Prêts immobiliers : âge des demandeurs et prêts acceptés

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Prêts immobiliers : âge des demandeurs et prêts acceptés
 
 

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

Corrigé

31

Ens. Spécifique

matT_1305_02_05C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 2 • 5 points

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10–3 près.

>1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d’écart type 12.

a) Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. (1 point)

b) Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. (1 point)

>2. Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.

Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.

a) Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque. (1 point)

b) Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.

Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %. (1 point)

c) Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? (1 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

>2.a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

,

est la proportion supposée dans la population (ici ).

>2.b) Deux décisions peuvent être prises, suivant que la fréquence observée sur l’échantillon appartient ou n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Corrigé

>1.a) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

 

Notez bien

Puisque X suit une loi normale, c’est-à-dire une loi continue, les probabilités et sont nulles, donc :

suit la loi . La probabilité que le client qui demande un prêt ait un âge compris entre 30 et 35 ans est

D’après la calculatrice :

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt avant 55 ans est .

.

Or suit une loi normale de moyenne 40,5, donc :

D’où :

.

D’après la calculatrice, , donc :

>2.a) Donner un intervalle de fluctuation asymptotique

Ici et (puisque la banque affirme que 75 % des demandes de prêts sont acceptées).

np = 750 et n(1 – p) = 250, donc les conditions de validité d’un intervalle de fluctuation aymptotique sont vérifiées.

Au seuil de 95 %, l’intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de prêts acceptés par la banque est :

=

à près par défaut ;

à près par excès.

 

Notez bien

Lors du calcul des bornes de l’intervalle, la borne inférieure est approchée par défaut et la borne supérieure par excès.

L’intervalle approché obtenu contient l’intervalle initial ; on peut donc affirmer qu’au moins 95 % des échantillons de taille 1 000 donnent une fréquence appartenant à cet intervalle.

Donc l’intervalleest un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.

b) Énoncer une règle de décision sur une proportion à partir d’un intervalle de fluctuation asymptotique

 

Attention

Le risque d’erreur de 5 % dans le cas où l’on rejette l’affirmation est le risque de rejeter à tort ; même si la proportion réelle est 0,75, environ 5 % des échantillons de taille 1 000 qu’il est possible de constituer donnent une fréquence n’appartenant pas à l’intervalle de fluctuation.

La règle de décision est la suivante :

  • si la fréquence obtenue dans l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, on valide le slogan publicitaire de la banque ;
  • si la fréquence obtenue dans l’échantillon n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, on rejette, au risque d’erreur de 5 %, l’affirmation de la banque.

c) Appliquer une règle de décision sur une proportion à partir d’un intervalle de fluctuation asymptotique

On calcule la fréquence de demandes acceptées dans l’échantillon considéré et on applique la règle de décision énoncée à la question précédente.

Puisque, sur 1 000 demandes, 600 sont acceptées, .

0,6 n’appartient pas à l’intervalle .

Donc au risque d’erreur de 5 %, on rejette l’affirmation du slogan publicitaire, on ne la valide pas. Puisque est inférieure à la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation, on peut penser que la proportion réelle de demandes de prêt acceptées est inférieure à 0,75.