Compléments sur les fonctions

matT_1606_01_01C

Ens. spécifique

Afrique • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Partage d’un domaine

matT_1606_01_00C_01

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ;

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = 0 et x = a d’autre part ;

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x = a et x = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0 ; 1] par f (x) = x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a) = $\frac{F (0) + F (1)}{2}$ .

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Vérifier que la valeur a = $\frac{2}{5}$ convient.

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

$x = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ .

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par g(x) = $\frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a − u10 < 10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites E1 • E2a • E2b • E2c • E2e → Partie B, 2. c) et 2. d)

Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 2. b)

Continuité E7a • E7b → Partie A

Fonction exponentielle E8a • E8d → Partie A, 3. a)

Fonction logarithme E9a • E9b → Partie A, 3. a)

Intégration E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14 → Partie A ; Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.

▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0 ; 1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel $a$ vérifiant la condition (E).

Partie B

▶ 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.

Corrigé

partie a

▶ 1. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction $f$ est constante et strictement positive sur [0 ; 1]. Notons $c$ cette constante strictement positive.

Notez bien

$Aire(rectangle) = largeur \times Longueur$ .

$A_{1}$ est l’aire d’un rectangle de dimensions $c - 0 = c$ et $a - 0 = a .$

$A_{1}$ est donc égale à $c \times a .$

De même, $A_{2}$ est l’aire d’un rectangle de dimensions $1 - a$ et $c - 0 = c .$

$A_{2}$ est donc égale à $(1 - a) \times c .$

matT_1606_01_00C_07

La condition (E) se traduit, par conséquent, par $c \times a = (1 - a) \times c .$ Or,

$c \times a = (1 - a) \times c \underset{c > 0}{\Leftrightarrow} a = 1 - a \Leftrightarrow 2 a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} = 0,5 .$

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 0,5.

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction $f$ est définie sur [0 ; 1] par $f (x) = x .$

Notez bien

$Aire (triangle) = \frac{Base \times hauteur}{2}$ et $Aire (trapèze) = \frac{Base + base}{2} \times hauteur$ .

$A_{1}$ est l’aire d’un triangle de base $a - 0 = a$ et de hauteur $a - 0 = a .$ $A_{1}$ est donc égale à $\frac{a \times a}{2} = \frac{a^{2}}{2} .$ $A_{2}$ est l’aire d’un trapèze de grande base $1 - 0 = 1,$ de petite base $a - 0 = a$ et de hauteur $1 - a .$

$A_{2}$ est donc égale à $\frac{1 + a}{2} \times (1 - a) = \frac{1 - a^{2}}{2} .$

matT_1606_01_00C_08

La condition (E) se traduit, par conséquent, par $\frac{a^{2}}{2} = \frac{1 - a^{2}}{2} .$ Or,

$\frac{a^{2}}{2} = \frac{1 - a^{2}}{2} \Leftrightarrow a^{2} = 1 - a^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = \frac{1}{2} \underset{0 < a < 1}{\Leftrightarrow} a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

▶ 2. a) Exprimer une aire à l’aide d’une intégrale

D’après l’énoncé, la fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle [0 ; 1]. Comme le réel $a$ vérifie $0 < a < 1,$ il en est de même sur les intervalles $[0; a]$ et $[a; 1]$ .

Ainsi, l’aire $A_{1}$ correspond (en unités d’aire) à l’intégrale $\int_{0}^{a} f (x) d x$ tandis que l’aire $A_{2}$ correspond (en unités d’aire) à l’intégrale $\int_{a}^{1} f (x) d x$ .

b) Démontrer une équivalence

D’après l’énoncé, $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle [0 ; 1] donc également sur les intervalles $[0; a]$ et $[a; 1]$ . Or, d’après la question précédente, l’aire $A_{1}$ est égale à $\int_{0}^{a} f (x) d x$ u.a. et l’aire $A_{2}$ est égale à $\int_{a}^{1} f (x) d x$ u.a.

