Passons à la suite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 2 • 6 points

Passons à la suite

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un = 1111562-Eqn4.

1. Calculer u0 = 1111562-Eqn5.

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un = 1111562-Eqn6.

b) En déduire la valeur exacte de u1.

3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables

i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée

Saisir n

Initialisation

Affecter à u la valeur…

Traitement

Pour i variant de 1 à…

Affecter à u la valeur…

Fin de Pour

Sortie

Afficher u

b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n

0

1

2

3

4

5

10

50

100

un

0,6931

0,3069

0,1931

0,1402

0,1098

0,0902

0,0475

0,0099

0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?

4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l = 0.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Primitives et intégrales  E11b • E11c • E11d • E13 • E15 1, 2. a), 4. a) et 4. b)

Logarithme népérien  E9a • E9d 1.

Suites  E2a • E2b • E2c • E2e 3. b), 4. et 5.

Algorithme

Obtention d’un terme d’indice donné  A3 3. a)

Nos coups de pouce

2. b) Exprimez 1111562-Eqn15 en fonction de 1111562-Eqn16 en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l’aide de la question 1.

3. a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d’initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez 1111562-Eqn17 en fonction de 1111562-Eqn18 à l’aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu’il est nécessaire d’utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer une intégrale

La fonction 1111562-Eqn111 qui à tout réel 1111562-Eqn112 de l’intervalle 1111562-Eqn113 associe le réel 1111562-Eqn114 est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.

Notez bien

1111562-Eqn129.

Appelons 1111562-Eqn115 la fonction définie sur 1111562-Eqn116 par 1111562-Eqn117 Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par 1111562-Eqn118 À noter que la fonction 1111562-Eqn119 est strictement positive sur 1111562-Eqn120 : 1111562-Eqn121. La fonction 1111562-Eqn122 étant de la forme 1111562-Eqn123 avec 1111562-Eqn124 strictement positive sur 1111562-Eqn125 elle admet par exemple pour primitive la fonction 1111562-Eqn126

Par conséquent, 1111562-Eqn128.

2. a) Établir une égalité

Soit 1111562-Eqn130 un entier naturel. Nous avons :

1111562-Eqn131 (définition de la suite u)

1111562-Eqn132 (linéarité de l’intégrale)

1111562-Eqn133 (factorisation)

1111562-Eqn134 (simplification)

1111562-Eqn135 (primitive d’une fonction usuelle)

1111562-Eqn136.

Ainsi, pour tout entier naturel 1111562-Eqn1371111562-Eqn138

b) Déterminer la valeur exacte d’un terme d’une suite

D’après la question précédente pour 1111562-Eqn139 nous avons : 1111562-Eqn140 ce qui peut également s’écrire 1111562-Eqn141 Comme 1111562-Eqn142 (question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé : 1111562-Eqn143.

3. a) Compléter un algorithme

D’après la question 1., le premier terme 1111562-Eqn144 a pour valeur 1111562-Eqn145 La phase d’initialisation est alors : Affecter à 1111562-Eqn146la valeur 1111562-Eqn147.

Lors de la phase de traitement, l’algorithme doit calculer les termes suivants : 1111562-Eqn148 à 1111562-Eqn149.

De ce fait, il est nécessaire d’utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) 1111562-Eqn150 fois, ce qui justifie l’emploi d’une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pour 1111562-Eqn151variant de 1 à 1111562-Eqn152.

La relation de récurrence est pour tout entier naturel 1111562-Eqn1531111562-Eqn154 qui peut s’écrire également 1111562-Eqn155. Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l’inverse de l’indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :

Affecter à 1111562-Eqn156 la valeur 1111562-Eqn157.

b) Émettre une conjecture

Nous constatons que 1111562-Eqn158 se rapproche de zéro quand 1111562-Eqn159 devient grand.

Nous pouvons conjecturer que la suite 1111562-Eqn160est convergente vers zéro.

Nous constatons également que :1111562-Eqn161

Nous pouvons aussi conjecturer que la suite 1111562-Eqn162est décroissante et strictement positive.

4. a) Justifier le sens de variation d’une suite

Soit 1111562-Eqn163 un entier naturel. Étudions le signe de la différence 1111562-Eqn164 Nous avons :

1111562-Eqn165 (définition de la suite u)

1111562-Eqn166 (linéarité de l’intégrale)

1111562-Eqn167.

Pour tout réel 1111562-Eqn168 de l’intervalle 1111562-Eqn1691111562-Eqn1701111562-Eqn171 et 1111562-Eqn172. Cela implique que 1111562-Eqn173, et par propriété de l’intégrale, 1111562-Eqn174. Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, 1111562-Eqn175 ce qui s’écrit également : 1111562-Eqn176. La suite 1111562-Eqn177est donc décroissante.

b) Démontrer la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel 1111562-Eqn1781111562-Eqn179. Or, pour tout réel 1111562-Eqn180 de l’intervalle 1111562-Eqn1811111562-Eqn182 et 1111562-Eqn183 Le terme 1111562-Eqn184 est donc positif comme intégrale d’une fonction positive, fonction qui à tout réel 1111562-Eqn185 de 1111562-Eqn186 associe 1111562-Eqn187.

La suite 1111562-Eqn188 étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suite 1111562-Eqn189est convergente.

5. Déterminer la limite d’une suite

D’après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :

pour tout entier naturel 1111562-Eqn1901111562-Eqn191

Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :

1111562-Eqn192

La limite de la suite 1111562-Eqn193 étant notée 1111562-Eqn194 et 1111562-Eqn195 nous avons l’égalité : 1111562-Eqn196 Ainsi 1111562-Eqn197 et la suite 1111562-Eqn198converge donc vers zéro.