Point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction et algorithme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 4 • 5 points

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :

1

dériver 1742376-Eqn85

1742376-Eqn86

2

dériver 1742376-Eqn87

1742376-Eqn88

3

dériver 1742376-Eqn89

1742376-Eqn90

On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l’exercice.

On considère la fonction 1742376-Eqn91 définie sur [1 ; 10] par :

1742376-Eqn92

et on note 1742376-Eqn93 sa courbe représentative dans un repère.

La fonction 1742376-Eqn94 est deux fois dérivable sur [1 ; 10], on note 1742376-Eqn95 sa fonction dérivée et 1742376-Eqn96 sa fonction dérivée seconde.

1. a) Déterminer 1742376-Eqn97 sur [1 ; 10]. (0,5 point)

b) Construire le tableau de variations de la fonction 1742376-Eqn98 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

2. a) Justifier que 1742376-Eqn99 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de 1742376-Eqn100 sur [1 ; 10]. (0,75 point)

c) En déduire que la courbe 1742376-Eqn101 possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse. (0,5 point)

3. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation

 

X prend la valeur 2

Y prend la valeur 1742376-Eqn102

Z prend la valeur 1742376-Eqn103

Traitement

 

Tant que (Y < Z) faire

   

X prend la valeur X + 0,1

Y prend la valeur 1742376-Eqn104

Z prend la valeur 1742376-Eqn105

 

Fin tant que

Sortie

 

Afficher 1742376-Eqn106

a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)

X

Y

Z

Test Y < Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3533

0,3584

vrai

2,2

   
       
       
       
       
       

b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction 1742376-Eqn107 ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Point d’inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »

Les conseils du correcteur

2. c) Résolvez l’équation 1742376-Eqn115 et étudiez le signe de 1742376-Eqn116.

3. a) N’oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition 1742376-Eqn117 est remplie ou non. Quand cette condition n’est plus remplie, on « sort de la boucle ».