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Performance des matériaux de construction

Polynésie française • Septembre 2017

Exercice 1 • 7 points • 1 h 10

Performance des matériaux de construction

Les thèmes du programme

Transferts d'énergie entre systèmes macroscopiques

Transmettre et stocker de l'information

 

Construire des immeubles de grande hauteur en bois est désormais possible. Jusqu'à présent, le bois assurait les ossatures et les charpentes des maisons individuelles. Les techniques de lamellé collé consistant à coller entre elles des lames de bois permettaient la construction d'immeubles collectifs de quatre étages.

Depuis quelques années, il est possible de construire des immeubles d'une quinzaine d'étages grâce à la fabrication de panneaux porteurs par la technique de « cross laminated timber » (CLT).

D'après le site www.sciencesetavenir.fr

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© Carta Associés/Ywood

Données

La résistance thermique Rth d'une paroi se détermine par la relation :

Rth=eλ×S

avec λ, conductivité thermique du matériau en W ∙ m–1 ∙ K–1 

avec e, épaisseur de la paroi en m 

avec S, surface de la paroi en m2.

Dans le cas d'une paroi formée de plusieurs couches de matériaux différents, la résistance thermique totale est la somme des résistances des différentes couches.

Le flux thermique ϕ, exprimé en watt (W), est une grandeur positive qui représente l'énergie transférée à travers une paroi par unité de temps. Pour une paroi plane dont les deux faces sont à des températures T1 et T2, le flux thermique s'exprime par la relation :

φ=T1T2Rth où T1 et T2 sont exprimées en kelvin (K).

Conductivité thermique de divers matériaux :

Matériau

Épicéa

Béton armé

Verre

Air

Argon

Conductivité thermique en W ∙ m–1 ∙ K–1

0,11

2,2

1,2

0,026

0,018

Dimensions d'un panneau CLT en épicéa :

longueur : 6,0 m 

largeur : 3,0 m 

épaisseur : 20 cm.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

1. performance thermique de l'immeuble 35 min

1 Résistance thermique du panneau CLT en épicéa

1. Déterminer l'unité de la résistance thermique. (0,25 point)

2. Déterminer la valeur de la résistance thermique du panneau CLT en épicéa. (0,25 point)

3. Déterminer l'épaisseur de béton armé nécessaire pour obtenir une paroi de même surface que le panneau CLT et ayant les mêmes performances thermiques. Commenter le résultat. (0,75 point)

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2 Les fenêtres en bois de l'immeuble sont constituées d'un double vitrage composé de deux feuilles de verre de 4,0 mm d'épaisseur séparées par un espace hermétique clos renfermant 12,0 mm d'air. On étudie une fenêtre de surface = 4,0 m².

Réglementation en vigueur. Le coefficient de transmission thermique U d'un vitrage doit être inférieur à un niveau maximal réglementaire de 2 W ∙ m–2 ∙ K–1.

Le coefficient de transmission thermique U d'une paroi homogène multicouche est l'énergie thermique qui traverse cette paroi en régime permanent, par unité de temps, par unité de surface et pour une différence de température de 1 °C entre la face interne et la face externe.

1. Citer le mode de transfert d'énergie prépondérant à travers le vitrage. En donner une interprétation microscopique. (0,5 point)

2. Déterminer la valeur du flux thermique traversant la fenêtre en double vitrage pour un écart de température de 10 °C entre l'intérieur et l'extérieur du bâtiment. (0,5 point)

3. En supposant que seul le mode de transfert d'énergie prépondérant intervient, peut-on dire que ce vitrage respecte la réglementation ? Justifier. (0,75 point)

4. Proposer, en justifiant, deux solutions pour améliorer les performances thermiques de ce vitrage. (0,5 point)

2. performance acoustique de l'immeuble 25 min

Les parois vitrées sont également des isolants acoustiques, dont la performance est caractérisée par une grandeur appelée atténuation acoustique (en dB).

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Pour l'étude mécanique d'un double vitrage, l'air entre les deux parois peut être modélisé par un ressort. Les vibrations de la paroi 1, dues à l'excitation provoquée par une onde acoustique, sont ainsi transmises à la paroi 2 avec un affaiblissement causé par la lame d'air qui les sépare. À une certaine fréquence critique d'excitation, correspondant à la fréquence de résonance du système, les vibrations sont mieux transmises et l'atténuation acoustique diminue. Dans ce modèle, la fréquence critique fc pour un double vitrage, exprimée en Hz, est donnée par :

fc=60×1d(1mS1+1mS2)

avec d, distance entre les deux parois (en m) 

avec mS1 et mS2, masses surfaciques des parois de verre 1 et 2 (kg ∙ m–2), la masse surfacique étant définie comme le rapport de la masse de la vitre sur sa surface.

Les doubles vitrages sont caractérisés par trois nombres qui correspondent aux épaisseurs exprimées en millimètres de la première feuille de verre, de la couche d'air et de la dernière feuille de verre. Le double vitrage étudié dans la partie précédente est identifié par 4-12-4. Quand la vitre est un simple vitrage, un seul nombre est donné, c'est l'épaisseur de la vitre en millimètres.

1 Pour une vitre d'épaisseur e, la masse surfacique mS s'exprime en fonction de la masse volumique ρ et de e par la relation mS = ρ × e.

Vérifier, par analyse dimensionnelle, que cette relation est correcte. (0,5 point)

2 Calculer la valeur de la fréquence critique pour le double vitrage 4-12-4 de surface = 4,0 m2, sachant que la masse volumique ρ du verre est égale à 2 500 kg ∙ m–3. Le résultat obtenu est-il cohérent avec les courbes ci-dessous donnant l'atténuation acoustique de différents vitrages en fonction de la fréquence, reproduits ci-après ? (1 point)

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Graphique a

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Graphique b

3 Le double vitrage présente-t-il un intérêt par rapport au simple vitrage du point de vue de l'isolation acoustique ? Justifier. (0,5 point)

4 Comment les fabricants peuvent-ils modifier le double vitrage pour améliorer ses propriétés acoustiques ? (0,5 point)

3. contrôle de la qualité d'isolation thermique
d'un immeuble 10 min

Le diagnostic thermique d'un bâtiment peut être réalisé par thermo­graphie infrarouge. Le capteur d'une caméra infrarouge génère une tension électrique proportionnelle à l'intensité du rayonnement qu'il reçoit du bâtiment. Le signal est numérisé, puis transformé en points lumineux sur un écran à l'aide d'un calculateur. La couleur de chaque pixel de l'image dépend de la température de chaque point de l'objet.

En thermographie infrarouge, on travaille généralement dans une bande spectrale qui s'étend de 2 à 15 μm et certaines bandes sont privilégiées.

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© FLIR/DR

D'après le site www.ctta.fr

Extrait de la notice technique de la caméra C.A 1886 RayCAm

Taille d'une image en pixels : 160 × 120.

Sensibilité thermique : 0,08 °C à 30 °C.

Gamme de mesure : – 20 °C à + 600 °C (1 000 °C ou 1 500 °C en option).

1 000 images enregistrables sur carte MiniSD.

Torche et pointeur laser.

Transmission des ondes électromagnétiques par l'atmosphère terrestre

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1 Identifier l'intervalle de longueur d'onde dans lequel il est préférable d'utiliser la caméra thermique. Justifier. (0,25 point)

2 Quel type de convertisseur doit-on placer entre le capteur et le calculateur qui génère l'image ? (0,25 point)

3 Sachant qu'un pixel est codé en 24 bits, quelle serait la capacité minimale, en octets, de la carte MiniSD en l'absence de compression ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

1 1. Utilisez la relation de la résistance thermique donnée dans l'énoncé et les unités données pour les différentes grandeurs.

3. Deux surfaces ayant les mêmes performances thermiques ont des résistances thermiques identiques.

2 2. Appliquez la formule donnée pour le flux thermique ϕ et pensez que la résistance thermique du double vitrage est égale à la somme des ­résistances thermiques de chaque paroi le constituant (voir le schéma de présentation).

3. Pour savoir si la réglementation est respectée, vous devez déterminer le coefficient de transmission thermique U. Pour cela, pensez à utiliser les définitions de ce coefficient et du flux thermique données dans l'énoncé.

4. Améliorer les performances signifie « diminuer le flux thermique » ou bien « augmenter la résistance thermique » de ce vitrage.

Partie 2

1 Afin de vérifier la cohérence de la relation mS = ρ × e, montrez, en utilisant les dimensions des différentes grandeurs physiques, que les deux membres de l'égalité ont la même dimension.

2 Appliquez la formule pour le vitrage 4-12-4 après avoir identifié, dans l'énoncé, la signification de chaque terme.

3 Exploiter le graphique a vous permet de comparer simple et double vitrage.

4 Exploiter le graphique b vous permet de comparer deux doubles vitrages différents.

Partie 3

2 À partir de la présentation du dispositif, identifiez la nature (analogique ou numérique) des différents signaux.

Corrigé

1. performance thermique de l'immeuble

1 1. Déterminer l'unité d'une grandeur

La résistance thermique Rth d'une paroi est donnée par :

Rth = eλ×S

Pour trouver l'unité de cette grandeur physique, on utilise les unités des trois grandeurs qui interviennent dans cette relation :

l'épaisseur e de la paroi s'exprime en m 

la conductivité thermique λ du matériau s'exprime en W ∙ m–1 ∙ K–1 

la surface S de la paroi s'exprime en m².

