Lois de probabilité

Ens. spécifique

matT_1705_09_03C

Liban • Juin 2017

Exercice 2 • 6 points • ⏱ 1 h 10

Parkings d'une ville

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète

Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville.

partie a : durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d'attente en minutes	[0 2[	[2 4[	[4 6[	[6 8[
Nombre de voitures	75	19	10	5

▶ 1. Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.

▶ 2. On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

a) Justifier que l'on peut choisir λ = 0,5.

b) Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?

c) Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance μ = 70 min et d'écart type σ = 30 min.

▶ 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?

b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?

c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?

▶ 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.

Durée de stationnement	Inférieure à 15 min	Entre 15 min et 1 h	Heure supplémentaire
Tarif en euros	Gratuit	3,5	t

Déterminer le tarif t de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 euros.

partie c : temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T′ qui suit une loi normale d'espérance μ′ et d'écart type σ′. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 2. a) Pensez à la notion d'espérance.

▶ 2. c) Identifiez correctement à l'aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.

Partie B

▶ 1. a) Pensez à nouveau à la notion d'espérance.

▶ 2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu'il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l'aide de l'espérance de cette variable aléatoire discrète.

Corrigé

Partie A

▶ 1. Proposer une estimation d'une moyenne

à retenir

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} x_{i} \times n_{i}}{\sum_{i = 1}^{k} n_{i}}$ , avec k : nombre d'intervalles ${(x_{i})}_{1 \leq i \leq k}$ centres des intervalles ${(n_{i})}_{1 \leq i \leq k}$ effectifs correspondants.

On a : $\frac{1 \times 75 + 3 \times 19 + 5 \times 10 + 7 \times 5}{75 + 19 + 10 + 5} = \frac{217}{109} \approx 2$ .

Une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking est 2 minutes.

▶ 2. a) Justifier le choix d'un paramètre d'une loi E41c

D'après la question précédente, la durée d'attente moyenne serait de deux minutes.

La durée d'attente étant modélisée par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ, la durée d'attente moyenne correspondrait à l'espérance de T notée $E (T)$ et égale à $\frac{1}{λ}$ .

D'après ces deux points, on aurait : $2 = E (T) \Leftrightarrow 2 = \frac{1}{λ} \Leftrightarrow λ = \frac{1}{2} = 0,5$ .

On peut donc choisir $λ = 0,5$ .

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E40a • E40c

à retenir

Si X est une variable aléatoire continue, alors pour tout réel a, P(X = a) = 0.

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est donnée par $P (T 2)\underset{loi continue}{\underset{︸}{=}}P(T \leq 2)$ .

La densité f associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,5 est donnée par :

$f (t) = {\begin{cases} 0 si t 0 \\ λ e^{- λ t} = 0,5 e^{- 0,5 t} si t \geq 0 \end{cases}$

à noter

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur l'intervalle $[0 + \infty [$ est : $x \mapsto - e^{- λ x}$ .

Nous avons alors :

$\begin{matrix} P (T \leq 2) = \int_{0}^{2} 0,5 e^{- 0,5 t} d t \\ = {[- e^{- 0,5 t}]}_{0}^{2} \\ = - e^{- 0,5 \times 2} - (- e^{- 0,5 \times 0}) \\ = 1 - e^{- 1} \\ \approx 0,6321 . \end{matrix}$

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est environ 0,6321.

c) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E35 • E40a • E40c

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que sachant que la voiture attend déjà depuis une minute, elle franchisse la barrière dans la minute suivante (donc attende moins de deux minutes dès sa présentation à l'entrée du parking). Elle se note : P(T≥1)(T ≤ 2).

La loi exponentielle étant une loi sans vieillissement, on a : P(T≥1)(T ≤ 2) = P(T ≤ 2 - 1) = P(T ≤ 1).

Similairement à la question précédente, on a : $P (T \leq 1) = {[- e^{- 0,5 t}]}_{0}^{1} = - e^{- 0,5 \times 1} - (- e^{- 0,5 \times 0}) = 1 - e^{- 0,5} \approx 0,3935$ .

On en conclut que : P(T≥1)(T ≤ 2) ≈ 0,3935.

La probabilité que la voiture qui attend à l'entrée du parking depuis une minute franchisse la barrière dans la minute suivante est environ 0,3935.

Partie B

▶ 1. a) Interpréter un paramètre d'une loi E40e

La durée de stationnement étant modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ = 70 min, la durée moyenne de stationnement est 70 minutes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

La probabilité que la durée de stationnement de cet automobiliste dépasse deux heures, à savoir 120 minutes, s'écrit à l'aide de la variable aléatoire D de la manière suivante : $P (D \geq 120)$ . Par définition et par symétrie de la densité associée à la loi normale considérée, on a : $\underset{en vert sur le graphique}{\underset{︸}{P (D > 120)}} = 0,5 - \underset{en jaune sur le graphique}{\underset{︸}{P (70 \leq D \leq 120)}}$ .

matT_1706_09_01C_03

À l'aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +	Casio Graph 75

La probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures est environ 0,0478.

c) Déterminer une valeur sous contrainte

à noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(b,μ,σ) où b = 0,99 μ = 70 et σ = 30.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(b,σ,μ) où b = 0,99 μ = 70 et σ = 30.

Le temps maximum tmax de stationnement pour au moins 99 % des voitures est la plus petite valeur t telle que : $P (D \leq t) \geq 0,99$ .

Cherchons la valeur te telle que $P (D \leq t_{e}) = 0,99 .$

À l'aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +	Casio Graph 75

Ainsi, on a : te ≈ 140 (à la minute près).

Pour tout t ≤ te, $P (D \leq t) \leq P (D \leq t_{e}) = 0,99$ .

Pour tout t $\geq t_{e}$ , $P (D \leq t) \geq P (D \leq t_{e}) = 0,99$ .

Par conséquent, tmax = te.

Le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures est, à la minute près, 140 minutes soit 2 heures 20 minutes.

▶ 2. Déterminer une valeur sous contrainte E38 • C3

La grille tarifaire en euros en fonction de la durée de stationnement exprimée en minutes peut se résumer à l'aide du tableau suivant :

Durée de stationnement d en minutes	d 15	15 ≤ d ≤ 60	60 d ≤ 120	120 d ≤ 180
Tarif en euros	0	3,5	3,5 + t	3,5 + 2t

Définissons la variable aléatoire S qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant ce parking souterrain, associe le tarif en euros qu'il devrait payer.

La probabilité qu'il ne paie pas correspond à la probabilité que sa durée de stationnement n'excède pas 15 minutes à savoir $P (D 15).$ Similairement à la question 1. b) de la partie B, on a : $P (D 15)=0,5-P(15\leqD\leq70)\approx0,0334$ .

La probabilité qu'il paie 3,50 euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit comprise entre 15 minutes et 60 minutes à savoir $P (15 \leq D \leq 60)$ .

À l'aide de la calculatrice, on a : $P (15 \leq D \leq 60) \approx 0,3361$ .

La probabilité qu'il paie 3,5 + t euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit strictement supérieure à 60 minutes mais inférieure ou égale à 120 minutes à savoir $P (60 D\leq120)$ . Comme D est une variable aléatoire continue, on a $P (60 D\leq120)=P(60\leqD\leq120)$ . À l'aide de la calculatrice, $P (60 \leq D \leq 120) \approx 0,5828$ .

De même, la probabilité qu'il paie 3,5 + 2t euros correspond à la probabilité $P (120 \leq D \leq 180) \approx 0,0477$ .

La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète S est ainsi donnée par le tableau suivant :

Tarif en euros	0	3,5	3,5 + t	3,5 + 2t
Probabilité	$\begin{array}{l} p_{1} \\ = P (D 15) \end{array}$	$\begin{array}{l} p_{2} \\ = P (15 \leq D \leq 60) \end{array}$	$\begin{array}{l} p_{3} \\ = P (60 D\leq120) \end{array}$	$\begin{array}{l} p_{4} \\ = P (120 D\leq180) \end{array}$
Probabilité (arrondie au dix millième)	0,0334	0,3361	0,5828	0,0477

Le gestionnaire du parking souhaite que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 €, en d'autres mots que l'espérance de la variable aléatoire discrète S notée $E (S)$ soit égale à 5. Or, par définition :

$\begin{matrix} E (S) = 0 \times p_{1} + 3,5 \times p_{2} + (3,5 + t) \times p_{3} + (3,5 + 2 t) \times p_{4} \\ = 3,5 \times (p_{2} + p_{3} + p_{4}) + t \times (p_{3} + 2 p_{4}) . \end{matrix}$

Par conséquent, E(S) = 5 équivaut à :

$t = \frac{5 - 3,5 \times (p_{2} + p_{3} + p_{4})}{p_{3} + 2 p_{4}} \approx \frac{1,6169}{0,6782} \approx 2,38$ .

Le gestionnaire du parking devrait fixer le tarif de l'heure supplémentaire à 2 euros et trente-huit centimes pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 euros.

Partie C

Prendre une initiative E40d • E40e • C3

La moyenne du temps de stationnement dans ce parking étant égale à 30 minutes, on a : μ′ = 30.

« 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes » se traduit à l'aide de la variable aléatoire T′ par $P (T^{'} 37)=0,75$ qui, comme la variable aléatoire T′ est continue, est équivalent à $P (T^{'} \leq 37) = 0,75 .$ Or :

$\begin{array}{l} P (T^{'} \leq 37) = 0,75 \Leftrightarrow P (\underset{centrer}{\underset{︸}{T^{'} - 30}} \leq 37 - 30) = 0,75 \\ \Leftrightarrow P (\underset{réduire}{\underset{︸}{\frac{T^{'} - 30}{σ^{'}}}} \leq \frac{7}{σ^{'}}) = 0,75 . \end{array}$

à noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(a,μ,σ) où μ = 0 et σ = 1.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(a,σ,μ) où μ = 0 et σ = 1.

Or, comme la variable aléatoire T′ suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart type σ′ alors, par définition, la variable aléatoire ${T^{'}}_{C} = \frac{T^{'} - 30}{σ^{'}}$ suit la loi normale centrée réduite. Nous avons ainsi $P ({T^{'}}_{C} \leq \frac{7}{σ^{'}}) = 0,75$ où ${T^{'}}_{C} \sim N (0 1^{2}) .$ Résolvons alors l'équation $P ({T^{'}}_{C} \leq a) = 0,75$ où a est un réel à déterminer et où ${T^{'}}_{C}$ suit la loi normale centrée réduite.

À l'aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +	Casio Graph 75

Ainsi a ≈ 0,6745. Par identification, nous pouvons maintenant écrire que $\frac{7}{σ^{'}} = a$ soit $σ^{'} = \frac{7}{a} \approx 10,378$ .

La valeur de $σ^{'}$ , arrondie à l'unité, est 10.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95 % des voitures aient un stationnement entre 10 et 50 minutes. Or, la probabilité qu'une voiture choisie au hasard stationne entre 10 et 50 minutes dans ce parking du centre-ville s'écrit : $P (10 \leq T^{'} \leq 50)$ . À l'aide de la calculatrice en prenant μ′ = 30 et σ′ = 10, cette probabilité est environ de 0,9545. L'objectif serait donc atteint.

Parkings d'une ville

partie a : durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

partie c : temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville

Partie A

Partie B

Partie A

▶ 1. Proposer une estimation d'une moyenne

▶ 2. a) Justifier le choix d'un paramètre d'une loi E41c

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E40a • E40c

c) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E35 • E40a • E40c

Partie B

▶ 1. a) Interpréter un paramètre d'une loi E40e

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

c) Déterminer une valeur sous contrainte

▶ 2. Déterminer une valeur sous contrainte E38 • C3

Partie C

Prendre une initiative E40d • E40e • C3

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