Partage d’un domaine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Partage d’un domaine

matT_1606_01_00C_01

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ;

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = 0 et = a d’autre part ;

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = a et = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0 ; 1] par f (x= x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a= F(0)+F(1)2.

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= 1(x+2)2.

Vérifier que la valeur = 25 convient.

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

x=x34+38.

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par g(x= x34+38 et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0  un  un+1 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a u10 < 10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E1 • E2a • E2b • E2c • E2e  Partie  B, 2. c) et 2. d)

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie B, 2. b)

Continuité  E7a • E7b  Partie A

Fonction exponentielle  E8a • E8d  Partie A, 3. a)

Fonction logarithme  E9a • E9b  Partie A, 3. a)

Intégration  E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14  Partie A ; ­Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.

 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0 ; 1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel a vérifiant la condition (E).

Partie B

 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.

Corrigé

Corrigé

partie a

▶ 1. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction f est constante et strictement positive sur [0 ; 1]. Notons c cette constante strictement positive.

Notez bien

Aire(rectangle)=largeur×Longueur.

A1 est l’aire d’un rectangle de dimensions c0=c et a0=a.

A1 est donc égale à c×a.

De même, A2 est l’aire d’un rectangle de dimensions 1a et c0=c.

A2 est donc égale à (1a)×c.

matT_1606_01_00C_07

La condition (E) se traduit, par conséquent, par c×a=(1a)×c. Or,

c×a=(1a)×cc>0a=1a2a=1a=12=0,5.

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 0,5.

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction f est définie sur [0 ; 1] par f(x)=x.

Notez bien

Aire(triangle)=Base×hauteur2 etAire(trapèze)=Base+base2×hauteur.

A1 est l’aire d’un triangle de base a0=a et de hauteur a0=a.A1 est donc égale à a×a2=a22.A2 est l’aire d’un trapèze de grande base 10=1, de petite base a0=a et de hauteur 1a.

A2 est donc égale à 1+a2×(1a)=1a22.

matT_1606_01_00C_08

La condition (E) se traduit, par conséquent, par a22=1a22. Or,

a22=1a22a2=1a22a2=1a2=120<a<1a=12=22.

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 22.

▶ 2. a) Exprimer une aire à l’aide d’une intégrale

D’après l’énoncé, la fonction f est continue et positive sur l’intervalle [0 ; 1]. Comme le réel a vérifie 0<a<1, il en est de même sur les intervalles [0;a] et [a;1].

Ainsi, l’aire A1 correspond (en unités d’aire) à l’intégrale 0af(x)dx tandis que l’aire A2 correspond (en unités d’aire) à l’intégrale a1f(x)dx.

b) Démontrer une équivalence

D’après l’énoncé, F est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 1] donc également sur les intervalles [0;a] et [a;1]. Or, d’après la question précédente, l’aire A1 est égale à 0af(x)dx u.a. et l’aire A2 est égale à a1f(x)dx u.a.

Ainsi, A1=[F(x)]0a=F(a)F(0) et A2=[F(x)]a1=F(1)F(a).

Soit a un réel compris entre 0 et 1. Si ce réel satisfait la condition (E), alors :

A1=A2F(a)F(0)=F(1)F(a)2F(a)=F(0)+F(1)F(a)=F(0)+F(1)2.

Un tel réel a vérifie donc l’égalité F(a)=F(0)+F(1)2.

Comme dans le point précédent, toutes les implications () peuvent être remplacées par des équivalences (),la réciproque est vraie, à savoir « si le réel a est tel que F(a)=F(0)+F(1)2, alors le réel a vérifie la condition (E). »

▶ 3. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Une primitive de la fonction f:xex sur donc sur l’intervalle [0 ; 1] est F:xex.

Notez bien

Pour tous réels a>0 et  b>0, pour tout entier relatif n,

a=blna=lnb ; ln(ab)=lnalnb ; lnan=n×lna.

e0=1 et e1=e.

D’après la question précédente, un réel a de ]0;1[ satisfait la condition (E) si et seulement si F(a)=F(0)+F(1)2 qui s’écrit alors ici ea=e0+e12=1+e2.