On en déduit ainsi que Rth s'exprime en :

mWm1K1m2= mWmK1= K ∙ W–1

On en conclut que l'unité de la résistance thermique Rth est le kelvin par watt (K ∙ W–1).

2. Calculer la valeur d'une grandeur

attention !

Pensez à convertir e en mètre car λ s'exprime en W ∙ m–1 ∙ K–1 et non en W ∙ cm–1 ∙ K–1.

La résistance thermique du panneau de CLT en épicéa de conductivité thermique λépicéa, ­d'épaisseur e, de longueur L et de largeur est donnée par :

Rth CLT épicéa = eλépicéa×S avec S = L × 

d'où : Rth CLT épicéa = 20×1020,11×6,0×3,0= 1,0 × 10–1 K · W–1

3. Déterminer l'épaisseur d'une autre paroi ayant les mêmes caractéristiques thermiques

Il s'agit de déterminer l'épaisseur ebéton de béton armé pour avoir une paroi de même surface S et de même résistance thermique Rth CLT épicéa que le panneau de CLT. La résistance thermique du béton armé est donnée par :

Rth béton = ebétonλbéton×S d'où ebéton = Rth béton × λbéton × S

Puisque les résistances thermiques du béton et du CLT doivent être les mêmes, nous avons Rth béton = Rth CLT épicéa. Or S = L × l d'où :

ebéton = Rth CLT épicéa × λbéton × L × l

ebéton = 1,0 × 10–1× 2,2 × 6,0 × 3,0 = 4,0 m

Calculons le rapport entre les deux épaisseurs :

ebétoneCLT épicéa= 4,020×102= 20

Nous en déduisons qu'il faudrait utiliser une paroi en béton armé 20 fois plus épaisse que le panneau CLT en épicéa pour avoir les mêmes performances thermiques que ce dernier !

2 1. Identifier un mode de transfert thermique

notez bien

Il existe trois modes de transfert thermique : la conduction, la convection et le rayonnement.

Le transfert thermique prépondérant à travers le vitrage s'appelle la conduction thermique : c'est un transfert thermique par contact d'une source chaude vers une source froide sans transport de matière. À l'échelle microscopique, l'agitation des molécules de la source chaude se transmet progressivement de proche en proche à celles de la source froide.

2. Calculer la valeur d'un flux thermique

Le flux thermique ϕ traversant la fenêtre en double vitrage est donné par :

ϕ = T1T2Rth double vitrage

Nous savons aussi que Rth double vitrage = Rth vitre verre + Rth air + Rth vitre verre.

D'où :

φ=T1T2everreλverre × S + eairλair × S +  everreλverre × S=T1T21S(2everreλverre + eairλair)φ=S(T1T2)(2everreλverre + eairλair)

Avec T1 – T2 = 10 °C, nous obtenons :

ϕ = 4,0×102×4,0×1031,2+12,0×1030,026= 8,5 × 10 W

3. Valider une réglementation grâce à un calcul

notez bien

Pensez à vérifier que la formule trouvée pour U est en accord avec l'unité W ∙ m–2 ∙ K–1

Calculons le coefficient de transmission thermique U de ce double vitrage sachant qu'il correspond à l'énergie thermique qui traverse ce double vitrage par unité de temps (soit le flux thermique ϕ), par unité de surface S et pour un écart de température ΔT = 1 °C. On peut ainsi écrire :

U = φS×ΔT

U = 8,5×104,0×10= 2,1 W ∙ m–2 ∙ K–1

On obtient donc une valeur pour ce coefficient de transmission thermique U supérieure à 2 W ∙ m–2 ∙ K–1 donc ce vitrage ne respecte pas la réglementation en vigueur.

4. Proposer des solutions pour améliorer les performances thermiques de ce vitrage

En calculant le flux thermique à la question 2 2, on a vu que :

Rth double vitrage = 2Rth vitre verre + Rth air

Pour augmenter la résistance thermique de ce double vitrage (et améliorer du même coup ses performances thermiques), on peut augmenter soit la résistance thermique des parois en verre et/ou la résistance thermique de la couche d'air. Comme, pour une paroi donnée, on a :

Rth = eλ×S avec λ et S constantes

on en déduit que, pour augmenter une résistance thermique Rth, il faut augmenter l'épaisseur e. Par conséquent, pour cette situation, on peut proposer :

d'augmenter l'épaisseur des vitres en verre 

d'augmenter l'épaisseur de la couche d'air 

voire d'augmenter le nombre de vitres en verre (triple vitrage) !

2. performance acoustique de l'immeuble

1 Vérifier une relation par analyse dimensionnelle

notez bien !

La dimension d'une grandeur X est notée [X]  elle s'exprime souvent en fonction des grandeurs suivantes : longueur, masse et temps.

