Positions relatives de plans. Distance d’un point à une droite

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Positions relatives de plans. Distance d’un point à une droite

Géométrie dans l’espace

Corrigé

30

Ens. spécifique

matT_1200_00_57C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé , on considère les points , et .

>1.a) Démontrer que les points , et déterminent un plan que l’on note P1. (0,5 point)

b) Vérifier que est une équation cartésienne du plan P1. (0,75 point)

>2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne .

a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants. On note leur droite d’intersection. (0,75 point)

b) Démontrer que le point appartient à la droite . (0,5 point)

c) Vérifier que est un vecteur directeur de la droite . (0,5 point)

d) En déduire que , est une représentation paramétrique de la droite . (1 point)

>3.a) Démontrer qu’il existe un unique point H appartenant à Δ tel que les vecteurs et sont orthogonaux.

Déterminer les coordonnées de H. (1 point)

b) Que peut-on en déduire pour les droites (AH) et Δ ? (0,5 point)

c) Calculer AH. (0,5 point)

Remarque : Par analogie avec les définitions vues dans le plan, on dit que le point H est le projeté othogonal du point A sur la droite Δ et que AH est la distance du point A à la droite Δ, notée .

Durée conseillée : 65 min.

Les thèmes en jeu

Produits scalaires • Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>  1. a) Démontrez, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. → fiche  C39 

b) Démontrez que le vecteur est un vecteur normal au plan P1.

→ fiche  C41 B 

>  2. a) Démontrez que les vecteurs normaux de ces plans ne sont pas colinéaires. → fiche  C43 

b) Démontrez que le point appartient au plan P1 et au plan P2.

c) Considérez une droite de vecteur directeur et démontrez que le vecteur est orthogonal à un vecteur normal à chacun des deux plans.

d) Lisez la fiche  C42 

>  3. a) Résolvez dans P l’équation d’inconnue . → fiche  C38 

b) Remarquez que (AH) et Δ sont orthogonales et ont un point commun.

c) Utilisez les coordonnées du point A et du point H.

Corrigé

>1.a) Démontrer que trois points donnés déterminent un plan

soit .

soit .

Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc
les points , et ne sont pas alignés et
déterminent un plan, noté P1.

Il n’existe pas de réel tel que .

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Notons Π le plan dont est une
équation cartésienne et démontrons que Π =P1.

On sait que est une équation cartésienne d’un plan.

  • De l’équation, on déduit que est un vecteur normal au plan Π.

Or

et .

Comme est un couple de vecteurs directeurs du plan P1, on en déduit que est aussi un vecteur normal au plan P1.

Les plans Π et P1 sont donc parallèles.

  • De plus, et  ;

donc A appartient au plan Π.

  • Ainsi, les plans Π et P1 sont parallèles et ont un point commun. Ils sont donc confondus et est une équation cartésienne du plan P1.

>2.a) Démontrer que deux plans sont sécants

Un vecteur normal au plan P2 d’équation est .

Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc les plans P1 et P2 sont sécants et leur intersection est une droite, notée ∆.

b) Démontrer qu’un point appartient à la droite d’intersection
de deux plans

Démontrer que C appartient à ∆ revient à
démontrer que C appartient à P1 et à P2,
c’est-à-dire que les coordonnées de C
vérifient une équation cartésienne de
chacun des deux plans.

Dans l’espace, une droite ne peut pas être définie par une seule équation cartésienne. En revanche, le système

définit la droite ∆.

et , donc C ∈ P1.

De même, , donc C ∈ P2.

Donc le point C appartient à la droite ∆.

c) Démontrer qu’un vecteur est un vecteur directeur d’une droite

Notons d une droite de vecteur directeur et démontrons que d est parallèle à ∆, ce qui prouvera que est un vecteur directeur de ∆.

  • est un vecteur normal au plan P1

et , donc .

On en déduit que d est parallèle au plan P1.

  • De même, est un vecteur normal au plan P2

et , donc .

On en déduit que d est parallèle au plan P2.

  • La droite d est donc parallèle à la droite ∆, intersection de P1 et P2.

Ainsi, étant un vecteur directeur de d, est aussi
un vecteur directeur de ∆.

Les droites d et ∆ ont la même direction.

d) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

∆ est la droite passant par le point et de vecteur directeur .

Une représentation paramétrique de ∆ est donc

>3.a) Exprimer un produit scalaire et résoudre une équation

Compte tenu de la représentation paramétrique de ∆, un point M appartenant à la droite ∆ a pour coordonnées t est un réel.

et sont orthogonaux .

donc

soit , et . Donc :

.

Ainsi, il existe un unique réel t tel que les vecteurs et sont orthogonaux, donc il existe un unique point de ∆ tel que et sont orthogonaux. Notons H ce point.

H a pour coordonnées soit

b) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

La droite ∆ a pour vecteur directeur , et les vecteurs et sont orthogonaux, donc les droites ∆ et (AH) sont orthogonales.

De plus, elles sont sécantes en H.

Donc les droites ∆ et (AH) sont perpendiculaires en H.

c) Calculer une distance

et , donc :

.