Points de l’espace à coordonnées entières

▶ 1. Soit p un ent wier relatif donné.

On s’intéresse dans cette question à l’équation (Ep) :

3x + 4y = p

où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple (− p ; p) est une solution particulière de l’équation.

b) Démontrer que l’ensemble des solutions de (Ep) est l’ensemble des couples de la forme :

(− p + 4k ; p – 3k) où k est un entier relatif.

Dans la suite de l’exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère le plan P d’équation cartésienne :

6x + 8y − z = 0.

▶ 2. Soit M0 un point de coordonnées (x0 ; y0 ; z0) qui appartient au plan $\mathcal{P}$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que z0 est pair.

b) On pose z0 = 2p où p est un entier relatif.

Prouver que le couple (x0 ; y0) est solution de l’équation (EP).

c) En utilisant la question 1., déterminer l’ensemble des points du plan $\mathcal{P}$ à coordonnées entières.

▶ 3. À tout point M de coordonnées (x ; y ; z), on associe le point M′ de coordonnées (x′ ; y′ ; z′) avec :

$\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 31& \hfill 75& \hfill 180\\ \hfill 56& \hfill 41& \hfill -144\\ \hfill 28& \hfill -30& \hfill 29\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

a) Montrer que 6x′+ 8y′ − z′ = 101(6x + 8y − z).

b) En déduire que si le point M est un point du plan $\mathcal{P}$, alors le point M′ est aussi un point du plan $\mathcal{P}$.

c) Soit Δ la droite perpendiculaire à $\mathcal{P}$ passant par O.

Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M′ appartient aussi à Δ.