Corpus Corpus 1

Pots de crème

Lois de probabilité à denstié

matT_1405_02_05C

Ens. spécifique

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 1 • 5 points

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10^–3 près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Partie A : Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55 mL.

On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49 mL de crème.

>1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type .

Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.

>2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart type de la variable aléatoire X, sans modifier son espérance . On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.

On note le nouvel écart type, et Z la variable aléatoire égale à .

a) Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z.

b) Déterminer une valeur approchée du réel u tel que P(Z ≤ u) = 0,06.

c) En déduire la valeur attendue de .

>3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.

a) On admet que Y suit une loi binomiale. En donner les paramètres.

b) Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.

Partie B : Campagne publicitaire

Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème.

Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent satisfaites.

Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95 %, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi binomiale • Estimation et intervalle de confiance.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40a • E40d • E40e  → Partie A, 1., 2. a), 2. b) et 2. c)
Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi binomiale  E39  → Partie A, 3. a) et 3. b)
Intervalle de confiance pour estimer une proportion  E44  → Partie B

Calculatrice

Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3  → Partie A, 2.
Calcul d’une probabilité associée à une loi binomiale  C2  → Partie A, 3.

Nos coups de pouce

Partie A

> 2. b) Justifiez que le réel u est tel que P(u ≤ Z ≤ 0) = 0,44. Concluez en utilisant de manière efficace votre calculatrice (méthode par balayage).

> 2. c) Exprimez l’écart type en fonction du nombre réel . Concluez en utilisant la question 2. b) de la partie A.

Partie B

Précisez la taille de l’échantillon et la fréquence observée du caractère étudié dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance demandé. Concluez.

Corrigé

partie a : conditionnement des pots

>1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale

Notez bien

Si X ~ N(μ ; σ²), alors pour tout réel ,

D’après l’énoncé, un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49 mL de crème. La probabilité qu’un pot de crème soit non conforme s’écrit alors à l’aide de la variable aléatoire de la manière suivante : P(X < 49).

Or P(X < 49) = P(X ≤ 49) = 0,5 – P(49 ≤ X ≤ 50) et, avec une calculatrice, nous avons :

CASIO Graph 75	TI-83 Plus.fr

La probabilité qu’un pot de crème soit non conforme est donc d’environ 0,202.

>2.a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

Dans cette question, la variable aléatoire ne suit plus la loi normale d’espérance et d’écart type mais la loi normale d’espérance (paramètre inchangé) et d’écart type .

Notez bien

Dans un tel cadre, l’espérance de Z est 0 et son écart type est 1.

La variable aléatoire est définie par . Par définition, la variable aléatoiresuit donc la loi normale centrée réduite.

b) Déterminer une valeur par balayage

Comme suit la loi normale centrée réduite, son espérance est nulle et par symétrie de la densité . Or . Le nombre réel à déterminer est donc négatif.

De plus, nous avons :

À l’aide d’une calculatrice, recherchons une valeur approchée du nombre réel (par balayage) qui vérifie l’égalité précédente.

Étapes	CASIO Graph 75	TI-83 Plus.fr	Conclusion
Éditeur de fonctions
Pas de la table : 0,1
Pas de table : 0,01
Pas de table : 0,001

Une valeur approchée du nombre réelest ainsi.

Autre méthode

On utilise la fonction SolvN (CASIO) ou résoudre (TI).

CASIO Graph 75 :

OPTN + CALC + SolvN pour accéder à la fonction SolvN.

Pour résoudre l’équation proposée et obtenir une valeur approchée de , il suffit d’entrer SolvN(NormCD(X,0,1,0) ) et de valider pour obtenir .

TI 83 Plus.fr :

Pour obtenir la fonction résoudre, consulter le catalogue de la calculatrice. Attention, cette fonction permet de résoudre uniquement des équations de la forme . Il faudra donc résoudre à l’aide d’une telle calculatrice l’équation d’inconnue .

Pour résoudre l’équation proposée et obtenir une valeur approchée de , il suffit d’entrer résoudre(normalFRép(X,0,0,1)) et de valider pour obtenir .

Une valeur approchée du nombre réelest bien.

c) Déterminer une valeur approchée d’un écart type

Un pot de crème étant non conforme s’il contient moins de 49 mL de crème, réduire la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme à signifie que Or :

Mais d’après la question précédente , ce qui implique par identification que :

et par suite, .

Une valeur approchée de l’écart typeest ainsi

>3. a) Préciser les paramètres d’une loi binomiale

50 pots ont été commandés au fournisseur et ont été reçus par la boutique. Pour chaque pot, deux cas sont possibles : soit le pot est non conforme (moins de 49 mL de crème) soit le pot est conforme (plus de 49 mL de crème). La probabilité qu’un pot soit non conforme est de 0,06, proportion de pots non conformes dans la production suite à la modification de la viscosité. La variable aléatoiresuit ainsi la loi binomiale de paramètreset

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi binomiale

La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est Grâce à la calculatrice, nous avons :

CASIO Graph 75	TI-83 Plus.fr

Ainsi,.

partie b : campagne publicitaire

Parmi les personnes qui utilisent ce produit, 140 personnes ont été interrogées. La taille de l’échantillon considéré est donc
Parmi les 140 personnes interrogées, 99 personnes se déclarent satisfaites. La fréquence observée dans cet échantillon de personnes satisfaites est donc
Comme et , les conditions sur et sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :