Annale corrigée Exercice Ancien programme

Passons à la suite

Liban • Mai 2015

Exercice 2 • 6 points

Passons à la suite

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un = 1111562-Eqn4.

1. Calculer u0 = 1111562-Eqn5.

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un = 1111562-Eqn6.

b) En déduire la valeur exacte de u1.

3. a) Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.

Variables

i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée

Saisir n

Initialisation

Affecter à u la valeur…

Traitement

Pour i variant de 1 à…

Affecter à u la valeur…

Fin de Pour

Sortie

Afficher u

b) À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n

0

1

2

3

4

5

10

50

100

un

0,6931

0,3069

0,1931

0,1402

0,1098

0,0902

0,0475

0,0099

0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?

4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l = 0.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

Primitives et intégrales  E11b • E11c • E11d • E13 • E15 1, 2. a), 4. a) et 4. b)

Logarithme népérien  E9a • E9d 1.

Suites  E2a • E2b • E2c • E2e 3. b), 4. et 5.

Algorithme

Obtention d'un terme d'indice donné  A3 3. a)

Nos coups de pouce

2. b) Exprimez 1111562-Eqn15 en fonction de 1111562-Eqn16 en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l'aide de la question 1.

3. a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d'initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez 1111562-Eqn17 en fonction de 1111562-Eqn18 à l'aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu'il est nécessaire d'utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.

Corrigé

1. Calculer une intégrale

La fonction 1111562-Eqn111 qui à tout réel 1111562-Eqn112 de l'intervalle 1111562-Eqn113 associe le réel 1111562-Eqn114 est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.

Notez bien

1111562-Eqn129.

Appelons 1111562-Eqn115 la fonction définie sur 1111562-Eqn116 par 1111562-Eqn117 Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par 1111562-Eqn118 À noter que la fonction 1111562-Eqn119 est strictement positive sur 1111562-Eqn120 : 1111562-Eqn121. La fonction 1111562-Eqn122 étant de la forme 1111562-Eqn123 avec 1111562-Eqn124 strictement positive sur 1111562-Eqn125 elle admet par exemple pour primitive la fonction 1111562-Eqn126

Par conséquent, 1111562-Eqn128.

2. a) Établir une égalité

Soit 1111562-Eqn130 un entier naturel. Nous avons :

1111562-Eqn131 (définition de la suite u)

1111562-Eqn132 (linéarité de l'intégrale)

1111562-Eqn133 (factorisation)

1111562-Eqn134 (simplification)

1111562-Eqn135 (primitive d'une fonction usuelle)

1111562-Eqn136.

Ainsi, pour tout entier naturel 1111562-Eqn1371111562-Eqn138

b) Déterminer la valeur exacte d'un terme d'une suite

D'après la question précédente pour 1111562-Eqn139 nous avons : 1111562-Eqn140 ce qui peut également s'écrire 1111562-Eqn141 Comme 1111562-Eqn142 (question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé : 1111562-Eqn143.

3. a) Compléter un algorithme

D'après la question 1., le premier terme 1111562-Eqn144 a pour valeur 1111562-Eqn145 La phase d'initialisation est alors : Affecter à 1111562-Eqn146la valeur 1111562-Eqn147.

Lors de la phase de traitement, l'algorithme doit calculer les termes suivants : 1111562-Eqn148 à 1111562-Eqn149.

De ce fait, il est nécessaire d'utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) 1111562-Eqn150 fois, ce qui justifie l'emploi d'une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pour 1111562-Eqn151variant de 1 à 1111562-Eqn152.

La relation de récurrence est pour tout entier naturel 1111562-Eqn1531111562-Eqn154 qui peut s'écrire également 1111562-Eqn155. Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l'inverse de l'indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :

Affecter à 1111562-Eqn156 la valeur 1111562-Eqn157.

b) Émettre une conjecture

Nous constatons que 1111562-Eqn158 se rapproche de zéro quand 1111562-Eqn159 devient grand.

Nous pouvons conjecturer que la suite 1111562-Eqn160est convergente vers zéro.

Nous constatons également que :1111562-Eqn161

Nous pouvons aussi conjecturer que la suite 1111562-Eqn162est décroissante et strictement positive.

4. a) Justifier le sens de variation d'une suite

Soit 1111562-Eqn163 un entier naturel. Étudions le signe de la différence 1111562-Eqn164 Nous avons :

1111562-Eqn165 (définition de la suite u)

1111562-Eqn166 (linéarité de l'intégrale)

1111562-Eqn167.

Pour tout réel 1111562-Eqn168 de l'intervalle 1111562-Eqn1691111562-Eqn1701111562-Eqn171 et 1111562-Eqn172. Cela implique que 1111562-Eqn173, et par propriété de l'intégrale, 1111562-Eqn174. Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, 1111562-Eqn175 ce qui s'écrit également : 1111562-Eqn176. La suite 1111562-Eqn177est donc décroissante.

b) Démontrer la convergence d'une suite

Pour tout entier naturel 1111562-Eqn1781111562-Eqn179. Or, pour tout réel 1111562-Eqn180 de l'intervalle 1111562-Eqn1811111562-Eqn182 et 1111562-Eqn183 Le terme 1111562-Eqn184 est donc positif comme intégrale d'une fonction positive, fonction qui à tout réel 1111562-Eqn185 de 1111562-Eqn186 associe 1111562-Eqn187.

La suite 1111562-Eqn188 étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suite 1111562-Eqn189est convergente.

5. Déterminer la limite d'une suite

D'après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :

pour tout entier naturel 1111562-Eqn1901111562-Eqn191

Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :

1111562-Eqn192

La limite de la suite 1111562-Eqn193 étant notée 1111562-Eqn194 et 1111562-Eqn195 nous avons l'égalité : 1111562-Eqn196 Ainsi 1111562-Eqn197 et la suite 1111562-Eqn198converge donc vers zéro.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner