Corrigé

▶ 1. Calculer une intégrale

La fonction qui à tout réel de l’intervalle associe le réel est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.

Appelons la fonction définie sur par Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par À noter que la fonction est strictement positive sur  : . La fonction étant de la forme avec strictement positive sur elle admet par exemple pour primitive la fonction

Par conséquent, .

▶ 2. a) Établir une égalité

Soit un entier naturel. Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l’intégrale)

 (factorisation)

 (simplification)

 (primitive d’une fonction usuelle)

.

Ainsi, pour tout entier naturel

b) Déterminer la valeur exacte d’un terme d’une suite

D’après la question précédente pour nous avons : ce qui peut également s’écrire Comme (question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé : .

▶ 3. a) Compléter un algorithme

D’après la question 1., le premier terme a pour valeur La phase d’initialisation est alors : Affecter à la valeur .

Lors de la phase de traitement, l’algorithme doit calculer les termes suivants : à .

De ce fait, il est nécessaire d’utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) fois, ce qui justifie l’emploi d’une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pour variant de 1 à .

La relation de récurrence est pour tout entier naturel qui peut s’écrire également . Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l’inverse de l’indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :

Affecter à la valeur .

b) Émettre une conjecture

Nous constatons que se rapproche de zéro quand devient grand.

Nous pouvons conjecturer que la suite est convergente vers zéro.

Nous constatons également que :

Nous pouvons aussi conjecturer que la suite est décroissante et strictement positive.

▶ 4. a) Justifier le sens de variation d’une suite

Soit un entier naturel. Étudions le signe de la différence Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l’intégrale)

.

Pour tout réel de l’intervalle et . Cela implique que , et par propriété de l’intégrale, . Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, ce qui s’écrit également : . La suite est donc décroissante.

b) Démontrer la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel . Or, pour tout réel de l’intervalle et Le terme est donc positif comme intégrale d’une fonction positive, fonction qui à tout réel de associe .

La suite étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suite est convergente.

▶ 5. Déterminer la limite d’une suite

D’après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :

pour tout entier naturel

Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :

La limite de la suite étant notée et nous avons l’égalité : Ainsi  et la suite converge donc vers zéro.