Prévision de l’évolution d’une population avec des matrices

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Prévision de l’évolution d’une population avec des matrices
 
 

Matrices et suites

Corrigé

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Ens. de spécialité

matT_1306_07_11C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.

L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l’effectif de la population est globalement constant ;
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel n, on note vn le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l’année (2013 +n) et cn le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

>1. Pour tout entier naturel n, exprimer vn+1 et cn+1 en fonction de vn et cn.

>2. Soit la matrice .

On pose a, b sont deux réels fixés et Y = AX.

Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que .

Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0.

>3. Soient les matrices et .

a) Calculer PQ et QP. En déduire la matrice P−1 en fonction de Q.

b) Vérifier que la matrice P−1AP est une matrice diagonale D que l’on précisera.

c) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, An = PDnP−1.

>4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que

.

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1 3. c)
  • Suites et limites  E2c  → 4.
  • Suites géométriques et limites  E4d  → 4.

Calculatrice

  • Opérations sur les matrices  C5 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

>1. a) Traduisez par des égalités la phrase : « Chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville ». Identifiez bien pour cela les définitions de et .

>2. Effectuez le produit matriciel demandé et procédez ensuite par identification.

>3. a) A et B étant deux matrices carrées d’ordre 2, rappelez-vous que l’égalité AB = I2 permet de justifier que A est inversible.

>4. La répartition à long terme de la population de cette région s’obtient en étudiant le comportement de quand tend vers .

Corrigé

>1. Déterminer des formules de récurrence pour des suites

Au 1er janvier de l’année , les gens résidant à la campagne se dénombrent ainsi :

  • ceux qui résidaient en ville en , au nombre de , sont 5 % à s’installer à la campagne soit  ;
  • ceux qui résidaient à la campagne en , au nombre de , sont 99 % à y rester, soit .

Ainsi, pour tout entier naturel n : .

De même, au 1er janvier de l’année , les gens résidant en ville se dénombrent comme suit :

  • ceux qui résidaient en ville en , au nombre de , sont 95 % à y rester soit  ;
  • ceux qui résidaient à la campagne en , au nombre de , sont 1 % à s’installer en ville, soit .

Ainsi, pour tout entier naturel n : .

>2. Effectuer un produit matriciel

.

Par identification, on obtient :

>3.a) Effectuer un produit matriciel et ­déterminer ­l’inverse d’une ­matrice carrée

On a . On en déduit donc que . La matrice P est donc inversible et .

b) Identifier à l’aide d’un produit matriciel la nature d’une matrice

La matrice est donc une matrice diagonale D avec.

c) Établir une égalité matricielle à l’aide d’un raisonnement par ­récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

d’après la question 3. b). Or :

Donc . La propriété P(1) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel . On démontre alors que P(k+ 1) est vérifiée.

La propriété P(k+1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n non nul, .

>4. Déterminer la limite d’une suite et l’interpréter

Comme , on obtient . Par différence, produits et sommes, on en déduit que :

À long terme, dans cette région imaginaire, des habitants résideront en ville et le reste à la campagne.