Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation
Corrigé
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Ens. Spécifique
matT_1306_04_05C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exercice 4 • 4 points
Partie A
La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :
- 80 % de CDI (contrat à durée indéterminée)
- 20 % de CDD (contrat à durée déterminée).
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :
|
| CDI | CDD | Effectif total |
|---|---|---|---|
| Site de production A | 315 | 106 | 421 |
| Site de production B | 52 | 16 | 68 |
, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille 
, pour 
et pour 
. (1 point)
Partie B
Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque 
, où 
désigne la proportion dans une population, et 
désigne la taille d'un échantillon de cette population.
La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.
Durée conseillée : 35 min.
Les thèmes en jeu
Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Deux conclusions peuvent être obtenues, suivant que la fréquence 
observée sur l'échantillon appartient ou n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Partie A
> 1. Calculer des pourcentages
Sur le site A, 315 salariés sur 421 sont en CDI et 
.
Sur le site B, 52 salariés sur 68 sont en CDI et 
.
> 2. Déterminer des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %
- Pour
.
Les conditions sont remplies, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
,
soit en arrondissant :
- Pour
.
Les conditions sont remplies, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
,
Notez bien
L'intervalle IB a une plus grande amplitude que l'intervalle IA car il correspond à une taille 
d'échantillon inférieure.
Les fluctuations diminuent lorsque la taille de l'échantillon augmente.
soit en arrondissant :
> 3. Utiliser des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %
Pour le site A, la fréquence de CDI observée 0,7482 n'appartient pas à l'intervalle IA, donc on peut considérer que
Pour le site B, la fréquence de CDI observée 0,7647 appartient à l'intervalle IB, donc on peut considérer que
Partie B
> 1. Déterminer si les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies
Avec 
et 
, 
.
> 2. Déterminer si les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies
Avec 
et 
:
, donc
> 3. Utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
Avec 
, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :
soit environ :
.
La fréquence de composants défectueux observée dans l'échantillon est égale à 0,09 (9 composants défectueux sur 100).
Cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation.
Les parties A et B sont indépendantes.
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.