Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014
Exercice 4 • 5 points
On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :
| 1 | dériver |
|
| 2 | dériver |
|
| 3 | dériver |
|
On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l'exercice.
On considère la fonction 
définie sur [1 10] par :
et on note 
sa courbe représentative dans un repère.
La fonction 
est deux fois dérivable sur [1 10], on note 
sa fonction dérivée et 
sa fonction dérivée seconde.
▶ 1. a) Déterminer 
sur [1 10]. (0,5 point)
b) Construire le tableau de variations de la fonction 
sur [1 10]. (0,75 point)
▶ 2. a) Justifier que 
sur [1 10]. (0,75 point)
b) Étudier le signe de 
sur [1 10]. (0,75 point)
c) En déduire que la courbe 
possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. (0,5 point)
▶ 3. On considère l'algorithme suivant :
| Initialisation | ||
| X prend la valeur 2 Y prend la valeur Z prend la valeur | ||
| Traitement | ||
| Tant que (Y Z) faire | ||
| X prend la valeur X + 0,1 Y prend la valeur Z prend la valeur | ||
| Fin tant que | ||
| Sortie | ||
| Afficher | ||
a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)
| X | Y | Z | Test Y Z |
| 2 | 0,3466 | 0,3533 | vrai |
| 2,1 | 0,3533 | 0,3584 | vrai |
| 2,2 | … | ||
b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction 
? (0,75 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d'une fonction • Point d'inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »
Les conseils du correcteur
▶ 2. c) Résolvez l'équation 
et étudiez le signe de 
.
▶ 3. a) N'oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition 
est remplie ou non. Quand cette condition n'est plus remplie, on « sort de la boucle ».
Corrigé
▶ 1. 
est définie pour tout 
appartenant à 
par 
.
a) Calculer la dérivée d'une fonction comportant un logarithme
Pour tout 
appartenant à 
:
b) Étudier les variations d'une fonction
pour tout 
dans 
, donc 
a le signe de 
.
Si 
, alors 
, donc 
.
Si 
, alors 
, donc 
.
On en déduit que 
est strictement croissante sur l'intervalle 
, strictement décroissante sur 
.
D'où le tableau de variations :
▶ 2. a) Calculer la dérivée seconde d'une fonction
D'après la question 1. a), pour tout 
appartenant à 
:
Alors 
b) Étudier le signe de la dérivée seconde d'une fonction
.
pour tout 
dans 
, donc 
a le signe de 
.
Si 
, alors 
, donc 
.
Si 
, alors 
, donc 
.
c) Montrer que la courbe représentative d'une fonction possède un point d'inflexion
s'annule et change de signe en 
, donc la courbe 
possède un point d'inflexion d'abscisse 
.
▶ 3. a) Compléter un tableau à partir d'un algorithme
| X | Y | Z | Test : Y Z |
| 2 | 0,3466 | 0,3533 | vrai |
| 2,1 | 0,3553 | 0,3584 | vrai |
| 2,2 | 0,3584 | 0 ,3621 | vrai |
| 2,3 | 0,3621 | 0,3648 | vrai |
| 2,4 | 0,3648 | 0,3665 | vrai |
| 2,5 | 0,3665 | 0,3675 | vrai |
| 2,6 | 0,3675 | 0,3679 | vrai |
| 2,7 | 0,3679 | 0,3677 | faux |
b) Donner et interpréter la valeur affichée en sortie d'un algorithme
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la valeur de 
lorsque l'algorithme s'arrête, c'est-à-dire 2,7.
Elle représente la borne inférieure d'un intervalle d'amplitude 0,1 sur lequel 
atteint son maximum.
Donc 
admet son maximum pour une valeur de 
comprise entre 2,7 et 2,8.