Lois de probabilité
Ens. spécifique
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matT_1705_09_03C
Liban • Juin 2017
Exercice 2 • 6 points • ⏱ 1 h 10
Parkings d’une ville
Les thèmes clés
Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète
Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville.
partie a : durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain
On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.
Durée d’attente en minutes | [0 2[ | [2 4[ | [4 6[ | [6 8[ |
Nombre de voitures | 75 | 19 | 10 | 5 |
▶ 1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.
▶ 2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
a) Justifier que l’on peut choisir λ = 0,5.
b) Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
c) Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain
Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance μ = 70 min et d’écart type σ = 30 min.
▶ 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?
b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?
▶ 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
Durée de stationnement | Inférieure à 15 min | Entre 15 min et 1 h | Heure supplémentaire |
Tarif en euros | Gratuit | 3,5 | t |
Déterminer le tarif t de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 euros.
partie c : temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville
La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T′ qui suit une loi normale d’espérance μ′ et d’écart type σ′. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.
Le gestionnaire du parking vise l’objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 2. a) Pensez à la notion d’espérance.
▶ 2. c) Identifiez correctement à l’aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.
Partie B
▶ 1. a) Pensez à nouveau à la notion d’espérance.
▶ 2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu’il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l’aide de l’espérance de cette variable aléatoire discrète.
