Arithmétique

ENS. DE SPÉCIALITÉ

matT_1709_04_04C

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h

Points de l'espace à coordonnées entières

Les thèmes clés

Géométrie • Arithmétique • Matrices

▶ 1. Soit p un ent wier relatif donné.

On s'intéresse dans cette question à l'équation (Ep) :

3x + 4y = p

où (x y) est un couple d'entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple (− p p) est une solution particulière de l'équation.

b) Démontrer que l'ensemble des solutions de (Ep) est l'ensemble des couples de la forme :

(− p + 4k p – 3k) où k est un entier relatif.

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ . On considère le plan P d'équation cartésienne :

6x + 8y − z = 0.

▶ 2. Soit M0 un point de coordonnées (x0 y0 z0) qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que z0 est pair.

b) On pose z0 = 2p où p est un entier relatif.

Prouver que le couple (x0 y0) est solution de l'équation (EP).

c) En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.

▶ 3. À tout point M de coordonnées (x y z), on associe le point M′ de coordonnées (x′ y′ z′) avec :

$(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}) = (\begin{array}{r} 31 & 75 & 180 \\ 56 & 41 & - 144 \\ 28 & - 30 & 29 \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array})$ .

a) Montrer que 6x′+ 8y′ − z′ = 101(6x + 8y − z).

b) En déduire que si le point M est un point du plan $P$ , alors le point M′ est aussi un point du plan $P$ .

c) Soit Δ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O.

Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M′ appartient aussi à Δ.

Les clés du sujet

▶ 2. c) Raisonnez en deux étapes. Si $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ est un point qui appartient au plan P, alors déterminez les valeurs possibles du triplet $(x_{0} y_{0} z_{0})$ . Réciproquement, vérifiez que les valeurs des triplets obtenues sont bien les coordonnées de points du plan P.

▶ 3. c) Notez que tout vecteur $\vec{n}$ normal au plan P est un vecteur directeur de Δ. Montrez ensuite qu'un tel vecteur dont vous préciserez les coordonnées est colinéaire à $\vec{OM′}$ si le point M est sur la droite Δ. Concluez.

Corrigé

▶ 1. a) Identifier une solution particulière d'une équation

Nous avons $3 \times (- p) + 4 \times p = - 3 p + 4 p = p$ .

Le couple $(- p p)$ est donc solution de l'équation $(E_{p})$ .

b) Résoudre une équation diophantienne

Soit $(x y)$ un couple d'entiers relatifs solution de $(E_{p})$ .

Nous avons $3 x + 4 y = p$ .

Comme le couple $(- p p)$ est aussi solution de $(E_{p})$ , nous avons $3 \times (- p) + 4 p = p$ .

Par différence des deux égalités précédentes, nous obtenons $3 (x + p) + 4 (y - p) = 0$ soit encore $3 (x + p) = 4 (p - y)$ .

rappel

Théorème de Gauss : si a, b et c sont trois entiers relatifs, si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c.

Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux et 3 divise le produit $4 (p - y)$ donc, d'après le théorème de Gauss, 3 divise $(p - y)$ . Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $p - y = 3 k$ soit encore $y = p - 3 k$ .

En remplaçant dans l'égalité $3 (x + p) = 4 (p - y)$ , nous obtenons $3 (x + p) = 4 \times 3 k$ qui équivaut à $x + p = 4 k$ ou $x = - p + 4 k$ . Nous obtenons ainsi $(x y) = (- p + 4 k p - 3 k)$ où $k$ est un entier relatif.

• Vérifions réciproquement que les couples $(x y) = (- p + 4 k p - 3 k)$ , où $k$ est un entier relatif, sont solutions de $(E_{p})$ .

$3 \times (- p + 4 k) + 4 (p - 3 k) = - 3 p + 12 k + 4 p - 12 k = p$ donc les couples cités ci-avant sont bien solutions de $(E_{p})$ .

Finalement l'ensemble des solutions de $(E_{p})$ est l'ensemble des couples de la forme $(x y) = (- p + 4 k p - 3 k)$ , où $k$ est un entier relatif.

▶ 2. a) Montrer que la cote d'un point est paire

Les nombres $x_{0}, y_{0} et z_{0}$ sont des entiers relatifs.

$\begin{array}{l} M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0}) \in P \Leftrightarrow 6 x_{0} + 8 y_{0} - z_{0} = 0 \\ \Leftrightarrow z_{0} = 6 x_{0} + 8 y_{0} = 2 \times \underset{\in ℤ}{\underset{︸}{(3 x_{0} + 4 y_{0})}} . \end{array}$

Nous pouvons donc en déduire que si le point $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ , où les nombres $x_{0}, y_{0} et z_{0}$ sont des entiers relatifs, appartient au plan $P$ , alors $z_{0}$ est pair.

b) Vérifier qu'un couple d'entiers est solution d'une équation

Puisque le point $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ appartient au plan P, nous avons $6 x_{0} + 8 y_{0} - z_{0} = 0$ . Si l'on pose $z_{0} = 2 p$ où $p$ est un entier relatif, nous obtenons $6 x_{0} + 8 y_{0} = z_{0} = 2 p$ et finalement $3 x_{0} + 4 y_{0} = p .$ Par conséquent, $x_{0} et y_{0}$ étant des entiers relatifs, le couple $(x_{0} y_{0})$ est solution de l'équation $(E_{p})$ .

c) Déterminer, dans un plan, les points à coordonnées entières

Soit $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ un point qui appartient au plan $P$ et dont les coordonnées sont entières.

