Points de l’espace à coordonnées entières

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Points de l’espace à coordonnées entières

Les thèmes clés

Géométrie • Arithmétique • Matrices

 

1. Soit p un ent wier relatif donné.

On s’intéresse dans cette question à l’équation (Ep) :

3x + 4y = p

où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple (− p ; p) est une solution particulière de l’équation.

b) Démontrer que l’ensemble des solutions de (Ep) est l’ensemble des couples de la forme :

(− p + 4k ; p – 3k) où k est un entier relatif.

Dans la suite de l’exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k). On considère le plan P d’équation cartésienne :

6x + 8yz = 0.

2. Soit M0 un point de coordonnées (x0 ; y0 ; z0) qui appartient au plan P et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que z0 est pair.

b) On pose z0 = 2pp est un entier relatif.

Prouver que le couple (x0 ; y0) est solution de l’équation (EP).

c) En utilisant la question 1., déterminer l’ensemble des points du plan P à coordonnées entières.

3. À tout point M de coordonnées (x ; y ; z), on associe le point M de coordonnées (x ; y ; z) avec :

(xyz)=(31751805641144283029)(xyz).

a) Montrer que 6x+ 8yz = 101(6x + 8yz).

b) En déduire que si le point M est un point du plan P, alors le point M est aussi un point du plan P.

c) Soit Δ la droite perpendiculaire à P passant par O.

Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M appartient aussi à Δ.

Les clés du sujet

2. c) Raisonnez en deux étapes. Si M0(x0;y0;z0) est un point qui appartient au plan P, alors déterminez les valeurs possibles du triplet (x0;y0;z0). Réciproquement, vérifiez que les valeurs des triplets obtenues sont bien les coordonnées de points du plan P.

3. c) Notez que tout vecteur n normal au plan P est un vecteur directeur de Δ. Montrez ensuite qu’un tel vecteur dont vous préciserez les coordonnées est colinéaire à OM′ si le point M est sur la droite Δ. Concluez.