable aléatoire discrète S notée E(S) soit égale à 5. Or, par définition :

E(S)=0×p1+3,5×p2+(3,5+t)×p3+(3,5+2t)×p4=3,5×(p2+p3+p4)+t×(p3+2p4).

Par conséquent, E(S= 5 équivaut à :

t=53,5×(p2+p3+p4)p3+2p41,61690,67822,38.

Le gestionnaire du parking devrait fixer le tarif de l'heure supplémentaire à 2 euros et trente-huit centimes pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 euros.

Partie C

Prendre une initiative  E40d • E40e • C3 

La moyenne du temps de stationnement dans ce parking étant égale à 30 minutes, on a : μ = 30.

« 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes » se traduit à l'aide de la variable aléatoire T par P(T37)=0,75 qui, comme la variable aléatoire T est continue, est équivalent à P(T37)=0,75. Or :

P(T37)=0,75P(T30centrer3730)=0,75P(T30σréduire7σ)=0,75.

à noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(a,μ,σ) où μ = 0 et σ = 1.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(a,σ,μ) où μ = 0 et σ = 1.

Or, comme la variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart type σ alors, par définition, la variable aléatoire TC=T30σ suit la loi normale centrée réduite. Nous avons ainsi P(TC7σ)=0,75TCN(012). Résolvons alors l'équation P(TCa)=0,75a est un réel à déterminer et où TC suit la loi normale centrée réduite.

À l'aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_08

matT_1706_09_01C_09

Ainsi a 0,6745. Par identification, nous pouvons maintenant écrire que 7σ=a soit σ=7a10,378.

La valeur de σ, arrondie à l'unité, est 10.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95 % des voitures aient un stationnement entre 10 et 50 minutes. Or, la probabilité qu'une voiture choisie au hasard stationne entre 10 et 50 minutes dans ce parking du centre-ville s'écrit : P(10T50). À l'aide de la calculatrice en prenant μ = 30 et σ = 10, cette probabilité est environ de 0,9545. L'objectif serait donc atteint.

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