France métropolitaine • Juin 2015
Exercice 4 • 3 points
On considère la fonction définie sur
par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à
au point d'abscisse 1.
Quelle est la position relative de par rapport à T ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 30 minutes
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien • Dérivée • Tangente • Convexité • Variations d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Une représentation graphique (par exemple avec la calculatrice) peut permettre de formuler une conjecture, qu'il faut ensuite valider par une démonstration rigoureuse.
Corrigé
▶ Étudier la position relative de la courbe représentative d'une fonction et de l'une de ses tangentes
Pour tout réel appartenant à l'intervalle
:
Donc et
, et T a pour équation
.
Notez bien
T est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
En traçant et T à l'aide de la calculatrice, on peut conjecturer que :
est concave sur
le maximum de sur
est égal à 3
T est au-dessus de .
Méthode 1
Pour tout réel appartenant à l'intervalle
,
donc
pour tout
appartenant à
.
Donc est strictement décroissante et
est concave sur
.
est donc en dessous de chacune de ses tangentes en particulier,
est en dessous de T.
Méthode 2
, donc
si
et
si
.
est donc strictement croissante sur
, strictement décroissante sur
.
Le tableau de variations de sur
est :
Le maximum de sur
est égal à 3, donc, pour tout
appartenant à
,
.
est en dessous de T.