Terminale générale Physique-chimie Lien entre les actions appliquées à un système et son mouvement

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Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

SPRINT FINAL

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

exercice 2

Physique et raccordements routiers

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Sur un échangeur autoroutier, le passage d’une ligne droite à un virage circulaire se fait via un arc de clothoïde. Ce sujet permet de choisir de manière raisonnée la limitation de vitesse à appliquer dans le virage.

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Figure 1. Représentation graphique d’une clothoïde

Lors de la création d’un nouveau raccordement routier, les ingénieurs en génie civil doivent déterminer la trajectoire la plus sûre pour les usagers. La réussite de leur travail tient alors beaucoup à une courbe plane remarquable appelée clothoïde (figure 1) qui permet de raccorder une ligne droite à un cercle.

Ce raccordement permet de réduire les risques en assurant une augmentation linéaire dans le temps de l’accélération jusqu’à une valeur constante et maximale dans l’arc de cercle.

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Figure 2. Évolution de l’accélération sur un raccordement routier

On illustre la situation en considérant un véhicule roulant sur l’échangeur de Cronenbourg qui raccorde l’A351 à l’autoroute A35. L’étude est menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

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Figure 3. Vue aérienne partielle de l’échangeur de Cronenbourg, Bas-Rhin ; coordonnées : 48°35'02.9"N, 7°43'31.8"E

Sur la vue aérienne partielle de l’échangeur de Cronenbourg, on distingue un arc de clothoïde suivi d’un arc de cercle. Cette modélisation est reproduite sur le schéma ci-dessous. Un repère orthonormé (O, x, y), dont l’origine O est placée au début de l’arc de clothoïde, permet le repérage des positions.

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Figure 4. Schéma de la trajectoire sur l’échangeur

Partie 1. Mouvement sur l’arc de clothoïde (entre O et S) ⏱ 15 min

La partie OP de l’échangeur au début de l’arc de clothoïde est considérée comme une ligne droite horizontale.

▶ 1. Déterminer la valeur de l’accélération du véhicule sur la portion OP à partir de la figure 2 et caractériser le mouvement du véhicule. (0,25 point)

On s’intéresse à un véhicule parcourant la trajectoire plane et horizontale entre O et S. Ce véhicule est assimilé à un point matériel M, d’accélération initiale nulle et animé d’une vitesse de norme constante v égale à 15,0 m · s^–1. Ses coordonnées x et y, prises à intervalle de temps régulier, sont introduites dans le programme Python ci-dessous :

Les valeurs successives de la norme de l’accélération du véhicule calculées à l’aide du programme figurent dans le tableau suivant :

t (s)	1,50	3,00	4,50	6,00	7,50	9,00
a (m · s^–2)	0,1587	0,3218	0,4824	0,6411	0,8070	0,9506

▶ 2. Identifier et recopier les lignes de programme permettant de calculer les coordonnées a_x et a_y du vecteur accélération. (0,5 point)

▶ 3. À l’aide des valeurs données dans le tableau, vérifier l’information du texte introductif indiquant que la clothoïde permet « une augmentation linéaire dans le temps de l’accélération » en justifiant la méthode utilisée. (1 point)

Partie 2. Mouvement sur l’arc de cercle (entre S et Q) ⏱ 35 min

Le véhicule, assimilé à un point matériel M, poursuit sa trajectoire en décrivant l’arc de cercle, de rayon r = 75,0 m, entre les points S et Q. La norme de la vitesse garde une valeur constante v égale à 15,0 m·s^–1.

▶ 4. Sur la figure 4, tracer les vecteurs unitaires $\vec{u_{N}}$ et $\vec{u_{T}}$ du repère de Frenet au point M de la trajectoire en arc de cercle. (0,5 point)

▶ 5. Justifier que le vecteur accélération du véhicule entre les points S et Q s’exprime ainsi : $\vec{a} = \frac{v^{2}}{r} \vec{u_{N}}$ (0,5 point)

▶ 6. Sur la figure 4, représenter à l’échelle 1,0 cm pour 1,0 m·s^–2, le vecteur accélération $\vec{a}$ au point M. (0,5 point)

Un véhicule immobile sur une route est soumis à deux actions mécaniques, modélisées par son poids $\vec{P}$ et la réaction $\vec{R}$ exercée par la chaussée. En mouvement uniforme dans un virage, le véhicule est aussi soumis à une action, modélisée par une force $\vec{f}$ appelée force de frottement.

Les forces qui s’appliquent au véhicule sont contenues dans le plan vertical perpendiculaire à la route. Le point C est le centre de la trajectoire circulaire. Le véhicule est assimilé au point M. Les cinq schémas ci-après (page suivante) représentent le poids $\vec{P}$ , la réaction $\vec{R}$ et la force de frottement $\vec{f}$ .

