Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014
Exercice 4 • 5 points
On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :
1 | dériver | |
2 | dériver | |
3 | dériver | |
On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l'exercice.
On considère la fonction définie sur [1 10] par :
et on note sa courbe représentative dans un repère.
La fonction est deux fois dérivable sur [1 10], on note
sa fonction dérivée et
sa fonction dérivée seconde.
▶ 1. a) Déterminer sur [1 10]. (0,5 point)
b) Construire le tableau de variations de la fonction sur [1 10]. (0,75 point)
▶ 2. a) Justifier que sur [1 10]. (0,75 point)
b) Étudier le signe de sur [1 10]. (0,75 point)
c) En déduire que la courbe possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. (0,5 point)
▶ 3. On considère l'algorithme suivant :
Initialisation | ||
X prend la valeur 2 Y prend la valeur Z prend la valeur | ||
Traitement | ||
Tant que (Y Z) faire | ||
X prend la valeur X + 0,1 Y prend la valeur Z prend la valeur | ||
Fin tant que | ||
Sortie | ||
Afficher |
a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)
X | Y | Z | Test Y Z |
2 | 0,3466 | 0,3533 | vrai |
2,1 | 0,3533 | 0,3584 | vrai |
2,2 | … | ||
b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction ? (0,75 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d'une fonction • Point d'inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »
Les conseils du correcteur
▶ 2. c) Résolvez l'équation et étudiez le signe de
.
▶ 3. a) N'oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition est remplie ou non. Quand cette condition n'est plus remplie, on « sort de la boucle ».
Corrigé
▶ 1. est définie pour tout
appartenant à
par
.
a) Calculer la dérivée d'une fonction comportant un logarithme
Pour tout appartenant à
:
b) Étudier les variations d'une fonction
pour tout
dans
, donc
a le signe de
.
Si , alors
, donc
.
Si , alors
, donc
.
On en déduit que est strictement croissante sur l'intervalle
, strictement décroissante sur
.
D'où le tableau de variations :
▶ 2. a) Calculer la dérivée seconde d'une fonction
D'après la question 1. a), pour tout appartenant à
:
Alors
b) Étudier le signe de la dérivée seconde d'une fonction
.
pour tout
dans
, donc
a le signe de
.
Si , alors
, donc
.
Si , alors
, donc
.
c) Montrer que la courbe représentative d'une fonction possède un point d'inflexion
s'annule et change de signe en
, donc la courbe
possède un point d'inflexion d'abscisse
.
▶ 3. a) Compléter un tableau à partir d'un algorithme
X | Y | Z | Test : Y Z |
2 | 0,3466 | 0,3533 | vrai |
2,1 | 0,3553 | 0,3584 | vrai |
2,2 | 0,3584 | 0 ,3621 | vrai |
2,3 | 0,3621 | 0,3648 | vrai |
2,4 | 0,3648 | 0,3665 | vrai |
2,5 | 0,3665 | 0,3675 | vrai |
2,6 | 0,3675 | 0,3679 | vrai |
2,7 | 0,3679 | 0,3677 | faux |
b) Donner et interpréter la valeur affichée en sortie d'un algorithme
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la valeur de lorsque l'algorithme s'arrête, c'est-à-dire 2,7.
Elle représente la borne inférieure d'un intervalle d'amplitude 0,1 sur lequel atteint son maximum.
Donc admet son maximum pour une valeur de
comprise entre 2,7 et 2,8.