Intégration
matT_1505_09_08C
Ens. spécifique
18
Liban • Mai 2015
Exercice 2 • 6 points
Passons à la suite
On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un = 
.
▶ 1. Calculer u0 = 
.
▶ 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un = 
.
b) En déduire la valeur exacte de u1.
▶ 3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
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Variables |
i et n sont des entiers naturels u est un réel |
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Entrée |
Saisir n |
|
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Initialisation |
Affecter à u la valeur… |
|
|
Traitement |
Pour i variant de 1 à… |
|
|
Affecter à u la valeur… |
||
|
Fin de Pour |
||
|
Sortie |
Afficher u |
|
b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
50 |
100 |
|
un |
0,6931 |
0,3069 |
0,1931 |
0,1402 |
0,1098 |
0,0902 |
0,0475 |
0,0099 |
0,0050 |
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?
▶ 4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.
b) Démontrer que la suite (un) est convergente.
▶ 5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l = 0.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Primitives et intégrales E11b • E11c • E11d • E13 • E15 → 1, 2. a), 4. a) et 4. b)
Logarithme népérien E9a • E9d → 1.
Suites E2a • E2b • E2c • E2e → 3. b), 4. et 5.
Algorithme
Obtention d’un terme d’indice donné A3 → 3. a)
Nos coups de pouce
▶ 2. b) Exprimez 
en fonction de 
en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l’aide de la question 1.
▶ 3. a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d’initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez 
en fonction de 
à l’aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu’il est nécessaire d’utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.