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▶ 7. Indiquer, en justifiant, le numéro du schéma qui représente correctement ces trois forces, en s’appuyant sur les caractéristiques du vecteur accélération. (0,75 point)

Dans la pratique, la sécurité dans les virages dépend aussi de la qualité des pneus, de la suspension des roues et de l’adhérence de la chaussée. Pour un véhicule de masse 1 200 kg, la valeur de la force de frottement ne peut pas dépasser 10 400 N sur chaussée sèche et 7 200 N sur chaussée humide. Si ces valeurs sont atteintes alors l’adhérence à la route n’est plus assurée et le véhicule dérape.

▶ 8. Dans le cas du virage étudié précédemment, choisir parmi les panneaux de limitations de vitesse ci-dessous celui qui devrait être placé avant le point O. Expliquer le raisonnement. (1 point)

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Source :

Wikimedia -

CC BY-SA 3.0

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même non aboutie. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Partie 1. Mouvement sur l’arc de clothoïde

▶ 2. Complétez les lignes 18 et 19 du programme par analogie avec les lignes 11 et 12.

▶ 3. Représentez graphiquement a en fonction de t.

Partie 2. Mouvement sur l’arc de cercle

▶ 7. Utilisez la 2^e loi de Newton et raisonnez en observant bien la direction et le sens du vecteur accélération.

Aide à la résolution de la question 8 (partie 2)

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Partie 1. Mouvement sur l’arc de clothoïde

▶ 1. Déterminer l’accélération du véhicule sur la portion OP et caractériser le mouvement

D’après la figure 2, l’accélération du véhicule est nulle sur toute la ligne droite OP. Cela signifie donc que la vitesse du véhicule est constante et que le mouvement est rectiligne uniforme.

▶ 2. Écrire les lignes de programme permettant de calculer les coordonnées du vecteur accélération

Les composantes $v_{x (i)}$ et $v_{y (i)}$ de la vitesse du véhicule à la date t_ipeuvent être calculées de manière approchée à partir des coordonnées relevées aux dates t_i et t_i+1 :

$v_{x (i)} = \frac{x_{i+1} - x_{i}}{t_{i+1} - t_{i}}$ et $v_{y (i)} = \frac{y_{i+1} - y_{i}}{t_{i+1} - t_{i}}$ .

à noter

Les composantes v_x et v_y du vecteur vitesse sont les dérivées temporelles des coordonnées x et y du vecteur position : $(v_{x} = \frac{d x}{d t}; v_{y} = \frac{d y}{d t})$ , ce qui traduit que la vitesse est l’évolution d’une position dans le temps.

Lorsqu’on dispose d’une mesure des positions successives à différentes dates, on peut donc calculer $v_{x (i)}$ et $v_{y (i)}$ à partir des coordonnées successives et des intervalles de temps entre les mesures (i) et (i+1).

Dans le programme, l’intervalle de temps (t_i+1–t_i) est noté « dt » (ligne 9) et ce sont les lignes 11 et 12 qui permettent de calculer v_x et v_y aux différentes dates :

vx.append((x[i+1]-x[i])/dt)

vy.append((y[i+1]-y[i])/dt)

Pour calculer les composantes $a_{x (i)}$ et $a_{y (i)}$ du vecteur accélération à la date t_i, on utilise un calcul similaire, à partir des composantes de la vitesse aux différentes dates :

$a_{x (i)} = \frac{v_{x (i+1)} - v_{x (i)}}{t_{i+1} - t_{i}}$ et $a_{y (i)} = \frac{v_{y (i+1)} - v_{y (i)}}{t_{i+1} - t_{i}}$ .

Les lignes 18 et 19 du programme s’écrivent donc, par analogie avec les lignes 11 et 12 :

ax.append((vx[i+1]-vx[i])/dt)

ay.append((vy[i+1]-vy[i])/dt)

▶ 3. Vérifier que la clothoïde permet une augmentation linéaire dans le temps de l’accélération

Les données du tableau permettent de tracer la norme de l’accélération a en fonction de la date t.

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On constate que les points sont alignés selon une droite passant par l’origine : l’accélération (initialement nulle) du véhicule se déplaçant sur la portion de clothoïde augmente de manière linéaire.

Partie 2. Mouvement sur l’arc de cercle

▶ 4. Tracer les vecteurs unitaires du repère de Frenet

Le repère de Frenet en M est tel que :

le vecteur unitaire $\vec{u_{T}}$ est tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement ;

le vecteur unitaire $\vec{u_{N}}$ est orthogonal à $\vec{u_{T}}$ et dirigé vers l’intérieur de la trajectoire. Le vecteur $\vec{u_{N}}$ est porté par le rayon MC puisque la trajectoire est circulaire.

