Population d’une station balnéaire et consommation d’eau

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2015

Exercice 4 • 6 points

Population d’une station balnéaire et consommation d’eau

L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonction f, définie sur l’intervalle [0 ; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-après.

Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, f(x) désigne la population en milliers d’habitants.

Ainsi x=30 correspond au 31 juillet et f(30) représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet.

On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par jour.

matT_1509_04_00C_03

partie a

Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique.

1. a) Estimer le nombre maximal d’habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l’été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. (1 point)

b) La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d’eau par jour, est-ce suffisant ? (0,5 point)

2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu. (1 point)

partie b

On admet que la fonction fest définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

f(x)=2+0,2 x e0,025x+1.

1. Calculer f(9), puis vérifier que la consommation d’eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres. (0,5 point)

2. a) Démontrer que f(x) =(0,20,005 x)e0,025x+1, où f est la fonction dérivée de f. (0,5 point)

b) Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; 70]. (0,5 point)

c) En déduire la date de la consommation d’eau maximale. (0,5 point)

partie c

On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

g(x)=55 f(x)=110+11x e0,025x+1.

Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, g(x) représente alors la consommation maximale d’eau prévue ce jour-là et exprimée en m3.

Soit la fonction G définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

G(x)=110x(440x+17600)e0,025x+1.

On admet que la fonction G est une primitive de la fonction g.

La somme S=g(10)+g(11)+g(12)++g(20) représente la consommation maximale d’eau du 10e au 20e jour exprimée en m3.

1. En l’illustrant sur la courbe Cg de l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d’aires de la somme S. (1 point)

2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d’eau consommée du 10e au 20e jour. (0,5 point)

Annexe

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Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale • Calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. a) D’après la courbe, le maximum de f est f (40) ; le nombre maximal d’habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.

Partie B

2. a) Utilisez les formules permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions et la dérivée d’une fonction de la forme eu.

Partie C

2. Justifiez que l’aire sous la courbe de g entre 10 et 21 est (en unités d’aire) 1021g(x)dx ; calculez cette intégrale en utilisant la primitive G de g.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. a) Déterminer par lecture graphique le maximum d’une fonction

Par lecture graphique, le maximum de f est 10 et 10=f(40).

Le nombre maximal d’habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.

Le nombre maximal d’habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants, et ce maximum est atteint le 10 août.

b) Exploiter un encadrement

Puisque chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d’eau par jour, le 10 août, c’est-à-dire le jour où la population de la station sera maximale, la consommation d’eau sera, en litres, comprise entre 10000×45 et 10000×55, c’est-à-dire entre 450 000 et 550 000 litres.

Puisque la commune peut fournir 600 000 litres d’eau par jour, c’est suffisant pour ce jour, donc pour les autres jours.

La capacité en eau de la commune (600 000 litres d’eau par jour) est donc suffisante.

2. Déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation associée à une fonction

D’après la question 1., le nombre maximal d’habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants. On cherche donc le nombre de jours où la population devrait être supérieure à 8 000 habitants, c’est-à-dire les solutions de l’inéquation f(x)8.

D’après le graphique, l’ensemble des solutions de cette inéquation est [17 ; 70].

Donc le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu pendant (environ) 53 jours.

partie b

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

f(x)=2+0,2 x e0,025 x+1.

1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction comportant une exponentielle

Notez bien

f(9) est la population, en milliers d’habitants, 9 jours après le 1er juillet, c’est-à-dire le 10 juillet.

f(9)=2+1,8 e0,025×9+1=2+1,8 e0,7755,907.

La consommation d’eau, en litres, le 10 juillet est inférieure ou égale à 55×1000×f(9).

55×1000×f(9)=55000 (2+1,8 e0,775)324889.

Donc, selon ce modèle, la consommation d’eau le 10 juillet serait au plus de 324 890 litres.

2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 70] :

f(x)=0,2 e0,025 x+10,2x×0,025 e0,025 x+1

f(x)=(0,20,005 x)e0,025 x+1.

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

e0,025 x+1>0 pour tout réel x, donc f(x) est du signe de :

(0,20,005 x).

0,20,005 x0x40

Donc :

• f(x)>0 si 0x<40 ;

• f(40)=0 ;

• f(x)<0 si 40<x70.

c) Déterminer la valeur en laquelle une fonction atteint son maximum

D’après la question précédente, la fonction f atteint son maximum en x=40.

La consommation d’eau devrait donc être maximale 40 jours après le 1er juillet, c’est-à-dire le 10 août.

partie c

1. Donner une interprétation graphique d’une somme

g(10) est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de hauteur g(10),

g(11) est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de hauteur g(11), et ainsi de suite…

La somme S est donc la somme des aires de 11 rectangles de même largeur 1 et de hauteurs respectives g(10), g(11), g(12), … , g(20).

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2. Donner une valeur approchée d’un nombre à l’aide d’une intégrale

La fonction g est strictement positive sur [0 ; 70].

S est donc une valeur approchée de l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe Cg et les droites d’équations x=10 et x=21, qui est égale à 1021g(x) dx.

1021g(x) dx=G(21)G(10) car G est une primitive de la fonction g.

1021g(x) dx=[110×21(440×21+17600)e0,025×21+1][110×10(440×10+17600)e0,025×10+1]=[110×21(440×21+17600)e0,025×21+1][110×10(440×10+17600)e0,025×10+1]=121026840 e0,475+22000 e0,754624,9.

Donc la quantité maximale d’eau consommée du 10e au 20e jour est d’environ 4 625 m3.