Position relative d’une droite et d’une courbe

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Position relative d’une droite et d’une courbe

Fonction exponentielle

matT_1405_02_03C

Ens. spécifique

14

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 2 • 6 points

On considère la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f(x) = 5ex – 3e–2x+x – 3.

On note 𝒞f la représentation graphique de la fonction f et 𝒟 la droite d’équation y=x – 3 dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Positions relatives de 𝒞f et 𝒟

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

g(x) =f(x) – (x – 3).

>1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, g(x) > 0.

>2. La courbe 𝒞f et la droite 𝒟 ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie B : Étude de la fonction g

On note M le point d’abscisse x de la courbe 𝒞f, N le point d’abscisse x de la droite 𝒟 et on s’intéresse à l’évolution de la distance MN.

>1. Justifier que, pour tout x de l’intervalle [0 ; + ∞[, la distance MN est égale à g(x).

>2. On note la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

Pour tout x de l’intervalle [0 ; + ∞[, calculer .

>3. Montrer que la fonction g possède un maximum sur l’intervalle [0 ; + ∞[ que l’on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

Partie C : Étude d’une aire

On considère la fonction 𝒜 définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

.

>1. Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l’aire est donnée par 𝒜(2).


>2. Justifier que la fonction 𝒜 est croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

>3. Pour tout réel x strictement positif, calculer 𝒜(x).

>4. Existe-t-il une valeur de x telle que 𝒜(x) = 2 ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 min.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielles • Étude de fonctions • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées aux fonctions exponentielles  E8 Partie A, 1. ; Partie B, 2. et 3. ; Partie C, 3. et 4.
  • Propriétés associées à l’intégration  E11 • E12 • E13 • E14 Partie C, 1., 2. et 3.
  • Propriétés associées à la fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e  → Partie A, 1. ; Partie B, 3.
  • Propriétés associées à l’étude de fonctions (dérivation, limites, continuité)  E5a • E6c • E6e • E6f • E7c  → Partie B, 3. ; Partie C, 2. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

>1. Justifiez que le signe de dépend du signe de que vous étudierez.

Partie B

>3. Justifiez que s’annule sur en . Déduisez-en les variations de sur et concluez.

Partie C

>2. Justifiez que A est l’unique primitive de sur qui s’annule en 0.

>4. Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé
Corrigé

partie a : Position relative de et

>1. Justifier le signe d’une fonction

Soit un nombre réel positif. Nous avons :

Comme , le signe de dépend du signe de

Notez bien

Pour tous nombres réels strictement positifs et  :

Or,

La fonction est donc strictement positive sur .

Comme , la fonctionest donc strictement positive sur.

>2. Déterminer un éventuel point d’intersection

Un point P de coordonnées appartient à la courbe et à la droite si et seulement si :

Ce qui conduit à l’égalité ou encore Or d’après la question précédente, pour tout nombre réel positif , . La courbeet la droiten’ont donc aucun point commun.

partie b : Étude de la fonction

>1. Calculer une distance

  • D’après l’énoncé, le point M d’abscisse appartient à la courbe . Alors (abscisse du point M) et (ordonnée du point M).
  • D’après l’énoncé, le point N d’abscisse appartient à la droite . Alors (abscisse du point N) et (ordonnée du point N).
  • Les points M et N ont même abscisse : ils sont donc sur une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Pour tout nombre réel , la distance MN est alors donnée par :

Remarque. Attention, nous ne pouvons pas utiliser la formule suivante (étudiée en classe de 2de) : . En effet, le repère du plan n’est pas orthonormé, il est simplement orthogonal.

>2. Déterminer la dérivée d’une fonction

Notez bien

.

La fonction est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur . Pour tout nombre réel positif, nous avons :

>3. Justifier l’existence d’un extremum

Soit un nombre réel positif. Nous avons :

La fonction s’annule en

De manière analogue, nous pouvons démontrer que :

Comme sur , la fonction est croissante sur

Comme sur , la fonction est décroissante sur

La fonctionadmet donc un maximum en qui est :

La distance entre un point M de la courbeet un point N de la droite, de même abscisse est maximale quandet vaut(unités de l’axe des ordonnées).

partie c : étude d’une aire

>1. Interpréter graphiquement une intégrale

Or est la différence de deux fonctions continues sur et pour tout nombre réel positif , (question 1., partie A). Alors, est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la droite et les droites d’équation et


>2. Justifier le sens de variations d’une fonction

Pour tout nombre positif

Or est continue et positive sur . Par suite, est l’unique primitive de la fonction qui s’annule en 0. Ainsi, pour tout nombre positif , et la fonctionest strictement croissante sur.

>3. Calculer une intégrale

Soit un nombre réel positif.

>4. Résoudre une équation

La fonction est continue et strictement croissante sur .

et, comme et , alors, par produit et par somme,

Or, , donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équationadmet une unique solution sur l’intervalle.