Partage d’un domaine

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Partage d’un domaine

matT_1606_01_00C_01

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0  1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 &lt  a &lt  1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal 

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = 0 et = a d’autre part 

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = a et = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0  1] par f (x= x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0  1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a= F(0)+F(1)2.

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0  1] par f (x= ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0  1] par f (x= 1(x+2)2.

Vérifier que la valeur = 25 convient.

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0  1] par f (x= 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

x=x34+38.

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0  1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0  1] par g(x= x34+38 et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0  1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0  un  un+1 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 &lt  a u10 &lt  10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E1 • E2a • E2b • E2c • E2e  Partie  B, 2. c) et 2. d)

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie B, 2. b)

Continuité  E7a • E7b  Partie A

Fonction exponentielle  E8a • E8d  Partie A, 3. a)

Fonction logarithme  E9a • E9b  Partie A, 3. a)

Intégration  E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14  Partie A  ­Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.

 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0   1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel a vérifiant la condition (E).

Partie B

 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.