D'après la question 2. a), $z_{0}$ est pair : $z_{0} = 2 p$ où $p$ est un entier relatif.

D'après la question 2. b), cela implique que le couple $(x_{0} y_{0})$ est solution de l'équation $(E_{p})$ . D'après la question 1. b), nous en déduisons que $(x_{0} y_{0}) = (- p + 4 k p - 3 k)$ , où $k$ est un entier relatif. Finalement, nous obtenons $(x_{0} y_{0} z_{0}) = (- p + 4 k p - 3 k 2 p)$ où $k$ et p sont des entiers relatifs.

Ainsi, si $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ est un point qui appartient au plan $P$ et dont les coordonnées sont entières, alors $(x_{0} y_{0} z_{0}) = (- p + 4 k p - 3 k 2 p)$ où $k$ et p sont des entiers relatifs.

Vérifions réciproquement que les triplets $(- p + 4 k p - 3 k 2 p)$ , où $k$ et p sont des entiers relatifs, sont solutions de l'équation cartésienne de $P$ proposée : $6 x + 8 y - z = 0$ .

Si $(x_{0} y_{0} z_{0}) = (- p + 4 k p - 3 k 2 p)$ où $k$ et p sont des entiers relatifs, alors :

$\begin{matrix} 6 x_{0} + 8 y_{0} - z_{0} = 6 \times (- p + 4 k) + 8 \times (p - 3 k) - 2 p \\ = - 6 p + 24 k + 8 p - 24 k - 2 p \\ = 0 . \end{matrix}$

Par conséquent $M_{0} (x_{0} y_{0} z_{0})$ est un point qui appartient au plan P et dont les coordonnées sont entières.

Conclusion : l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières est l'ensemble des triplets de la forme $(- p + 4 k p - 3 k 2 p)$ où k et p sont des entiers relatifs.

▶ 3. a) Démontrer une égalité

Nous avons :

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 31 & 75 & 180 \\ 56 & 41 & - 144 \\ 28 & - 30 & 29 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 31 x + 75 y + 180 z \\ 56 x + 41 y - 144 z \\ 28 x - 30 y + 29 z \end{matrix}) .$

Par conséquent :

$\begin{matrix} 6 x^{'} + 8 y^{'} - z^{'} = 6 \times (31 x + 75 y + 180 z) \\ + 8 \times (56 x + 41 y - 144 z) - (28 x - 30 y + 29 z) \\ = 606 x + 808 y - 101 z \\ = 101 (6 x + 8 y - z) . \end{matrix}$

b) Vérifier qu'un point est dans un plan

Si $M (x y z)$ est un point du plan $P$ , alors ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne fournie dans l'énoncé, à savoir $6 x + 8 y - z = 0$ .

Dans ce cas, en utilisant l'égalité de la question 3. a), nous avons $6 x^{'} + 8 y^{'} - z^{'} = 101 (6 x + 8 y - z) = 0$ et les coordonnées de $M′ (x^{'} y^{'} z^{'})$ vérifient également l'équation cartésienne de $P$ fournie.

Le point $M′ (x^{'} y^{'} z^{'})$ est donc également un point du plan $P$ .

Ainsi, si M est un point du plan $P$ , alors $M′$ est aussi un point du plan $P$ .

c) Vérifier qu'un point est sur une droite E33c

La droite Δ est orthogonale au plan $P$ .

Un vecteur directeur de Δ est le vecteur normal $\vec{n}$ au plan $P$ défini par :

$\vec{n} (\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ - 1 \end{matrix})$ .

Si $M (x y z)$ est un point de la droite Δ, alors les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{OM}$ sont colinéaires.

Il existe donc un réel $k$ tel que $\vec{OM} = k \vec{n}$ , soit $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 k \\ 8 k \\ - k \end{matrix})$ .

Dans ce cas, nous avons :

$\begin{matrix} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 31 x + 75 y + 180 z \\ 56 x + 41 y - 144 z \\ 28 x - 30 y + 29 z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 31 \times 6 k + 75 \times 8 k + 180 \times (- k) \\ 56 \times 6 k + 41 \times 8 k - 144 \times (- k) \\ 28 \times 6 k - 30 \times 8 k + 29 \times (- k) \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 606 k \\ 808 k \\ - 101 k \end{matrix}) = 101 k \times (\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}$

Nous pouvons traduire ceci en disant que $\vec{OM′} = 101 k \times \vec{n}$ . Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{OM′}$ sont donc colinéaires et le point $M′$ appartient donc aussi à la droite Δ passant par O et de vecteur directeur $\vec{n}$ .

En conclusion, si le point M appartient à Δ, alors le point $M′$ appartient aussi à Δ.

Points de l'espace à coordonnées entières

▶ 1. a) Identifier une solution particulière d'une équation

b) Résoudre une équation diophantienne

▶ 2. a) Montrer que la cote d'un point est paire

b) Vérifier qu'un couple d'entiers est solution d'une équation

c) Déterminer, dans un plan, les points à coordonnées entières

▶ 3. a) Démontrer une égalité

b) Vérifier qu'un point est dans un plan

c) Vérifier qu'un point est sur une droite E33c

Inscrivez-vous pour consulter gratuitement la suite de ce contenu

Accéder à tous les contenus dès 6,79€/mois

Inscrivez-vous pour consulter
gratuitement la suite de ce contenu

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois