Position relative d'une courbe par rapport à l'une de ses tangentes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 4 • 3 points

On considère la fonction 3316332-Eqn95 définie sur 3316332-Eqn96 par :

3316332-Eqn97

On note 3316332-Eqn98 sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à 3316332-Eqn99 au point d’abscisse 1.

Quelle est la position relative de 3316332-Eqn100 par rapport à T ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Tangente • Convexité • Variations d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Une représentation graphique (par exemple avec la calculatrice) peut permettre de formuler une conjecture, qu’il faut ensuite valider par une démonstration rigoureuse.

Corrigé

Corrigé

 Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes

Pour tout réel 3316332-Eqn321 appartenant à l’intervalle 3316332-Eqn322 :

3316332-Eqn323

Donc 3316332-Eqn324 et 3316332-Eqn325, et T a pour équation 3316332-Eqn326.

Notez bien

T est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses).

En traçant 3316332-Eqn327 et T à l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que :

3316332-Eqn328 est concave sur 3316332-Eqn329 ;

le maximum de 3316332-Eqn330 sur 3316332-Eqn331 est égal à 3 ;

T est au-dessus de 3316332-Eqn332.

Méthode 1

Pour tout réel 3316332-Eqn333 appartenant à l’intervalle 3316332-Eqn334, 3316332-Eqn335

3316332-Eqn336 donc 3316332-Eqn337 pour tout 3316332-Eqn338 appartenant à 3316332-Eqn339.

Donc 3316332-Eqn340 est strictement décroissante et 3316332-Eqn341 est concave sur 3316332-Eqn342.

3316332-Eqn343 est donc en dessous de chacune de ses tangentes ; en particulier, 3316332-Eqn344 est en dessous de T.

Méthode 2

3316332-Eqn345, donc 3316332-Eqn346 si 3316332-Eqn347 et 3316332-Eqn348 si 3316332-Eqn349.

3316332-Eqn350 est donc strictement croissante sur 3316332-Eqn351, strictement décroissante sur 3316332-Eqn352.

Le tableau de variations de 3316332-Eqn353 sur 3316332-Eqn354 est :

matT_1506_07_01C_06

Le maximum de 3316332-Eqn360 sur 3316332-Eqn361 est égal à 3, donc, pour tout 3316332-Eqn362 appartenant à 3316332-Eqn363, 3316332-Eqn364.

3316332-Eqn365est en dessous de T.