Annale corrigée Exercice

Position et vitesse de sous-marins

Équations de droites et de plans

Position et vitesse de sous-marins

45 min

4 points

Intérêt du sujet  On connaît la trajectoire d'un sous-marin par la donnée de son équation horaire, une équation paramétrique de droite où le paramètre est le temps. Calculez sa vitesse, son inclinaison et comparez sa descente à celle d'un deuxième sous-marin.

 

matT_1805_09_00C_01

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.

On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.

À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point S1(t) et le second sous-marin est repéré par le point S2(t) dans un repère orthonormé (O ; i, j, k) dont l'unité est le mètre.

Le plan défini par (O ; i, j) représente la surface de la mer. La cote z est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel t ≥ 0, le point S1(t) a pour coordonnées :

x(t)=14060ty(t)=10590tz(t)=17030t

a) Donner les coordonnées du sous-marin au début de l'observation.

b) Quelle est la vitesse du sous-marin ?

2. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

Déterminer l'angle α que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.

On donnera l'arrondi de α à 0,1 degré près.

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3. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point S2(0) de coordonnées (68 ; 135 ; - 68) et atteint au bout de trois minutes le point S2(3) de coordonnées (– 202 ; – 405 ; - 248) avec une vitesse constante.

À quel instant t, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?

Les clés du sujet

1. b) Déterminez la position du sous-marin au bout d'une minute. Calculez la distance parcourue et concluez en prenant en compte le fait que sa vitesse est constante.

2. c) Introduisez le point de coordonnées (80 ; 15 ; – 170) et pensez à la trigonométrie (formule de base) pour conclure.

3. Déterminez les coordonnées du point S2(t) où le nombre réel positif t désigne le temps exprimé en minutes. Ensuite, déterminez l'instant t pour lequel les points S1(t) et S2(t) ont la même cote.

1. a) Déterminer les coordonnées d'un point

Au début de l'observation (t=0), le premier sous-marin est repéré par le point S1(0) qui a pour coordonnées :

x(0)=14060×0=140y(0)=10590×0=105z(0)=17030×0=170.

Les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont donc (140 ; 105 ;  ¯ 170).

b) Déterminer une vitesse

Au bout d'une minute (t=1), le premier sous-marin est repéré par le point S1(1) qui a pour coordonnées :

x(1)=14060×1=80y(1)=10590×1=15z(1)=17030×1=200.

Ce sous-marin a alors parcouru pendant la première minute une distance en mètres égale à :

S1(0) S1(1)=S1(0) S1(1)=(80140)2+(15105)2+(200+170)2=(60)2+(90)2+(30)2=302×(22+32+1)=3014.

rappel

distancetemps=vitesse

Or, la vitesse de ce sous-marin est constante. Par conséquent, sa vitesse est égale à 3014 mètres par minute.

2. Déterminer un angle

Introduisons le point M ayant la même abscisse et la même ordonnée que le point S1(1) et la même cote que le point S1(0). Ce point a alors pour coordonnées (80 ; 15 ; 170) et il est tel que le triangle MS1(0)S1(1) est rectangle en M.

matT_1805_09_00C_08

D'après la question précédente, la distance S1(0)S1(1) est égale à 3014 m. De plus, les points M et S1(1) étant à la verticale l'un de l'autre (même abscisse, même ordonnée), on a : MS1(1)=200+170=30 m.

Le triangle MS1(0)S1(1) étant rectangle en M, on a :

sinα=côté opposéhypoténuse=MS1(1)S1(0)S1(1)=303014=114.

À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : TI 83+;Casio Graph 35;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : ; ;

L'angle α que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal, arrondi à 0,1 degré près, est 15,5°.

3. Résoudre une équation

La trajectoire du second sous-marin débute au point S2(0) de coordonnées (68 ; 135 ; 68). Sa trajectoire est rectiligne (en ligne droite dans l'énoncé) de vecteur directeur S2(0)S2(3) qui a pour coordonnées :

remarque

Le vecteur S2(0)S2(3) est le vecteur déplacement du sous-marin pour trois minutes.

2026840513524868=270540180.

Sa vitesse étant également constante, le vecteur S2(0)S2(1) a pour coordonnées :

remarque

Le vecteur S2(0)S2(1) est le vecteur déplacement du sous-marin pour une minute.

270×13540×13180×13=9018060.

Par suite, le point S2(t)t est un nombre réel positif représentant l'instant t en minutes a pour coordonnées :

x(t)=6890ty(t)=135180tz(t)=6860t.

Les deux sous-marins sont à la même profondeur quand leurs cotes sont égales à savoir :

17030t=6860t60t30t=17068t=10230=3,4.

Les deux sous-marins sont donc à la même profondeur à l'instant t = 3,4 minutes soit au bout de 3 minutes et 24 secondes.

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