Afin de vérifier la cohérence de la relation mS = ρ × e, il est nécessaire de montrer, en utilisant les dimensions des différentes grandeurs physiques, que les deux membres de l'égalité ont la même dimension.

Sachant que mS est une masse surfacique, exprimée en kg ∙ m–2, on en déduit que sa dimension est :

[mS] = masse × longueur–2

De plus, ρ est une masse volumique c'est-à-dire le rapport d'une masse par un volume, donc sa dimension est :

[ρ] = masse × longueur–3

Enfin, e est une épaisseur, donc sa dimension est celle d'une longueur :

[e] = longueur

Ainsi, on a :

[ρ × e] = [ρ] × [e] = masse × longueur–3× longueur = masse × longueur–2

On en déduit donc que [mS] = [ρ × e], donc la relation est cohérente.

2 Calculer la valeur d'une grandeur et comparer avec une valeur lue sur un graphique

notez bien

Cette question n'est pas « classique » mais faisable en exploitant, pas à pas, les informations données dans l'énoncé.

La fréquence critique fc est donnée par la relation de l'énoncé :

fc = 60 × 1d(1mS1+1mS2)

D'après l'énoncé, pour le double vitrage 4-12-4 :

le premier et le troisième chiffre correspondent à l'épaisseur des parois 1 et 2 en verre, soit e = 4 mm 

le deuxième nombre correspond à l'épaisseur de la couche d'air, c'est-à-dire à la distance entre les parois, soit d = 12 mm.

Les parois 1 et 2 en verre ayant la même surface S, la même épaisseur e et la même masse volumique ρ, elles ont donc la même masse surfacique :

mS1 = mS2 = mS avec mS = ρ × e

On a alors :

fc = 60 × 1d(1mS+1mS)= 60 × 1d×2mS= 60 × 2d×ρ×e

fc = 60 × 212×10×2500×4×103= 2,5 × 102 Hz

Nous obtenons donc une fréquence critique égale à 250 Hz (en gardant deux chiffres significatifs comme pour d, l'épaisseur e ne comportant qu'un seul chiffre significatif du fait de la notation).

En se plaçant sur les deux graphiques a et b à la fréquence critique de 250 Hz, on constate bien que l'atténuation acoustique est minimale, égale à 15 dB. Le résultat obtenu est donc cohérent avec les courbes d'atténuation acoustique.

3 Comparer simple et double vitrage d'un point de vue acoustique

En analysant les courbes du graphique a associées au simple vitrage (verre 4) et au double vitrage (verre 4-12-4), on peut constater que la courbe du double vitrage se situe au-dessus de celle du simple vitrage pour des fréquences comprises entre 100 Hz et 125 Hz ainsi que entre 700 Hz et 5 000 Hz. Par conséquent, le double vitrage ne permet une meilleure isolation acoustique que pour les domaines de fréquences précédents.

4 Analyser un graphique pour déterminer comment améliorer un double vitrage

D'après les courbes du graphique b, on constate que l'atténuation acoustique d'un verre 8-12-4 est toujours supérieure à celle d'un verre 4-12-4 pour des fréquences allant de 100 Hz à 5 000 Hz. On peut donc en déduire que, pour améliorer les propriétés acoustiques d'un double vitrage, les fabricants peuvent augmenter l'épaisseur d'une des feuilles de verre, voire des deux feuilles de verre.

3. contrôle de la qualité d'isolation thermique d'un immeuble

1 Identifier un intervalle de longueur d'onde

Sur le graphique, on constate que le facteur de transmission atmosphérique est égal à 100 % pour des longueurs d'onde comprises entre 8 et 14 µm. Ces rayonnements ne sont pas absorbés par l'atmosphère terrestre et peuvent donc être détectés par la caméra thermique.

2 Déterminer la nature d'un convertisseur

D'après l'énoncé, on sait que le capteur de la caméra génère une tension électrique, soit un signal de nature analogique. Puis le calculateur permet de numériser le signal. Cela nous permet d'en conclure qu'il est nécessaire de placer un convertisseur analogique-numérique (aussi appelé CAN), pour passer d'un signal analogique à un signal numérique.

3 Calculer la capacité de stockage d'un support numérique

Sachant qu'une carte miniSD permet d'enregistrer 1 000 images dont la taille de chacune est de 160 × 120 pixels et que chaque pixel est codé sur 24 bits, alors on en déduit que la capacité de stockage minimale de cette carte est égale à :

1 000 × 160 × 120 × 24 bits.

info

On rappelle qu'un octet correspond à 8 bits.

Comme 1 octet correspond à 8 bits, alors la capacité de stockage de cette carte, exprimée en octets, est donnée par :

1000×160×120×248= 5,76 × 107 octets.

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