Position relative d’une droite et d’une courbe

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Position relative d’une droite et  d’une  courbe

Fonction exponentielle

matT_1405_02_03C

Ens. spécifique

14

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 2 • 6 points

On considère la fonction f définie sur [0  +  ∞[ par  :

f(x) = 5ex – 3e–2x+x – 3.

On note f la représentation graphique de la fonction f et la droite d’équation y=x – 3 dans un repère orthogonal du plan.

Partie A  : Positions relatives de f et

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0  +  ∞[ par  :

g(x)  =f(x) – (x – 3).

>1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0  +  ∞[, g(x) >  0.

>2. La courbe f et la droite ont-elles un point commun  ?  Justifier.

Partie B  : Étude de la fonction g

On note M le point d’abscisse x de la courbe f, N le point d’abscisse x de la droite et on s’intéresse à l’évolution de la distance MN.

>1. Justifier que, pour tout x de l’intervalle [0    +  ∞[, la distance MN est égale à g(x).

>2. On note la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0    +  ∞[.

Pour tout x de l’intervalle [0  +  ∞[, calculer .

>3. Montrer que la fonction g possède un maximum sur l’intervalle [0  +  ∞[ que l’on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

Partie C  : Étude d’une aire

On considère la fonction définie sur l’intervalle [0  +  ∞[ par  :

.

>1. Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l’aire est donnée par (2).


>2. Justifier que la fonction est croissante sur l’intervalle [0    +  ∞[.

>3. Pour tout réel x strictement positif, calculer (x).

>4. Existe-t-il une valeur de x telle que (x)  = 2 ?

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 70 min.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielles • Étude de fonctions • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées aux fonctions exponentielles   E8  Partie A, 1.Partie B, 2. et 3.Partie C, 3. et 4.
  • Propriétés associées à l’intégration   E11 • E12 • E13 • E14  Partie C, 1., 2. et 3.
  • Propriétés associées à la fonction logarithme népérien   E9a • E9b • E9e  → Partie A, 1.Partie B, 3.
  • Propriétés associées à l’étude de fonctions (dérivation, limites, continuité)   E5a • E6c • E6e • E6f • E7c  → Partie B, 3.  Partie C, 2. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

>1.  Justifiez que le signe de dépend du signe de que vous étudierez.

Partie B

>3.  Justifiez que s’annule sur en . Déduisez-en les variations de sur et concluez.

Partie C

>2.  Justifiez que A est l’unique primitive de sur qui s’annule en 0.

>4.  Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

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