Arithmétique
ENS. DE SPÉCIALITÉ
44
matT_1709_04_04C
Antilles, Guyane • Septembre 2017
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Points de l'espace à coordonnées entières
Les thèmes clés
Géométrie • Arithmétique • Matrices
▶ 1. Soit p un ent wier relatif donné.
On s'intéresse dans cette question à l'équation (Ep) :
3x + 4y = p
où (x y) est un couple d'entiers relatifs.
a) Vérifier que le couple (− p p) est une solution particulière de l'équation.
b) Démontrer que l'ensemble des solutions de (Ep) est l'ensemble des couples de la forme :
(− p + 4k p – 3k) où k est un entier relatif.
Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé . On considère le plan P d'équation cartésienne :
6x + 8y − z = 0.
▶ 2. Soit M0 un point de coordonnées (x0 y0 z0) qui appartient au plan et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
a) Démontrer que z0 est pair.
b) On pose z0 = 2p où p est un entier relatif.
Prouver que le couple (x0 y0) est solution de l'équation (EP).
c) En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan à coordonnées entières.
▶ 3. À tout point M de coordonnées (x y z), on associe le point M′ de coordonnées (x′ y′ z′) avec :
.
a) Montrer que 6x′+ 8y′ − z′ = 101(6x + 8y − z).
b) En déduire que si le point M est un point du plan , alors le point M′ est aussi un point du plan .
c) Soit Δ la droite perpendiculaire à passant par O.
Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M′ appartient aussi à Δ.
Les clés du sujet
▶ 2. c) Raisonnez en deux étapes. Si est un point qui appartient au plan P, alors déterminez les valeurs possibles du triplet . Réciproquement, vérifiez que les valeurs des triplets obtenues sont bien les coordonnées de points du plan P.
▶ 3. c) Notez que tout vecteur normal au plan P est un vecteur directeur de Δ. Montrez ensuite qu'un tel vecteur dont vous préciserez les coordonnées est colinéaire à si le point M est sur la droite Δ. Concluez.
Corrigé
▶ 1. a) Identifier une solution particulière d'une équation
Nous avons .
Le couple est donc solution de l'équation .
b) Résoudre une équation diophantienne
Soit un couple d'entiers relatifs solution de .
Nous avons .
Comme le couple est aussi solution de , nous avons .
Par différence des deux égalités précédentes, nous obtenons soit encore .
rappel
Théorème de Gauss : si a, b et c sont trois entiers relatifs, si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c.
Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux et 3 divise le produit donc, d'après le théorème de Gauss, 3 divise . Il existe donc un entier relatif tel que soit encore .
En remplaçant dans l'égalité , nous obtenons qui équivaut à ou . Nous obtenons ainsi où est un entier relatif.
• Vérifions réciproquement que les couples , où est un entier relatif, sont solutions de .
donc les couples cités ci-avant sont bien solutions de .
Finalement l'ensemble des solutions de est l'ensemble des couples de la forme , où est un entier relatif.
▶ 2. a) Montrer que la cote d'un point est paire
Les nombres sont des entiers relatifs.
Nous pouvons donc en déduire que si le point , où les nombres sont des entiers relatifs, appartient au plan , alors est pair.
b) Vérifier qu'un couple d'entiers est solution d'une équation
Puisque le point appartient au plan P, nous avons . Si l'on pose où est un entier relatif, nous obtenons et finalement Par conséquent, étant des entiers relatifs, le couple est solution de l'équation .
c) Déterminer, dans un plan, les points à coordonnées entières
Soit un point qui appartient au plan et dont les coordonnées sont entières.
D'après la question 2. a), est pair : où est un entier relatif.
D'après la question 2. b), cela implique que le couple est solution de l'équation . D'après la question 1. b), nous en déduisons que , où est un entier relatif. Finalement, nous obtenons où et p sont des entiers relatifs.
Ainsi, si est un point qui appartient au plan et dont les coordonnées sont entières, alors où et p sont des entiers relatifs.
Vérifions réciproquement que les triplets , où et p sont des entiers relatifs, sont solutions de l'équation cartésienne de proposée : .
Si où et p sont des entiers relatifs, alors :
Par conséquent est un point qui appartient au plan P et dont les coordonnées sont entières.
Conclusion : l'ensemble des points du plan à coordonnées entières est l'ensemble des triplets de la forme où k et p sont des entiers relatifs.
▶ 3. a) Démontrer une égalité
Nous avons :
Par conséquent :
b) Vérifier qu'un point est dans un plan
Si est un point du plan , alors ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne fournie dans l'énoncé, à savoir .
Dans ce cas, en utilisant l'égalité de la question 3. a), nous avons et les coordonnées de vérifient également l'équation cartésienne de fournie.
Le point est donc également un point du plan .
Ainsi, si M est un point du plan , alors est aussi un point du plan .
c) Vérifier qu'un point est sur une droite E33c
La droite Δ est orthogonale au plan .
Un vecteur directeur de Δ est le vecteur normal au plan défini par :
.
Si est un point de la droite Δ, alors les vecteurs et sont colinéaires.
Il existe donc un réel tel que , soit .
Dans ce cas, nous avons :
Nous pouvons traduire ceci en disant que . Les vecteurs et sont donc colinéaires et le point appartient donc aussi à la droite Δ passant par O et de vecteur directeur .
En conclusion, si le point M appartient à Δ, alors le point appartient aussi à Δ.