Annale corrigée Exercice Ancien programme

Position relative d'une droite et d'une courbe

Corpus Corpus 1
Position relative d'une droite et d'une courbe

Fonction exponentielle

matT_1405_02_03C

Ens. spécifique

14

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 2 • 6 points

On considère la fonction f définie sur [0 + ∞[ par :

f(x) = 5ex – 3e–2x+ x – 3.

On note f la représentation graphique de la fonction f et la droite d'équation y =x – 3 dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Positions relatives de f et

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 + ∞[ par :

g(x) = f(x) – (x – 3).

>1. Justifier que, pour tout réel x de l'intervalle [0 + ∞[, g(x) > 0.

>2. La courbe f et la droite ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie B : Étude de la fonction g

On note M le point d'abscisse x de la courbe f, N le point d'abscisse x de la droite et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.

>1. Justifier que, pour tout x de l'intervalle [0 + ∞[, la distance MN est égale à g(x).

>2. On note la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [0 + ∞[.

Pour tout x de l'intervalle [0 + ∞[, calculer .

>3. Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle [0 + ∞[ que l'on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

Partie C : Étude d'une aire

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 + ∞[ par :

.

>1. Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l'aire est donnée par (2).


>2. Justifier que la fonction est croissante sur l'intervalle [0 + ∞[.

>3. Pour tout réel x strictement positif, calculer (x).

>4. Existe-t-il une valeur de x telle que (x) = 2 ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 min.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielles • Étude de fonctions • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées aux fonctions exponentielles E8 Partie A, 1. Partie B, 2. et 3. Partie C, 3. et 4.
  • Propriétés associées à l'intégration E11 • E12 • E13 • E14 Partie C, 1., 2. et 3.
  • Propriétés associées à la fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9ePartie A, 1. Partie B, 3.
  • Propriétés associées à l'étude de fonctions (dérivation, limites, continuité) E5a • E6c • E6e • E6f • E7cPartie B, 3. Partie C, 2. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

> 1. Justifiez que le signe de dépend du signe de que vous étudierez.

Partie B

> 3. Justifiez que s'annule sur en . Déduisez-en les variations de sur et concluez.

Partie C

> 2. Justifiez que A est l'unique primitive de sur qui s'annule en 0.

> 4. Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

partie a : Position relative de et

>1. Justifier le signe d'une fonction

Soit un nombre réel positif. Nous avons :

Comme , le signe de dépend du signe de

Notez bien

Pour tous nombres réels strictement positifs et :

Or,

La fonction est donc strictement positive sur .

Comme , la fonctionest donc strictement positive sur.

>2. Déterminer un éventuel point d'intersection

Un point P de coordonnées appartient à la courbe et à la droite si et seulement si :

Ce qui conduit à l'égalité ou encore Or d'après la question précédente, pour tout nombre réel positif , . La courbeet la droiten'ont donc aucun point commun.

partie b : Étude de la fonction

>1. Calculer une distance

  • D'après l'énoncé, le point M d'abscisse appartient à la courbe . Alors (abscisse du point M) et (ordonnée du point M).
  • D'après l'énoncé, le point N d'abscisse appartient à la droite . Alors (abscisse du point N) et (ordonnée du point N).
  • Les points M et N ont même abscisse : ils sont donc sur une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Pour tout nombre réel , la distance MN est alors donnée par :

Remarque. Attention, nous ne pouvons pas utiliser la formule suivante (étudiée en classe de 2de) : . En effet, le repère du plan n'est pas orthonormé, il est simplement orthogonal.

>2. Déterminer la dérivée d'une fonction

Notez bien

.

La fonction est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur . Pour tout nombre réel positif, nous avons :

>3. Justifier l'existence d'un extremum

Soit un nombre réel positif. Nous avons :

La fonction s'annule en

De manière analogue, nous pouvons démontrer que :

Comme sur , la fonction est croissante sur

Comme sur , la fonction est décroissante sur

La fonctionadmet donc un maximum en qui est :

La distance entre un point M de la courbeet un point N de la droite, de même abscisse est maximale quandet vaut(unités de l'axe des ordonnées).

partie c : étude d'une aire

>1. Interpréter graphiquement une intégrale

Or est la différence de deux fonctions continues sur et pour tout nombre réel positif , (question 1., partie A). Alors, est l'aire exprimée en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la droite et les droites d'équation et


>2. Justifier le sens de variations d'une fonction

Pour tout nombre positif

Or est continue et positive sur . Par suite, est l'unique primitive de la fonction qui s'annule en 0. Ainsi, pour tout nombre positif , et la fonctionest strictement croissante sur.

>3. Calculer une intégrale

Soit un nombre réel positif.

>4. Résoudre une équation

La fonction est continue et strictement croissante sur .

et, comme et , alors, par produit et par somme,

Or, , donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équationadmet une unique solution sur l'intervalle.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner