Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0  1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0  a  1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal 

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = 0 et x = a d’autre part 

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = a et x = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0  1] par f (x) = x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0  1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a) = $\frac{F(0)+F(1)}{2}$.

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0  1] par f (x) = ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0  1] par f (x) = $\frac{1}{{(x+2)}^2}$.

Vérifier que la valeur a = $\frac{2}{5}$ convient.

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0  1] par f (x) = 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

$x=\frac{x^3}{4}+\frac{3}{8}$.

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0  1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0  1] par g(x) = $\frac{x^3}{4}+\frac{3}{8}$ et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0  1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0  a − u10  10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.