France métropolitaine • Juin 2015
Exercice 4 • 3 points
On considère la fonction 
définie sur 
par :
On note 
sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à 
au point d’abscisse 1.
Quelle est la position relative de 
par rapport à T ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 30 minutes
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien • Dérivée • Tangente • Convexité • Variations d’une fonction.
Les conseils du correcteur
Une représentation graphique (par exemple avec la calculatrice) peut permettre de formuler une conjecture, qu’il faut ensuite valider par une démonstration rigoureuse.
Corrigé
▶ Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes
Pour tout réel 
appartenant à l’intervalle 
:
Donc 
et 
, et T a pour équation 
.
Notez bien
T est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses).
En traçant 
et T à l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que :
est concave sur 
;
le maximum de 
sur 
est égal à 3 ;
T est au-dessus de 
.
Méthode 1
Pour tout réel 
appartenant à l’intervalle 
, 
donc 
pour tout 
appartenant à 
.
Donc 
est strictement décroissante et 
est concave sur 
.
est donc en dessous de chacune de ses tangentes ; en particulier, 
est en dessous de T.
Méthode 2
, donc 
si 
et 
si 
.
est donc strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
.
Le tableau de variations de 
sur 
est :
Le maximum de 
sur 
est égal à 3, donc, pour tout 
appartenant à 
, 
.
est en dessous de T.