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Points de l'espace à coordonnées entières

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Points de l'espace à coordonnées entières

Les thèmes clés

Géométrie • Arithmétique • Matrices

 

1. Soit p un ent wier relatif donné.

On s'intéresse dans cette question à l'équation (Ep) :

3x + 4y = p

où (x y) est un couple d'entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple (− p p) est une solution particulière de l'équation.

b) Démontrer que l'ensemble des solutions de (Ep) est l'ensemble des couples de la forme :

(− p + 4k p – 3k) où k est un entier relatif.

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé (Oi,j,k). On considère le plan P d'équation cartésienne :

6x + 8yz = 0.

2. Soit M0 un point de coordonnées (x0  y0  z0) qui appartient au plan P et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que z0 est pair.

b) On pose z0 = 2pp est un entier relatif.

Prouver que le couple (x0  y0) est solution de l'équation (EP).

c) En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan P à coordonnées entières.

3. À tout point M de coordonnées (x y z), on associe le point M de coordonnées (x y z) avec :

(xyz)=(31751805641144283029)(xyz).

a) Montrer que 6x+ 8yz = 101(6x + 8yz).

b) En déduire que si le point M est un point du plan P, alors le point M est aussi un point du plan P.

c) Soit Δ la droite perpendiculaire à P passant par O.

Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M appartient aussi à Δ.

Les clés du sujet

2. c) Raisonnez en deux étapes. Si M0(x0y0z0) est un point qui appartient au plan P, alors déterminez les valeurs possibles du triplet (x0y0z0). Réciproquement, vérifiez que les valeurs des triplets obtenues sont bien les coordonnées de points du plan P.

3. c) Notez que tout vecteur n normal au plan P est un vecteur directeur de Δ. Montrez ensuite qu'un tel vecteur dont vous préciserez les coordonnées est colinéaire à OM′ si le point M est sur la droite Δ. Concluez.

Corrigé

1. a) Identifier une solution particulière d'une équation

Nous avons 3×(p)+4×p=3p+4p=p.

Le couple (pp) est donc solution de l'équation (Ep).

b) Résoudre une équation diophantienne

Soit (xy) un couple d'entiers relatifs solution de (Ep).

Nous avons 3x+4y=p.

Comme le couple (pp) est aussi solution de (Ep), nous avons 3×(p)+4p=p.

Par différence des deux égalités précédentes, nous obtenons 3(x+p)+4(yp)=0 soit encore 3(x+p)=4(py).

rappel

Théorème de Gauss : si a, b et c sont trois entiers relatifs, si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c.

Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux et 3 divise le produit 4(py) donc, d'après le théorème de Gauss, 3 divise (py). Il existe donc un entier relatif k tel que py=3k soit encore y=p3k.

En remplaçant dans l'égalité 3(x+p)=4(py), nous obtenons 3(x+p)=4×3k qui équivaut à x+p=4k ou x=p+4k. Nous obtenons ainsi (xy)=(p+4kp3k) k est un entier relatif.

• Vérifions réciproquement que les couples (xy)=(p+4kp3k), où k est un entier relatif, sont solutions de (Ep).

3×(p+4k)+4(p3k)=3p+12k+4p12k=p donc les couples cités ci-avant sont bien solutions de (Ep).

Finalement l'ensemble des solutions de (Ep) est l'ensemble des couples de la forme (xy)=(p+4kp3k), où k est un entier relatif.

2. a) Montrer que la cote d'un point est paire

Les nombres x0,y0 et z0 sont des entiers relatifs.

M0(x0y0z0)P6x0+8y0z0=0z0=6x0+8y0=2×(3x0+4y0).

Nous pouvons donc en déduire que si le point M0(x0y0z0), où les nombres x0,y0etz0 sont des entiers relatifs, appartient au plan P, alors z0 est pair.

b) Vérifier qu'un couple d'entiers est solution d'une équation

Puisque le point M0(x0y0z0) appartient au plan P, nous avons 6x0+8y0z0=0. Si l'on pose z0=2p p est un entier relatif, nous obtenons 6x0+8y0=z0=2p et finalement 3x0+4y0=p. Par conséquent, x0 et  y0 étant des entiers relatifs, le couple (x0y0) est solution de l'équation (Ep).

c) Déterminer, dans un plan, les points à coordonnées entières

Soit M0(x0y0z0) un point qui appartient au plan P et dont les coordonnées sont entières.

D'après la question 2. a), z0 est pair : z0=2p p est un entier relatif.

D'après la question 2. b), cela implique que le couple (x0y0) est solution de l'équation (Ep). D'après la question 1. b), nous en déduisons que (x0y0)=(p+4kp3k), où k est un entier relatif. Finalement, nous obtenons (x0y0z0)=(p+4kp3k2p)k et p sont des entiers relatifs.

Ainsi, si M0(x0y0z0) est un point qui appartient au plan P et dont les coordonnées sont entières, alors (x0y0z0)=(p+4kp3k2p)k et p sont des entiers relatifs.

Vérifions réciproquement que les triplets (p+4kp3k2p), où ket p sont des entiers relatifs, sont solutions de l'équation cartésienne de P proposée : 6x+8yz=0.

Si (x0y0z0)=(p+4kp3k2p)k et p sont des entiers relatifs, alors :

6x0+8y0z0=6×(p+4k)+8×(p3k)2p=6p+24k+8p24k2p=0.

Par conséquent M0(x0y0z0) est un point qui appartient au plan P et dont les coordonnées sont entières.

Conclusion : l'ensemble des points du plan P à coordonnées entières est l'ensemble des triplets de la forme (p+4kp3k2p)k et p sont des entiers relatifs.

3. a) Démontrer une égalité

Nous avons :

(xyz)=(31751805641144283029)(xyz)=(31x+75y+180z56x+41y144z28x30y+29z).

Par conséquent :

6x+8yz=6×(31x+75y+180z)+8×(56x+41y144z)(28x30y+29z)=606x+808y101z=101(6x+8yz).

b) Vérifier qu'un point est dans un plan

Si M(xyz) est un point du plan P, alors ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne fournie dans l'énoncé, à savoir 6x+8yz=0.

Dans ce cas, en utilisant l'égalité de la question 3. a), nous avons 6x+8yz=101(6x+8yz)=0 et les coordonnées de M′ (xyz) vérifient également l'équation cartésienne de P fournie.

Le point M′ (xyz) est donc également un point du plan P.

Ainsi, si M est un point du plan P, alors M′ est aussi un point du plan P.

c) Vérifier qu'un point est sur une droite  E33c 

La droite Δ est orthogonale au plan P.

Un vecteur directeur de Δ est le vecteur normal n au plan P défini par :

n(681).

Si M(xyz) est un point de la droite Δ, alors les vecteurs n et OM sont colinéaires.

Il existe donc un réel k tel que OM=kn, soit (xyz)=(6k8kk).

Dans ce cas, nous avons :

(xyz)=(31x+75y+180z56x+41y144z28x30y+29z)=(31×6k+75×8k+180×(k)56×6k+41×8k144×(k)28×6k30×8k+29×(k))=(606k808k101k)=101k×(681).

Nous pouvons traduire ceci en disant que OM′ =101k×n. Les vecteurs n et OM′ sont donc colinéaires et le point M′ appartient donc aussi à la droite Δ passant par O et de vecteur directeur n.

En conclusion, si le point M appartient à Δ, alors le point M′ appartient aussi à Δ.

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