Ainsi, $A_{1} = {[F (x)]}_{0}^{a} = F (a) - F (0)$ et $A_{2} = {[F (x)]}_{a}^{1} = F (1) - F (a) .$

Soit $a$ un réel compris entre 0 et 1. Si ce réel satisfait la condition (E), alors :

$\begin{array}{l} A_{1} = A_{2} \Rightarrow F (a) - F (0) = F (1) - F (a) \\ \Rightarrow 2 F (a) = F (0) + F (1) \\ \Rightarrow F (a) = \frac{F (0) + F (1)}{2} . \end{array}$

Un tel réel $a$ vérifie donc l’égalité $F (a) = \frac{F (0) + F (1)}{2} .$

Comme dans le point précédent, toutes les implications $(\Rightarrow)$ peuvent être remplacées par des équivalences $(\Leftrightarrow),$ la réciproque est vraie, à savoir « si le réel $a$ est tel que $F (a) = \frac{F (0) + F (1)}{2},$ alors le réel $a$ vérifie la condition (E). »

▶ 3. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Une primitive de la fonction $f : x \mapsto e^{x}$ sur ℝ donc sur l’intervalle [0 ; 1] est $F : x \mapsto e^{x}$ .

Notez bien

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0,$ pour tout entier relatif $n,$

$a = b \Leftrightarrow \ln a = \ln b$ ; $\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ ; $\ln a^{n} = n \times \ln a$ .

$e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .

D’après la question précédente, un réel $a$ de $] 0; 1 [$ satisfait la condition (E) si et seulement si $F (a) = \frac{F (0) + F (1)}{2}$ qui s’écrit alors ici $e^{a} = \frac{e^{0} + e^{1}}{2} = \frac{1 + e}{2}$ .

Mais, $e^{a} = \frac{1 + e}{2}$ est équivalent à $\ln (e^{a}) = \ln (\frac{1 + e}{2})$ ou encore $a = \ln (1 + e) - \ln (2)$ .

La condition (E) est remplie pour un unique réel $a$ égal à $\ln (1 + e) - \ln (2)$ .

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Déterminons une primitive de la fonction $f : x \mapsto \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ sur l’intervalle [0 ; 1].

Notez bien

Pour toute fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I,$ $u$ ne s’annulant pas sur $I,$ une primitive de $- \frac{u^{'}}{u^{2}}$ est $\frac{1}{u} .$

Pour ce faire, notons $u$ la fonction affine définie sur [0 ; 1] par $u (x) = x + 2 .$ Cette fonction est clairement dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée $u^{'}$ est définie sur cet intervalle par $u^{'} (x) = 1$ .

Précisons que la fonction $u$ est strictement positive sur cet intervalle et ainsi ne s’y annule pas. Alors, comme nous avons pour tout réel $x$ de [0 ; 1], $f (x) = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} = - (- \frac{u^{'} (x)}{{(u (x))}^{2}}),$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 1] est $F : x \mapsto - \frac{1}{u (x)} = - \frac{1}{x + 2}$ .

D’après la question précédente, un réel $a$ de ]0 ; 1[ satisfait la condition (E) si et seulement si $F (a) = \frac{F (0) + F (1)}{2}$ qui s’écrit alors ici $- \frac{1}{a + 2} = \frac{- \frac{1}{2} + (- \frac{1}{3})}{2}$ .

$\begin{array}{l} Or, - \frac{1}{a + 2} = \frac{- \frac{1}{2} + (- \frac{1}{3})}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{a + 2} = \frac{- \frac{5}{6}}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a + 2} = \frac{5}{12} \\ \Leftrightarrow a + 2 = \frac{12}{5} \\ \Leftrightarrow a = \frac{2}{5} . \end{array}$

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à $\frac{2}{5}$ .

partie b

▶ 1. Démontrer une implication

Soit $a$ un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E).

Une primitive de la fonction polynôme de degré deux $f : x \mapsto 4 - 3 x^{2}$ sur l’intervalle [0 ; 1] est $F : x \mapsto 4 x - x^{3}$ . Il en découle d’après l’équivalence justifiée à la question A 2. b), que le réel $a$ est tel que $4 a - a^{3} = \frac{(4 \times 0 - 0^{3}) + (4 \times 1 - 1^{3})}{2} .$

Ce qui donne, après simplification, $4 a - a^{3} = \frac{3}{2} .$ Or, nous avons :

$4 a - a^{3} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4 a = a^{3} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{a^{3}}{4} + \frac{3}{8} .$

Nous en concluons que si a est un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E) alors a est solution de l’équation $x = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ .

▶ 2. a) Calculer un terme d’une suite

Nous avons $u_{1} = g (u_{0}) = g (0) = \frac{0^{3}}{4} + \frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 .$

La valeur de $u_{1}$ est 0,375.

b) Justifier les variations d’une fonction

La fonction $g$ est une fonction polynôme de degré trois. Elle est alors dérivable sur ℝ donc sur l’intervalle [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par $g^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{4}$ . Comme, pour tout réel $x$ de [0 ; 1], $g^{'} (x) \geq 0$ , alors la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer des inégalités par récurrence

Soit la propriété $P (n) : 0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1 .$

Initialisation : $u_{0} = 0$ (énoncé) et $u_{1} = 0,375$ (question B 1.). Nous avons alors : $0 \leq u_{0} = 0 \leq u_{1} = 0,375 \leq 1 .$ La propriété est initialisée.

Hérédité : nous supposons que la propriété $P (k) : 0 \leq u_{k} \leq u_{k + 1} \leq 1$ est vraie pour un entier naturel $k$ (hypothèse de récurrence). Démontrons que la propriété $P (k + 1) : 0 \leq u_{k + 1} \leq u_{k + 2} \leq 1$ est vérifiée.

Par hypothèse de récurrence, nous avons $0 \leq u_{k} \leq u_{k + 1} \leq 1$ . Comme la fonction $g$ est croissante sur [0 ; 1], $g (0) \leq g (u_{k}) \leq g (u_{k + 1}) \leq g (1)$ .

Par définition de la suite $(u_{n}),$ il en découle que : $g (0) \leq u_{k + 1} \leq u_{k + 2} \leq g (1)$ .

Or, $g (0) = \frac{3}{8} \geq 0$ et $g (1) = \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = 0,625 \leq 1$ . Il s’ensuit que $0 \leq u_{k + 1} \leq u_{k + 2} \leq 1$ . La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété $P (n)$ est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel $n$ , $0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1$ .

d) Démontrer la convergence d’une suite

D’après la question précédente, la suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par 1. Par le théorème de la convergence monotone, cette suite est convergente.

Notons $l$ la limite de la suite $(u_{n}) .$ Par définition de la suite $(u_{n}),$ nous avons pour tout entier naturel $n,$ $u_{n + 1} = g (u_{n}) = \frac{u_{n}^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ .

Or, nous avons $\lim_{n \to + \infty} u_{n + 1} = l$ et $\lim_{n \to + \infty} u_{n}^{3} = \lim_{n \to + \infty} u_{n} \times u_{n} \times u_{n} = l^{3}$ . Par produit et somme (opérations sur les limites), nous en déduisons que $l = \frac{l^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ .

De plus, par les inégalités justifiées à la question précédente, nous avons également pour tout entier naturel $n,$ $0 \leq u_{n} \leq 1$ , donc $0 \leq l \leq 1$ .

Or, il a été admis que l’équation $x = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{8}$ a une unique solution dans [0 ; 1] notée $a$ .

Nous en concluons que la limite l de la suite $(u_{n})$ est $a$ .

e) Calculer un terme d’une suite

À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons :

n	$u_{n}$
0	$0$
1	$0,375$
2	$0,388 183 5938$
3	$0,389 623 5070$
4	$0,389 786 8430$
5	$0,389 805 4474$
6	$0,389 807 5675$
7	$0,389 807 8091$
8	$0,389 807 836 6$
9	$0,389 807 8398$
10	$0,389 807 840 1$

Une valeur approchée de $u_{10}$ à $10^{- 8}$ près est $0,389 807 84 .$

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Partage d’un domaine

Partie A : Étude de quelques exemples

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Les thèmes clés

Les outils dont vous avez besoin

Nos coups de pouce

Partie A

Partie B

partie a

▶ 1. a) Déterminer une valeur sous contrainte

b) Déterminer une valeur sous contrainte

▶ 2. a) Exprimer une aire à l’aide d’une intégrale

b) Démontrer une équivalence

▶ 3. a) Déterminer une valeur sous contrainte

b) Déterminer une valeur sous contrainte

partie b

▶ 1. Démontrer une implication

▶ 2. a) Calculer un terme d’une suite

b) Justifier les variations d’une fonction

c) Démontrer des inégalités par récurrence

d) Démontrer la convergence d’une suite

e) Calculer un terme d’une suite

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