Personnel et production d’une société fabriquant des composants électroniques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Personnel et production d’une société fabriquant des composants électroniques
 
 

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

Corrigé

32

Ens. Spécifique

matT_1306_04_05C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 4 • 4 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l’exercice.

Partie A

La direction d’une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d’embauche du personnel :

  • 80 % de CDI (contrat à durée indéterminée) ;
  • 20 % de CDD (contrat à durée déterminée).

On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :

 

CDI

CDD

Effectif total

Site de production A

315

106

421

Site de production B

52

16

68

 

>1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. (0,5 point)

>2. Pour une proportion , déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille , pour  et pour . (1 point)

>3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ? (0,5 point)

Partie B

Dans cette partie, on convient que l’on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique lorsque , où désigne la proportion dans une population, et désigne la taille d’un échantillon de cette population.

La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d’un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

>1. S’il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. (0,5 point)

>2. S’il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. (0,5 point)

>3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100 dans lequel 9 composants électroniques s’avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? (1 point)

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Deux conclusions peuvent être obtenues, suivant que la fréquence  observée sur l’échantillon appartient ou n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

 
Corrigé

Partie A

>1. Calculer des pourcentages

Sur le site A, 315 salariés sur 421 sont en CDI et .

Sur le site B, 52 salariés sur 68 sont en CDI et .

Donc le site A compte environ 74,82 % de salariés en CDI, le site B compte environ 76,47 % de salariés en CDI.

>2. Déterminer des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %

  • Pour

.

Les conditions sont remplies, on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :

,

soit en arrondissant :

  • Pour

.

Les conditions sont remplies, on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :

,

 

Notez bien

L’intervalle IB a une plus grande amplitude que l’intervalle IA car il correspond à une taille d’échantillon inférieure.

Les fluctuations diminuent lorsque la taille de l’échantillon augmente.

soit en arrondissant :

>3. Utiliser des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %

Pour le site A, la fréquence de CDI observée 0,7482 n’appartient pas à l’intervalle IA, donc on peut considérer que sur le site A, la proportion de CDI imposée par la direction n’est pas respectée.

Pour le site B, la fréquence de CDI observée 0,7647 appartient à l’intervalle IB, donc on peut considérer que sur le site B, la proportion de CDI imposée par la direction est respectée.

Partie B

>1. Déterminer si les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies

Avec et , .

On ne peut donc pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % si on prélève un échantillon de taille 50.

>2. Déterminer si les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies

Avec et  :

 ;  ; , donc on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % si on prélève un échantillon de taille 100.

>3. Utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

Avec , l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

soit environ :

.

La fréquence de composants défectueux observée dans l’échantillon est égale à 0,09 (9 composants défectueux sur 100).

Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation.

Donc on peut considérer que l’échantillon est conforme à la proportion tolérée par la direction.