Passons à la suite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 2 • 6 points

Passons à la suite

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un = 1111562-Eqn4.

1. Calculer u0 = 1111562-Eqn5.

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un = 1111562-Eqn6.

b) En déduire la valeur exacte de u1.

3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables

i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée

Saisir n

Initialisation

Affecter à u la valeur…

Traitement

Pour i variant de 1 à…

Affecter à u la valeur…

Fin de Pour

Sortie

Afficher u

b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n

0

1

2

3

4

5

10

50

100

un

0,6931

0,3069

0,1931

0,1402

0,1098

0,0902

0,0475

0,0099

0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?

4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l = 0.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Primitives et intégrales  E11b • E11c • E11d • E13 • E15 1, 2. a), 4. a) et 4. b)

Logarithme népérien  E9a • E9d 1.

Suites  E2a • E2b • E2c • E2e 3. b), 4. et 5.

Algorithme

Obtention d’un terme d’indice donné  A3 3. a)

Nos coups de pouce

2. b) Exprimez 1111562-Eqn15 en fonction de 1111562-Eqn16 en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l’aide de la question 1.

3. a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d’initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez 1111562-Eqn17 en fonction de 1111562-Eqn18 à l’aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu’il est nécessaire d’utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.