▶ 1. a) Déterminer les coordonnées d'un point

Au début de l'observation $(t=0)$, le premier sous-marin est repéré par le point S₁(0) qui a pour coordonnées :

$\left\{\begin{array}{l}x(0)=140-60\times 0=140\\ y(0)=105-90\times 0=105\\ z(0)=-170-30\times 0=-170.\end{array}\right.$

Les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont donc $(\text{140 };105; \overline{}\text{ 170})$.

b) Déterminer une vitesse

Au bout d'une minute $(t=1)$, le premier sous-marin est repéré par le point S₁(1) qui a pour coordonnées :

$\left\{\begin{array}{l}x(1)=140-60\times 1=80\\ y(1)=105-90\times 1=15\\ z(1)=-170-30\times 1=-200.\end{array}\right.$

Ce sous-marin a alors parcouru pendant la première minute une distance en mètres égale à :

$\begin{array}{c}{\text{S}}_1(0){\text{ S}}_1(1)=‖\overrightarrow{{\text{S}}_1(0){\text{ S}}_1(1)}‖\\ =\sqrt[]{{(80-140)}^2+{(15-105)}^2+{(-200+170)}^2}\\ =\sqrt[]{{(-60)}^2+{(-90)}^2+{(-30)}^2}\\ =\sqrt[]{{30}^2\times (2^2+3^2+1)}\\ =30\sqrt[]{14}.\end{array}$

Or, la vitesse de ce sous-marin est constante. Par conséquent, sa vitesse est égale à 30$\sqrt[]{14}$ mètres par minute.

▶ 2. Déterminer un angle

Introduisons le point M ayant la même abscisse et la même ordonnée que le point S₁(1) et la même cote que le point S₁(0). Ce point a alors pour coordonnées $(\text{80 };\text{ 15 }; -170)$ et il est tel que le triangle ${\text{MS}}_1(0){\text{S}}_1(1)$ est rectangle en M.

D'après la question précédente, la distance ${\text{S}}_1(0){\text{S}}_1(1)$ est égale à $30\sqrt[]{14}$ m. De plus, les points M et ${\text{S}}_1(1)$ étant à la verticale l'un de l'autre (même abscisse, même ordonnée), on a : ${\text{MS}}_1(1)=\left|-200+170\right|=30$ m.

Le triangle ${\text{MS}}_1(0){\text{S}}_1(1)$ étant rectangle en M, on a :

$\sin \text{α}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{{\text{MS}}_1(1)}{{\text{S}}_1(0){\text{S}}_1(1)}=\frac{30}{30\sqrt[]{14}}=\frac{1}{\sqrt[]{14}}.$

À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :

L'angle $\text{α}$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal, arrondi à 0,1 degré près, est 15,5°.

▶ 3. Résoudre une équation

La trajectoire du second sous-marin débute au point ${\text{S}}_2(0)$ de coordonnées $(\text{68 };\text{ 135 }; -68).$ Sa trajectoire est rectiligne (en ligne droite dans l'énoncé) de vecteur directeur $\overrightarrow{{\text{S}}_2(0){\text{S}}_2(3)}$ qui a pour coordonnées :

$\left(\begin{array}{c}-202-68\\ -405-135\\ -248-\left(-68\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-270\\ -540\\ -180\end{array}\right).$

Sa vitesse étant également constante, le vecteur $\overrightarrow{{\text{S}}_2(0){\text{S}}_2(1)}$ a pour coordonnées :

$\left(\begin{array}{c}-270\times \frac{1}{3}\\ -540\times \frac{1}{3}\\ -180\times \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-90\\ -180\\ -60\end{array}\right).$

Par suite, le point ${\text{S}}_2(t)$ où t est un nombre réel positif représentant l'instant t en minutes a pour coordonnées :

$\left\{\begin{array}{l}x(t)=68-90t\\ y(t)=135-180t\\ z(t)=-68-60t\end{array}\right..$

Les deux sous-marins sont à la même profondeur quand leurs cotes sont égales à savoir :

$-170-30t=-68-60t\iff 60t-30t=170-68\iff t=\frac{102}{30}=\mathrm{3,4}.$

Les deux sous-marins sont donc à la même profondeur à l'instant t = 3,4 minutes soit au bout de 3 minutes et 24 secondes.