Point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction et algorithme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 4 • 5 points

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :

1

dériver 1742376-Eqn85

1742376-Eqn86

2

dériver 1742376-Eqn87

1742376-Eqn88

3

dériver 1742376-Eqn89

1742376-Eqn90

On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l’exercice.

On considère la fonction 1742376-Eqn91 définie sur [1 ; 10] par :

1742376-Eqn92

et on note 1742376-Eqn93 sa courbe représentative dans un repère.

La fonction 1742376-Eqn94 est deux fois dérivable sur [1 ; 10], on note 1742376-Eqn95 sa fonction dérivée et 1742376-Eqn96 sa fonction dérivée seconde.

1. a) Déterminer 1742376-Eqn97 sur [1 ; 10]. (0,5 point)

b) Construire le tableau de variations de la fonction 1742376-Eqn98 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

2. a) Justifier que 1742376-Eqn99 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de 1742376-Eqn100 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

c) En déduire que la courbe 1742376-Eqn101 possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse. (0,5 point)

3. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation

 

X prend la valeur 2

Y prend la valeur 1742376-Eqn102

Z prend la valeur 1742376-Eqn103

Traitement

 

Tant que (Y < Z) faire

   

X prend la valeur X + 0,1

Y prend la valeur 1742376-Eqn104

Z prend la valeur 1742376-Eqn105

 

Fin tant que

Sortie

 

Afficher 1742376-Eqn106

a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)

X

Y

Z

Test Y < Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3533

0,3584

vrai

2,2

   
       
       
       
       
       

b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction 1742376-Eqn107 ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Point d’inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »

Les conseils du correcteur

2. c) Résolvez l’équation 1742376-Eqn115 et étudiez le signe de 1742376-Eqn116.

3. a) N’oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition 1742376-Eqn117 est remplie ou non. Quand cette condition n’est plus remplie, on « sort de la boucle ».

Corrigé

Corrigé

1. 1742376-Eqn260 est définie pour tout 1742376-Eqn261 appartenant à 1742376-Eqn262 par 1742376-Eqn263.

a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant un logarithme

Pour tout 1742376-Eqn264 appartenant à 1742376-Eqn265 :

1742376-Eqn266

b) Étudier les variations d’une fonction

1742376-Eqn267 pour tout 1742376-Eqn268 dans 1742376-Eqn269, donc 1742376-Eqn270 a le signe de 1742376-Eqn271

1742376-Eqn272.

Si 1742376-Eqn273, alors 1742376-Eqn274, donc 1742376-Eqn275.

Si 1742376-Eqn276, alors 1742376-Eqn277, donc 1742376-Eqn278.

On en déduit que 1742376-Eqn279 est strictement croissante sur l’intervalle 1742376-Eqn280, strictement décroissante sur 1742376-Eqn281.

D’où le tableau de variations :

matT_1411_11_00C_tab_01

2. a) Calculer la dérivée seconde d’une fonction

D’après la question 1. a), pour tout 1742376-Eqn290 appartenant à 1742376-Eqn291 :

1742376-Eqn292

Alors 1742376-Eqn293

1742376-Eqn294

b) Étudier le signe de la dérivée seconde d’une fonction

1742376-Eqn295.

1742376-Eqn296 pour tout 1742376-Eqn297 dans 1742376-Eqn298, donc 1742376-Eqn299 a le signe de 1742376-Eqn300.

Si 1742376-Eqn302, alors 1742376-Eqn303, donc 1742376-Eqn304.

Si 1742376-Eqn305, alors 1742376-Eqn306, donc 1742376-Eqn307.

c) Montrer que la courbe représentative d’une fonction possède un point d’inflexion

1742376-Eqn308 s’annule et change de signe en 1742376-Eqn309, donc la courbe 1742376-Eqn310 possède un point d’inflexion d’abscisse 1742376-Eqn311.

3. a) Compléter un tableau à partir d’un algorithme

X

Y

Z

Test : Y < Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3553

0,3584

vrai

2,2

0,3584

0 ,3621

vrai

2,3

0,3621

0,3648

vrai

2,4

0,3648

0,3665

vrai

2,5

0,3665

0,3675

vrai

2,6

0,3675

0,3679

vrai

2,7

0,3679

0,3677

faux

b) Donner et interpréter la valeur affichée en sortie d’un algorithme

La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la valeur de 1742376-Eqn316 lorsque l’algorithme s’arrête, c’est-à-dire 2,7.

Elle représente la borne inférieure d’un intervalle d’amplitude 0,1 sur lequel 1742376-Eqn317 atteint son maximum.

Donc 1742376-Eqn318 admet son maximum pour une valeur de 1742376-Eqn319 comprise entre 2,7 et 2,8.