Intégration
matT_1505_09_08C
Ens. spécifique
18
Liban • Mai 2015
Exercice 2 • 6 points
Passons à la suite
On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un = 
.
▶ 1. Calculer u0 = 
.
▶ 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un = 
.
b) En déduire la valeur exacte de u1.
▶ 3. a) Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
| Variables | i et n sont des entiers naturels u est un réel | |
| Entrée | Saisir n | |
| Initialisation | Affecter à u la valeur… | |
| Traitement | Pour i variant de 1 à… | |
| Affecter à u la valeur… | ||
| Fin de Pour | ||
| Sortie | Afficher u | |
b) À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 50 | 100 |
| un | 0,6931 | 0,3069 | 0,1931 | 0,1402 | 0,1098 | 0,0902 | 0,0475 | 0,0099 | 0,0050 |
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?
▶ 4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.
b) Démontrer que la suite (un) est convergente.
▶ 5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l = 0.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Primitives et intégrales E11b • E11c • E11d • E13 • E15 → 1, 2. a), 4. a) et 4. b)
Logarithme népérien E9a • E9d → 1.
Suites E2a • E2b • E2c • E2e → 3. b), 4. et 5.
Algorithme
Obtention d'un terme d'indice donné A3 → 3. a)
Nos coups de pouce
▶ 2. b) Exprimez 
en fonction de 
en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l'aide de la question 1.
▶ 3. a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d'initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez 
en fonction de 
à l'aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu'il est nécessaire d'utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.
Corrigé
▶ 1. Calculer une intégrale
La fonction 
qui à tout réel 
de l'intervalle 
associe le réel 
est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.
Notez bien
.
Appelons 
la fonction définie sur 
par 
Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par 
À noter que la fonction 
est strictement positive sur 
: 
. La fonction 
étant de la forme 
avec 
strictement positive sur 
elle admet par exemple pour primitive la fonction 
Par conséquent, 
.
▶ 2. a) Établir une égalité
Soit 
un entier naturel. Nous avons :
(définition de la suite u)
(linéarité de l'intégrale)
(factorisation)
(simplification)
(primitive d'une fonction usuelle)
.
Ainsi, pour tout entier naturel 
b) Déterminer la valeur exacte d'un terme d'une suite
D'après la question précédente pour 
nous avons : 
ce qui peut également s'écrire 
Comme 
(question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé : 
.
▶ 3. a) Compléter un algorithme
D'après la question 1., le premier terme 
a pour valeur 
La phase d'initialisation est alors : Affecter à 
la valeur 
.
Lors de la phase de traitement, l'algorithme doit calculer les termes suivants : 
à 
.
De ce fait, il est nécessaire d'utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) 
fois, ce qui justifie l'emploi d'une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pour 
variant de 1 à 
.
La relation de récurrence est pour tout entier naturel 
qui peut s'écrire également 
. Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l'inverse de l'indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :
Affecter à 
la valeur 
.
b) Émettre une conjecture
Nous constatons que 
se rapproche de zéro quand 
devient grand.
Nous pouvons conjecturer que la suite 
est convergente vers zéro.
Nous constatons également que :
Nous pouvons aussi conjecturer que la suite 
est décroissante et strictement positive.
▶ 4. a) Justifier le sens de variation d'une suite
Soit 
un entier naturel. Étudions le signe de la différence 
Nous avons :
(définition de la suite u)
(linéarité de l'intégrale)
.
Pour tout réel 
de l'intervalle 
et 
. Cela implique que 
, et par propriété de l'intégrale, 
. Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, 
ce qui s'écrit également : 
. La suite 
est donc décroissante.
b) Démontrer la convergence d'une suite
Pour tout entier naturel 
. Or, pour tout réel 
de l'intervalle 
et 
Le terme 
est donc positif comme intégrale d'une fonction positive, fonction qui à tout réel 
de 
associe 
.
La suite 
étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suite 
est convergente.
▶ 5. Déterminer la limite d'une suite
D'après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :
pour tout entier naturel 
Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :
La limite de la suite 
étant notée 
et 
nous avons l'égalité : 
Ainsi 
et la suite 
converge donc vers zéro.