Points de l’espace à coordonnées entières

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Points de l’espace à coordonnées entières

Les thèmes clés

Géométrie • Arithmétique • Matrices

 

1. Soit p un ent wier relatif donné.

On s’intéresse dans cette question à l’équation (Ep) :

3x + 4y = p

où (x y) est un couple d’entiers relatifs.

a) Vérifier que le couple (− p p) est une solution particulière de l’équation.

b) Démontrer que l’ensemble des solutions de (Ep) est l’ensemble des couples de la forme :

(− p + 4k p – 3k) où k est un entier relatif.

Dans la suite de l’exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé (Oi,j,k). On considère le plan P d’équation cartésienne :

6x + 8yz = 0.

2. Soit M0 un point de coordonnées (x0  y0  z0) qui appartient au plan P et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.

a) Démontrer que z0 est pair.

b) On pose z0 = 2pp est un entier relatif.

Prouver que le couple (x0  y0) est solution de l’équation (EP).

c) En utilisant la question 1., déterminer l’ensemble des points du plan P à coordonnées entières.

3. À tout point M de coordonnées (x y z), on associe le point M de coordonnées (x y z) avec :

(xyz)=(31751805641144283029)(xyz).

a) Montrer que 6x+ 8yz = 101(6x + 8yz).

b) En déduire que si le point M est un point du plan P, alors le point M est aussi un point du plan P.

c) Soit Δ la droite perpendiculaire à P passant par O.

Montrer que si le point M appartient à Δ, alors le point M appartient aussi à Δ.

Les clés du sujet

2. c) Raisonnez en deux étapes. Si M0(x0y0z0) est un point qui appartient au plan P, alors déterminez les valeurs possibles du triplet (x0y0z0). Réciproquement, vérifiez que les valeurs des triplets obtenues sont bien les coordonnées de points du plan P.

3. c) Notez que tout vecteur n normal au plan P est un vecteur directeur de Δ. Montrez ensuite qu’un tel vecteur dont vous préciserez les coordonnées est colinéaire à OM′ si le point M est sur la droite Δ. Concluez.