La construction de ces deux vecteurs, dans la zone de la figure 4 où se situe le point M, est représentée ci-dessous.

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▶ 5. Justifier que le vecteur accélération entre les points S et Q s’exprime par $\vec{a} = \frac{v^{2}}{r} \vec{u_{N}}$

attention

Dans un mouvement uniforme rectiligne, la vitesse est constante et l’accélération est nulle. Mais dans un mouvement uniforme non rectiligne, seule l’accélération tangentielle est nulle ; l’accélération normale, elle, n’est pas nulle.

Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s’exprime par la relation :

$\vec{a} = \frac{d v}{d t} \vec{u_{T}} + \frac{v^{2}}{r} \vec{u_{N}}$

La vitesse du véhicule le long de la portion circulaire de la trajectoire étant constante, $\frac{d v}{d t} = 0$ .

On obtient donc bien $\vec{a} = \frac{v^{2}}{r} \vec{u_{N}}$ .

▶ 6. Représenter le vecteur accélération en M

Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète : le vecteur accélération est porté par le rayon du cercle et dirigé vers son centre.

L’accélération est colinéaire au vecteur $\vec{u_{N}}$ et de même sens.

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Sa norme est :

$a = \frac{v^{2}}{r} = \frac{{15,0}^{2}}{75,0}$ = 3,00 m · s^–2.

À l’échelle 1 cm pour 1,00 m · s^–2, le vecteur $\vec{a}$ mesure 3 cm.

▶ 7. Indiquer, parmi les schémas fournis, celui qui représente correctement les trois forces

Dans le référentiel terrestre, la deuxième loi de Newton appliquée au véhicule de masse m s’écrit : $m \vec{a} = \vec{P} + \vec{R} + \vec{f}$ .

Le vecteur accélération n’a pas de composante verticale donc le poids $\vec{P}$ qui est vertical descendant compense la réaction $\vec{R}$ qui est verticale ascendante : $\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$ . Les schémas 1 et 4 sont tels que $\vec{P} + \vec{R} \neq \vec{0}$ donc ils ne sont pas valides.

Puisque $\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$ , la relation $m \vec{a} = \vec{P} + \vec{R} + \vec{f}$ s’écrit plus simplement $m \vec{a} = \vec{f}$ et on a montré à la question 6 que le vecteur accélération est porté par le rayon de la trajectoire circulaire et dirigé vers le centre C. Les schémas 2 et 3 ne sont donc pas valides non plus.

Seul le schéma 5 représente correctement les 3 forces.

▶ 8. Choisir le panneau de limitation de vitesse qui devrait être placé avant le virage

L’énoncé donne des indications sur la valeur maximale de la force de frottement $\vec{f}$ et la question posée porte sur la vitesse. Il faut donc d’abord exprimer la relation entre f et v.

On a montré que $m \vec{a} = \vec{f}$ soit m × a = f et, par ailleurs, $\vec{a} = \frac{v^{2}}{r} \vec{u_{N}}$ donc $a = \frac{v^{2}}{r}$ . On peut donc écrire : $\frac{m \times v^{2}}{r} = f$ .

On a donc $v^{2} = \frac{f \times r}{m}$ soit $v = \sqrt[]{\frac{f \times r}{m}}$ .

L’énoncé donne deux valeurs maximales de f, selon que la chaussée est sèche ou humide. Étant donnée la relation précédente, la vitesse maximale doit être calculée avec la valeur maximale de f la plus défavorable, donc celle qui correspond à route humide.

D’après l’énoncé, la force de frottement maximale sur route humide vaut 7 200 N pour un véhicule de 1 200 kg et le rayon de l’arc de cercle est de 75,0 m.

On peut donc calculer la vitesse maximale dans ces conditions :

$v_{m a x} = \sqrt[]{\frac{f_{m a x} \times r}{m}} = \sqrt[]{\frac{7 200 \times 75,0}{1 200}}$ donc v_max = 21,2 m · s^–1.

Sachant que 1 m · s^–1 équivaut à 3,6 km · h^–1, la vitesse maximale à ne pas dépasser est v_max = 21,2 × 3,6 = 76,4 km · h^–1.

Cette valeur élimine les panneaux de limitation de vitesse « 90 » et « 110 ». Les panneaux « 50 » et « 70 » conviennent mais il est inutile de limiter la vitesse exagérément. Ainsi, le panneau le plus adapté est celui qui limite la vitesse à 70 km · h^–1 avant le virage.