Mais, ea=1+e2 est équivalent à ln(ea)=ln(1+e2) ou encore a=ln(1+e)ln(2).

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à ln(1+e)ln(2).

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Déterminons une primitive de la fonction f:x1(x+2)2 sur l’intervalle [0 ; 1].

Notez bien

Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I,u ne s’annulant pas sur I, une primitive de uu2 est 1u.

Pour ce faire, notons u la fonction affine définie sur [0 ; 1] par u(x)=x+2. Cette fonction est clairement dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée u est définie sur cet intervalle par u(x)=1.

Précisons que la fonction u est strictement positive sur cet intervalle et ainsi ne s’y annule pas. Alors, comme nous avons pour tout réel x de [0 ; 1], f(x)=1(x+2)2=(u(x)(u(x))2), une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] est F:x1u(x)=1x+2.

D’après la question précédente, un réel a de ]0 ; 1[ satisfait la condition (E) si et seulement si F(a)=F(0)+F(1)2 qui s’écrit alors ici 1a+2=12+(13)2.

Or, 1a+2=12+(13)21a+2=5621a+2=512a+2=125a=25.

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 25.

partie b

▶ 1. Démontrer une implication

Soit a un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E).

Une primitive de la fonction polynôme de degré deux f:x43x2 sur l’intervalle [0 ; 1] est F:x4xx3. Il en découle d’après l’équivalence justifiée à la question A 2. b), que le réel a est tel que 4aa3=(4×003)+(4×113)2.

Ce qui donne, après simplification, 4aa3=32. Or, nous avons :

4aa3=324a=a3+32a=a34+38.

Nous en concluons que si a est un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E) alors a est solution de l’équation x=x34+38.

▶ 2. a) Calculer un terme d’une suite

Nous avons u1=g(u0)=g(0)=034+38=38=0,375.

La valeur de u1 est 0,375.

b) Justifier les variations d’une fonction

La fonction g est une fonction polynôme de degré trois. Elle est alors dérivable sur donc sur l’intervalle [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par g(x)=3x24. Comme, pour tout réel x de [0 ; 1], g(x)0, alors la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer des inégalités par récurrence

Soit la propriété P(n):0unun+11.

Initialisation : u0=0 (énoncé) et u1=0,375 (question B 1.). Nous avons alors : 0u0=0u1=0,3751. La propriété est initialisée.

Hérédité : nous supposons que la propriété P(k):0ukuk+11 est vraie pour un entier naturel k (hypothèse de récurrence). Démontrons que la propriété P(k+1):0uk+1uk+21 est vérifiée.

Par hypothèse de récurrence, nous avons 0ukuk+11. Comme la fonction g est croissante sur [0 ; 1], g(0)g(uk)g(uk+1)g(1).

Par définition de la suite (un), il en découle que : g(0)uk+1uk+2g(1).

Or, g(0)=380 et g(1)=14+38=0,6251. Il s’ensuit que 0uk+1uk+21. La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété P(n) est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel n, 0unun+11.

d) Démontrer la convergence d’une suite

D’après la question précédente, la suite (un) est croissante et majorée par 1. Par le théorème de la convergence monotone, cette suite est convergente.

Notons l la limite de la suite (un). Par définition de la suite (un), nous avons pour tout entier naturel n,un+1=g(un)=un34+38.

Or, nous avons limn+un+1=l et limn+un3=limn+un×un×un=l3. Par produit et somme (opérations sur les limites), nous en déduisons que l=l34+38.

De plus, par les inégalités justifiées à la question précédente, nous avons également pour tout entier naturel n,0un1, donc 0l1.

Or, il a été admis que l’équation x=x34+38 a une unique solution dans [0 ; 1] notée a.

Nous en concluons que la limite l de la suite (un) est a.

e) Calculer un terme d’une suite

À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons :

n

un

0

0

1

0,375

2

0,388 183 593 8

3

0,389 623 507 0

4

0,389 786 843 0

5

0,389 805 447 4

6

0,389 807 567 5

7

0,389 807 809 1

8

0,389 807 836 6

9

0,389 807 839 8

10

0,389 807 840 1

Une valeur approchée de u10 à 108 près est 0,389 807 84.