Compléments sur les fonctions
matT_1606_01_01C
Ens. spécifique
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Afrique • Juin 2016
Exercice 2 • 6 points
Partage d’un domaine
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.
On note :
C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = 0 et x = a d’autre part
A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = a et x = 1 d’autre part.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».
On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.
Partie A : Étude de quelques exemples
▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.
a) f est une fonction constante strictement positive.
b) f est définie sur [0 1] par f (x) = x.
▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.
b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 1].
Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :
F (a) = .
La réciproque est-elle vraie ?
▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = ex.
Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.
b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = .
Vérifier que la valeur a = convient.
Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a
Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = 4 − 3x2.
▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :
.
Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0 1]. On note a cette solution.
▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 1] par g(x) = et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).
a) Calculer u1.
b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 1].
c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1.
d) Prouver que la suite (un) est convergente.
À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.
e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a − u10 < 10−9.
Calculer u10 à 10−8 près.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 80 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Suites E1 • E2a • E2b • E2c • E2e → Partie B, 2. c) et 2. d)
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 2. b)
Continuité E7a • E7b → Partie A
Fonction exponentielle E8a • E8d → Partie A, 3. a)
Fonction logarithme E9a • E9b → Partie A, 3. a)
Intégration E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14 → Partie A Partie B, 1.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.
▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0 1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel vérifiant la condition (E).
Partie B
▶ 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.