Positions relatives de plans. Distance d’un point à une droite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Positions relatives de plans. Distance  d’un point à une droite

Géométrie dans l’espace

Corrigé

30

Ens. spécifique

matT_1200_00_57C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé , on considère les points , et .

>1.a)  Démontrer que les points , et déterminent un plan que l’on note P1. (0,5  point)

b)  Vérifier que est une équation cartésienne du plan P1. (0,75  point)

>2.  On considère le plan P2 d’équation cartésienne .

a)  Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants. On note leur droite d’intersection. (0,75  point)

b)  Démontrer que le point appartient à la droite . (0,5  point)

c)  Vérifier que est un vecteur directeur de la droite . (0,5  point)

d)  En déduire que , est une représentation paramétrique de la droite . (1  point)

>3.a)  Démontrer qu’il existe un unique point H appartenant à &Delta tel que les vecteurs et sont orthogonaux.

Déterminer les coordonnées de H. (1  point)

b)  Que peut-on en déduire pour les droites (AH) et &Delta   ? (0,5  point)

c)  Calculer AH. (0,5  point)

Remarque  : Par analogie avec les définitions vues dans le plan, on dit que le point H est le projeté othogonal du point A sur la droite &Delta et que AH est la distance du point A à la droite &Delta , notée .

Durée conseillée  : 65  min.

Les thèmes en jeu

Produits scalaires • Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>    1.  a)  Démontrez, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. →  fiche    C39 

b)  Démontrez que le vecteur est un vecteur normal au plan P1.

→  fiche    C41 B 

>    2.  a)  Démontrez que les vecteurs normaux de ces plans ne sont pas colinéaires. →  fiche    C43 

b)  Démontrez que le point appartient au plan P1 et au plan P2.

c)  Considérez une droite de vecteur directeur et démontrez que le vecteur est orthogonal à un vecteur normal à chacun des deux plans.

d)  Lisez la fiche    C42 

>    3.  a)  Résolvez dans P l’équation d’inconnue . →  fiche    C38 

b)  Remarquez que (AH) et &Delta sont orthogonales et ont un point commun.

c)  Utilisez les coordonnées du point A et du point H.