Lois de probabilité à denstié
matT_1405_02_05C
Ens. spécifique
31
CORRIGE
Amérique du Nord • Mai 2014
Exercice 1 • 5 points
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10–3 près.
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.
Partie A : Conditionnement des pots
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55 mL.
On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49 mL de crème.
et d'écart type
.
Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme.
. On veut réduire à 0,06 la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme.
On note le nouvel écart type, et Z la variable aléatoire égale à
.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
Partie B : Campagne publicitaire
Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95 %, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Loi normale • Loi binomiale • Estimation et intervalle de confiance.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 a • E40 d • E40 e → Partie A, 1., 2. a), 2. b) et 2. c) - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
E39 → Partie A, 3. a) et 3. b) - Intervalle de confiance pour estimer une proportion
E44 → Partie B
Calculatrice
- Calcul d'une probabilité associée à une loi normale
C3 → Partie A, 2. - Calcul d'une probabilité associée à une loi binomiale
C2 → Partie A, 3.
Nos coups de pouce
Partie A
en fonction du nombre réel
. Concluez en utilisant la question 2. b) de la partie A.
Partie B
partie a : conditionnement des pots
> 1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale
D'après l'énoncé, un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49 mL de crème. La probabilité qu'un pot de crème soit non conforme s'écrit alors à l'aide de la variable aléatoire de la manière suivante : P(X
Or P(X
> 2. a) Déterminer la loi d'une variable aléatoire
Dans cette question, la variable aléatoire ne suit plus la loi normale d'espérance
et d'écart type
mais la loi normale d'espérance
(paramètre inchangé) et d'écart type
.
Notez bien
Dans un tel cadre, l'espérance de Z est 0 et son écart type est 1.
La variable aléatoire est définie par
. Par définition,
b) Déterminer une valeur par balayage
Comme suit la loi normale centrée réduite, son espérance est nulle et par symétrie de la densité
. Or
. Le nombre réel
à déterminer est donc négatif.
De plus, nous avons :
À l'aide d'une calculatrice, recherchons une valeur approchée du nombre réel (par balayage) qui vérifie l'égalité précédente.
Autre méthode
On utilise la fonction SolvN (CASIO) ou résoudre (TI).
- CASIO Graph 75 :
OPTN
Pour résoudre l'équation proposée et obtenir une valeur approchée de , il suffit d'entrer SolvN(NormCD(X,0,1,0)
) et de valider pour obtenir
.
- TI 83 Plus.fr :
Pour obtenir la fonction résoudre, consulter le catalogue de la calculatrice. Attention, cette fonction permet de résoudre uniquement des équations de la forme . Il faudra donc résoudre à l'aide d'une telle calculatrice l'équation
d'inconnue
.
Pour résoudre l'équation proposée et obtenir une valeur approchée de , il suffit d'entrer résoudre(normalFRép(X,0,0,1)
) et de valider pour obtenir
.
c) Déterminer une valeur approchée d'un écart type
Un pot de crème étant non conforme s'il contient moins de 49 mL de crème, réduire la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme à signifie que
Or :
Mais d'après la question précédente , ce qui implique par identification que :
> 3. a) Préciser les paramètres d'une loi binomiale
50 pots ont été commandés au fournisseur et ont été reçus par la boutique. Pour chaque pot, deux cas sont possibles : soit le pot est non conforme (moins de 49 mL de crème) soit le pot est conforme (plus de 49 mL de crème). La probabilité qu'un pot soit non conforme est de 0,06, proportion de pots non conformes dans la production suite à la modification de la viscosité.
b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi binomiale
La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est Grâce à la calculatrice, nous avons :
partie b : campagne publicitaire
- Parmi les personnes qui utilisent ce produit, 140 personnes ont été interrogées. La taille de l'échantillon considéré est donc
- Parmi les 140 personnes interrogées, 99 personnes se déclarent satisfaites. La fréquence observée dans cet échantillon de personnes satisfaites est donc
- Comme
et
, les conditions sur
et
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :