Périmètre de rectangles

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Nombres et calculs

Exercice • 8 points

Périmètre de rectangles

ABCD est un rectangle tel que DC = 5 cm et BC = 2,5 cm.

N est le point du segment [AD] tel que AN = 1,5 cm. M est un point du segment [AB].

On note x la longueur du segment [AM] exprimée en centimètres (x est compris entre 0 et 5).

AMPN et MBCR sont des rectangles notés respectivement R1 et R2.

mat3_1600_00_23C_01

▶ 1. a) Exprimer, en fonction de x, le périmètre de R1.

b) Exprimer, en fonction de x, le périmètre de R2.

▶ 2. Résoudre l’équation 2x + 3 = − 2x + 15.

▶ 3. Sur le repère ci-après, représenter graphiquement les deux fonctions affines :

4522861-Eqn1et 4522861-Eqn2

pour 0  x  5.

mat3_1600_00_23C_02

▶ 4. Quelles sont les valeurs de AM pour lesquelles le périmètre de R2 est supérieur ou égal au périmètre de R1 ? (Aucune justification n’est attendue.)

Les clés du sujet

Points du programme

Production d’une expression littérale • Résolution d’équations • Tracé de courbes représentatives de fonctions affines • Résolution d’inéquations.

Nos coups de pouce

 1. a) Le périmètre du rectangle AMPN est égal à 2 × (AM + AN). Remplace AM et AN en utilisant le codage de la figure.

b) Calcule d’abord la longueur RC sachant que RC = DC - DR = DC - AM.

 2. Commence par ajouter 2x à chacun des deux membres de l’équation.

 3. f et g sont des fonctions affines, donc leurs représentations graphiques sont des droites. Observe que f(0) = 3, donc la droite représentant la fonction f passe par le point de coordonnées (0 ; 3). Cherche l’image d’un autre nombre par la fonction f pour trouver un autre point. Procède de même pour la fonction g.

 4. La fonction f représente le périmètre du rectangle R1. Cherche ce que représente la fonction g. À l’aide du graphique, cherche les valeurs de x pour lesquelles g(x)  f(x).

Corrigé

Corrigé

▶ 1. a) Les dimensions du rectangle R1 sont x et 1,5. Le périmètre de R1 est donc :

2 × (x + 1,5) = 2 × x + 2 × 1,5 = 4522861-Eqn11.

Rappel

Le périmètre d’un rectangle de largeur l et de longueur L est égal à 2 × (l + L).

b) Les dimensions du rectangle R2 sont RC et 2,5.

On a DC = DR + RC. On obtient RC = DC – DR. Or DR = AM = x, donc RC = 5 – x.

Le périmètre de R2 est donc 2 × [(5 – x) + 2,5] = 2 × (7,5 – x) = 4522861-Eqn12.

▶ 2. On a :

4522861-Eqn3

4522861-Eqn4

4522861-Eqn5

4522861-Eqn6

4522861-Eqn7.

Vérification : 4522861-Eqn8 et 4522861-Eqn9.

La solution de l’équation 2x + 3 = −2x + 15 est 3.

Méthode

Si on définit deux fonctions dans un exercice, elles correspondent aux résultats obtenus précédemment.

▶ 3. On a f(0) = 3 et f(5) = 13. La représentation graphique de la fonction f est la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 3) et (5 ; 13).

On a g(0) = 15 et g(5) = 5. La représentation graphique de la fonction g est la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 15) et (5 ; 5).

mat3_1600_00_23C_03

Méthode

L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites correspond à la solution de l’équation résolue à la question 2.

▶ 4. Les deux droites se coupent en x = 3. C’est la valeur de x pour laquelle les deux périmètres sont égaux.

Pour 4522861-Eqn10, la droite rouge représentant la fonction g est au-dessus de la droite verte représentant la fonction f. Les valeurs de x ou de AM pour lesquelles le périmètre de R2 est supérieur ou égal au périmètre de R1 sont donc comprises entre 0 cm et 3 cm.