Pots de crème

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Pots de crème

Lois de probabilité à denstié

matT_1405_02_05C

Ens. spécifique

31

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 1 • 5 points

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10–3 près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Partie  A  : Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50  mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55  mL.

On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49  mL de crème.

>1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type .

Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.

>2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart type de la variable aléatoire X, sans modifier son espérance . On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.

On note le nouvel écart type, et Z la variable aléatoire égale à .

a) Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z.

b) Déterminer une valeur approchée du réel u tel que P(Z ≤  u) = 0,06.

c) En déduire la valeur attendue de .

>3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.

a) On admet que Y suit une loi binomiale. En donner les paramètres.

b) Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.

Partie  B  : Campagne publicitaire

Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème.

Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent satisfaites.

Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95  %, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi binomiale • Estimation et intervalle de confiance.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale   E40a • E40d • E40e  → Partie A, 1., 2.  a), 2.  b) et 2.  c)
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi binomiale   E39  → Partie A, 3.  a) et 3.  b)
  • Intervalle de confiance pour estimer une proportion   E44  → Partie B

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale   C3  → Partie A, 2.
  • Calcul d’une probabilité associée à une loi binomiale   C2  → Partie A, 3.

Nos coups de pouce

Partie A

>  2.  b) Justifiez que le réel u est tel que P(u  ≤  Z  ≤  0)  =  0,44. Concluez en utilisant de manière efficace votre calculatrice (méthode par balayage).

>  2.  c) Exprimez l’écart type en fonction du nombre réel . Concluez en utilisant la question 2.  b) de la partie A.

Partie B

Précisez la taille de l’échantillon et la fréquence observée du caractère étudié dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance demandé. Concluez.